On Fri, Nov 07, 2003 at 11:22:52AM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: ... > Caso B. Os quatro pontos s�o os v�rtices ABCD de um quadril�tero convexo. > Al�m disso, as semiretas DA e CB se encontram em um ponto E e > as semiretas AB e DC se encontram em um ponto F (veja diagrama). > Eu afirmo que neste caso h� duas par�bolas passando pelos quatro pontos: > em uma delas (em vermelho na figura) os pontos aparecem na ordem ABCD > (ou seja, o infinito est� entre A e D) e na outra(em azul) os pontos > aparecem na ordem DABC. A verifica��o destas afirma��es depende > de c�lculos trabalhosos mas interessantes que deixamos a cargo do leitor.
Talvez nem todos os leitores julguem os c�lculos t�o interessantes assim. Eu pelo menos n�o achei. Preferi uma demonstra��o mais geom�trica. Fa�a uma transforma��o projetiva para transformar ABCD no quadrado de v�rtices (+-1,+-1). A reta no infinito foi levada a uma reta (verde) exterior ao quadrado e precisamos provar que h� exatamente duas c�nicas passando pelos pontos (+-1,+-1) e tangentes � reta (as duas elipses vermelha e azul). Se tra�armos todas as c�nicas passando por (+-1,+-1) teremos elipses dentro da cruz (menos o quadrado central) e hip�rboles fora da cruz ou dentro do quadrado central. Qualquer reta tangente a uma destas hip�rboles passa entre os v�rtices e portanto corta o quadrado: ou seja, as hip�rboles n�o servem. Uma elispe precisa tangenciar a reta verde em um dos dois segmentos dentro da cruz. Agora n�o � dif�cil provar que h� uma elipse que serve em cada segmento. []s, N.
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