Cl�udio,
Muito obrigado pela explica��o. Gostaria ainda de perguntar se voc� conhece
algum teorema sobre uma fun��o ter ou n�o a sua fun��o inversa em termos de
fun��es elementares. Afinal, isso seria de grande utilidade para fun��es n�o
polinomiais: por exemplo, j� sabemos que uma equa��o de quinto grau s� pode
ser resolvida em "casos particulares", e n�o de forma geral, como provaram
Abel e Galois.
J� sobre o seu "desafio", vamos l�. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o
conjunto-verdade � {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, ap�s a
constru��o gr�fica, observa-se que a fun��o � bijetora, portanto, a sua
fun��o inversa existe.
Como obt�-la? Simples: y = x^3 + 3x <=> x^3 + 3x - y = 0, que j� � uma
equa��o reduzida do terceiro grau. Para resolv�-la, cada um usa o m�todo que
preferir, convier ou souber. Creio que o m�todo de Tartaglia � o que melhor
se aplique, sem o uso de qualquer varia��o.
Assim, dada uma equa��o do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das
solu��es � obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) +
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) +
cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as vari�veis, a fun��o inversa de
f(x) � dada por y = cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 -
sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a express�o ainda possa ser simplificada, mas n�o
creio que seja essa a inten��o.
De todo modo, fiquei com uma d�vida: a fun��o inversa de f(x) = x^3 + 3x �
�nica se considerarmos f: R -> R, certo? E se consider�ssemos f: C -> C? Se
n�o estou errado, ter�amos um "gr�fico de 4 dimens�es" e estudar a fun��o
n�o me parece f�cil definitivamente. E o que me pergunto � exatamente: o
conceito de bije��o vale, de forma semelhante, para C? No caso de ser
v�lido, faz sentido (e � �til) considerar que a fun��o f: C -> C tenha mais
do que uma fun��o inversa?
Ficarei grato se voc� puder esclarecer, Cl�udio, embora imaginar tais "4
dimens�es" j� me pare�a um tanto dif�cil...
Abra�os,
Rafael de A. Sampaio
----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, February 12, 2004 9:54 AM
Subject: Re: [obm-l] Fun��es inversas
> Infelizmente nao ha nada a se fazer. Ha certas funcoes que nao podem ser
> expressas como combinacao de funcoes elementares, mas que no entanto
existem
> e podem ateh ser bijetoras, tais com as inversas das funcoes acima
(imagino
> que voce queira dizer que a segunda eh uma bijecao entre o conjunto dos
> reais positivos e o conjunto dos reais). A mesma coisa ocorre ateh com
> algumas funcoes polinomiais. Por exemplo, qual a inversa de h:R -> R dada
> por h(x) = x^5 + 6x + 3? Por outro lado, eh possivel achar uma expressao
> para a inversa de k:R _> R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue?
>
> Um abraco,
> Claudio.
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