From: "Bruno F. C. Leite" <[EMAIL PROTECTED]> > At 17:17 14/08/02 -0300, you wrote: > >From: "Bruno F. C. Leite" <[EMAIL PROTECTED]> > > > At 12:21 14/08/02 -0400, you wrote: > > > >Num polígono convexo de n lados, quando se constrói todas as diagonais > > > >aparecem pontos de interseção entre as diagonais. Determinar o número de > > > >pontos de interseção? > > > > > > Vamos supor que não há duas diagonais paralelas. > > > > > > Note que a cada ponto de intersecção podemos associar as duas diagonais ou > > > o quadrilátero formado pelos extremos destas diagonais. Logo há uma > >bijeção > > > entre o número de intersecções e o de quadriláteros com vértices contidos > > > no conjunto de vértices do poligono...logo a resposta é binomial(n,4). > > > > > > Está certo? > > > > > > Bruno Leite > > > http://www.ime.usp.br/~brleite > > > >Mas e se dois quadriláteros distintos tiverem o mesmo ponto de interseção > >das suas diagonais? Ou isso nunca ocorre por que nenhuma das diagonais é > >paralelas, por hipótese sua? > > Bem, isto que vc disse nao segue da hipótese que eu coloquei (veja o > octógono regular) mas é também uma hipotese necessária para que o problema > não dependa da forma particular do poligono > (dependa só de n) >
Bruno, eu não compreendi toda a discussão. Então vou recomeçá-la. Num polígono de n lados, cujos pares de diagonais não são paralelos, existe uma bijeção entre o número de interseções e o de quadriláteros com vértices contidos no conjunto de vértices do poligono. A minha pergunta deveria ter sido a seguinte: por que, sob essas hipóteses (de o polígono ser convexo e nenhum par de diagonais ser paralelo), não existem dois quadriláteros distintos com vértices contidos no conjunto de vértices do polígono cujos pontos de interseção das diagonais são o mesmo ponto? Vai em anexo uma figura. Em FIG 1: AE, BF, CG e DH são diâmetros. O problema do polígono ABCDEFGH é que muitas das diagonais são paralelas. Eu ACHO que trazendo A, B, C e D um pentelhésimo (em FIG 2) para dentro do círculo, a gente pode fazer com que todas as diagonais deixem de ser paralelas. Daí teríamos o ponto central do círculo interseção das diagonais dos quadriláteros ACEG e BDFH, o que invalidaria a bijeção do Bruno. Mas essa é só uma impressão minha, não sei se de fato está certo esse meu achismo. Eduardo.
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