From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > on 13.02.04 03:23, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > > > From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > >> on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] > >> wrote: > >> > >>> Oi colegas da lista. > >>> > >>> Seja K um corpo, K[t] o anel de polin�mios sobre K e dois polin�mios P e > > Q > >>> de K[t] ambos irredut�veis de mesmo grau. � verdade que os aneis > > quocientes > >>> (s�o corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) s�o isomorfos? > >>> > >>> Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F --> G que leva (P) + f em (Q) > > + f. > >>> N�o tenho boa vis�o sobre como se corportam esses aneis quocientes do > > tipo > >>> de F e G. Algu�m sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na > >>> internet? > >>> > >>> Um abra�o e obrigado por qualquer ajuda. > >>> Duda. > >>> > >> Oi, Duda: > >> > >> Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco vetorial > >> de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma > > dimensao > >> sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho inclusive > >> que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao > >> serah um corpo) > >> > >> Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui: > >> http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ > >> > >> Um abraco, > >> Claudio. > > > > Eu ACHO que voc� est� se confundindo. Pelo que entendo, h� dois conceitos de > > isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro � o conceito de isomorfismo > > entre espa�os vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre > > an�is). Como os dois espa�os vetoriais sobre K tem a mesma dimens�o, fica > > f�cil de estabelecer um isomorfismo, mas isto n�o implica que este > > isomorfismo preserve a multiplica��o. > > > Voce tem toda a razao. Eu misturei os dois conceitos e o problema estah > justamente na multiplicacao. > > Por enquanto o que eu fiz foi o seguinte: > > Como K eh um corpo, podemos supor s.p.d.g. que P(x) e Q(x) sao monicos de > grau n+1 (n+1 e nao n pra facilitar a notacao mais adiante). > > Seja a uma raiz de P(x). Como P(x) eh irredutivel, P(x) serah o polinomio > minimo de a. Entao K[a] eh uma extensao algebrica (e portanto finita) de K e > (isso eu tenho certeza) K[x]/(P(x)) eh isomorfo a K[a]. > > Da mesma forma, se b eh uma raiz de Q(x), entao K[x]/(Q(x)) eh isomorfo a > K[b]. > > Mas: > K[a] = {u_0 + u_1*a + u_2*a^2 + ... + u_n*a^n | u_i pertence a K} > e > K[b] = {v_0 + v_1*b + v_2*b^2 + ... + v_n*b^n | v_i pertence a K}. > > Serah que K[a] e K[b] sao isomorfos? > > Eu acho que sim. O que voce acha?
Oi, Cl�udio. Eu acho o mesmo que voc�. Eu acho tamb�m que o desejado isomorfismo entre corpos � aquele mais natural poss�vel que leva os coeficientes u_i nos mesmos coeficientes v_i. Mas a� surge o problema de que n�o sei onde vou entrar com a informa��o de que P e Q s�o irredut�veis. O que me indica que eu n�o estou sabendo ENTENDER direito estes conceitos e corpos. Bom, como estou de f�rias e fui convidado para ir � praia (aqui em Porto Alegre, n�o h� praia ;) ), vou passar este final de semana nela, e n�o vou ler mais as mensagens. S� segunda-feira, quando voltar. At� l�, n�o responderei portanto, mas vou pensar mais na quest�o e assim que chegar vou ver as mensagens da lista. N�o sei se voc� concorda comigo. Mas acho que os livros (pelo menos os que eu j� li) passam r�pido demais por an�is do tipo R[x] / (P) e n�o esclarecem grande coisa, ou ser� que somos n�s com uma dificuldade boba...? Abra��o e valeu! Duda. > > Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere que > > n�o: > > > > Se P e Q s�o polin�mios em t sobre K, P � irredut�vel e Q n�o � ent�o F = > > K[t] / (P) � um corpo mas G = K[t] / (Q) n�o �. � imposs�vel que haja um > > isomorfismo (de an�l) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos. O > > que me sugere que neste caso eles n�o s�o isomorfos. > > > Concordo com o argumento. > > > Obrigado pela resposta e pela indica��o do site. > > > > Voc� j� leu o livro "Galois Theory", do Ian Stewart? Estou estudando por > > ele, e me surgiu esta d�vida em um dos exerc�cios do livro. Na verdade, esta > > � a segunda, a outra foi sobre Zn*. > > > Ainda nao. Esse semestre eu pretendo fazer um curso sobre esse assunto na > USP. Espero estar mais afiado em julho... > > Um abraco, > Claudio. > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
