on 13.02.04 03:23, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
>
> From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
>> on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
>> wrote:
>>
>>> Oi colegas da lista.
>>>
>>> Seja K um corpo, K[t] o anel de polin�mios sobre K e dois polin�mios P e
> Q
>>> de K[t] ambos irredut�veis de mesmo grau. � verdade que os aneis
> quocientes
>>> (s�o corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) s�o isomorfos?
>>>
>>> Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F --> G que leva (P) + f em (Q)
> + f.
>>> N�o tenho boa vis�o sobre como se corportam esses aneis quocientes do
> tipo
>>> de F e G. Algu�m sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na
>>> internet?
>>>
>>> Um abra�o e obrigado por qualquer ajuda.
>>> Duda.
>>>
>> Oi, Duda:
>>
>> Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco vetorial
>> de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma
> dimensao
>> sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho inclusive
>> que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao
>> serah um corpo)
>>
>> Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui:
>> http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
>>
>> Um abraco,
>> Claudio.
>
> Eu ACHO que voc� est� se confundindo. Pelo que entendo, h� dois conceitos de
> isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro � o conceito de isomorfismo
> entre espa�os vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre
> an�is). Como os dois espa�os vetoriais sobre K tem a mesma dimens�o, fica
> f�cil de estabelecer um isomorfismo, mas isto n�o implica que este
> isomorfismo preserve a multiplica��o.
>
Voce tem toda a razao. Eu misturei os dois conceitos e o problema estah
justamente na multiplicacao.
Por enquanto o que eu fiz foi o seguinte:
Como K eh um corpo, podemos supor s.p.d.g. que P(x) e Q(x) sao monicos de
grau n+1 (n+1 e nao n pra facilitar a notacao mais adiante).
Seja a uma raiz de P(x). Como P(x) eh irredutivel, P(x) serah o polinomio
minimo de a. Entao K[a] eh uma extensao algebrica (e portanto finita) de K e
(isso eu tenho certeza) K[x]/(P(x)) eh isomorfo a K[a].
Da mesma forma, se b eh uma raiz de Q(x), entao K[x]/(Q(x)) eh isomorfo a
K[b].
Mas:
K[a] = {u_0 + u_1*a + u_2*a^2 + ... + u_n*a^n | u_i pertence a K}
e
K[b] = {v_0 + v_1*b + v_2*b^2 + ... + v_n*b^n | v_i pertence a K}.
Serah que K[a] e K[b] sao isomorfos?
Eu acho que sim. O que voce acha?
> Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere que
> n�o:
>
> Se P e Q s�o polin�mios em t sobre K, P � irredut�vel e Q n�o � ent�o F =
> K[t] / (P) � um corpo mas G = K[t] / (Q) n�o �. � imposs�vel que haja um
> isomorfismo (de an�l) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos. O
> que me sugere que neste caso eles n�o s�o isomorfos.
>
Concordo com o argumento.
> Obrigado pela resposta e pela indica��o do site.
>
> Voc� j� leu o livro "Galois Theory", do Ian Stewart? Estou estudando por
> ele, e me surgiu esta d�vida em um dos exerc�cios do livro. Na verdade, esta
> � a segunda, a outra foi sobre Zn*.
>
Ainda nao. Esse semestre eu pretendo fazer um curso sobre esse assunto na
USP. Espero estar mais afiado em julho...
Um abraco,
Claudio.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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