On Wed, Nov 05, 2003 at 10:09:59AM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: > On Tue, Nov 04, 2003 at 07:38:29PM -0200, Angelo Barone Netto wrote: > > Citando Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>: > > > > Eh sabido que 5 pontos determinam uma conica univocamente. > > E igualmente sabido (mesma prova) que dados 4 pontos coplanares > > (3 a 3 nao colineares) ha uma infinidade de conicas por eles, > > das quais UMA UNICA e parabola. > > Acho que isto � verdade *quase* sempre mas certamente n�o � verdade > sempre. Se os quatro pontos forem os v�rtices de um quadrado > (ou mais geralmente, de um paralelogramo) n�o existe par�bola > nenhuma passando pelos quatro. A menos que voc� considere um par > de retas paralelas como uma par�bola degenerada, mas neste caso > existem *duas* par�bolas, e n�o uma.
Andei pensando um pouco mais sobre este problema e a afirma��o acima de fato n�o � correta nem mesmo no caso gen�rico. De fato, dados quatro pontos no plano, h� dois casos gen�ricos a serem considerados. Caso A. Um dos quatro pontos est� no interior do tri�ngulo que tem por v�rtices os outros tr�s pontos. Neste caso n�o h� nenhuma par�bola passando pelos quatro pontos pois, sendo a par�bola o bordo de um conjunto convexo, quaisquer quatro pontos distintos sobre qualquer par�bola sempre s�o os v�rtices de um quadril�tero convexo. Caso B. Os quatro pontos s�o os v�rtices ABCD de um quadril�tero convexo. Al�m disso, as semiretas DA e CB se encontram em um ponto E e as semiretas AB e DC se encontram em um ponto F (veja diagrama). Eu afirmo que neste caso h� duas par�bolas passando pelos quatro pontos: em uma delas (em vermelho na figura) os pontos aparecem na ordem ABCD (ou seja, o infinito est� entre A e D) e na outra(em azul) os pontos aparecem na ordem DABC. A verifica��o destas afirma��es depende de c�lculos trabalhosos mas interessantes que deixamos a cargo do leitor. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
