on 14.02.04 01:46, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Cl�udio,
>
> Muito obrigado pela explica��o. Gostaria ainda de perguntar se voc� conhece
> algum teorema sobre uma fun��o ter ou n�o a sua fun��o inversa em termos de
> fun��es elementares.
Nao conheco, mas sei que existe um algoritmo que testa se a integral
indefinida de alguma funcao pode ser expressa como combinacao de funcoes
elementares. Jah houve inclusive mensagens a respeito na lista.
> Afinal, isso seria de grande utilidade para fun��es n�o
> polinomiais: por exemplo, j� sabemos que uma equa��o de quinto grau s� pode
> ser resolvida em "casos particulares", e n�o de forma geral, como provaram
> Abel e Galois.
> J� sobre o seu "desafio", vamos l�. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o
> conjunto-verdade � {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, ap�s a
> constru��o gr�fica, observa-se que a fun��o � bijetora, portanto, a sua
> fun��o inversa existe.
Um argumento que apela pra construcao grafica nao eh muito rigoroso. Talvez
seja mais facil observar que f eh ilimitada e a derivada f'(x) = 3x^2 + 3 eh
sempre positiva. Ou entao, voce pode provar no braco que para todo y em R,
existe x em R tal que x^3 + 3x = y (que foi o que voce fez mais abixo) e que
x^3 + 3x = y^3 + 3y (x e y reais) implica y = x (uma fatoracao facil).
> Como obt�-la? Simples: y = x^3 + 3x <=> x^3 + 3x - y = 0, que j� � uma
> equa��o reduzida do terceiro grau. Para resolv�-la, cada um usa o m�todo que
> preferir, convier ou souber. Creio que o m�todo de Tartaglia � o que melhor
> se aplique, sem o uso de qualquer varia��o.
>
> Assim, dada uma equa��o do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das
> solu��es � obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) +
> cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) +
> cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as vari�veis, a fun��o inversa de
> f(x) � dada por y = cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 -
> sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a express�o ainda possa ser simplificada, mas n�o
> creio que seja essa a inten��o.
A ideia eh essa mesmo.
> De todo modo, fiquei com uma d�vida: a fun��o inversa de f(x) = x^3 + 3x �
> �nica se considerarmos f: R -> R, certo? E se consider�ssemos f: C -> C?
Tambem seria. A inversa de uma funcao, se existir, eh unica.
Soh que f: C -> C dada por f(x) = x^3 + 3x nao eh injetora. Por exemplo,
f(0) = f(i*raiz(3)) = f(-i*raiz(3)) = 0. Logo, f nao possui inversa.
> Se n�o estou errado, ter�amos um "gr�fico de 4 dimens�es" e estudar a fun��o
> n�o me parece f�cil definitivamente. E o que me pergunto � exatamente: o
> conceito de bije��o vale, de forma semelhante, para C?
O conceito de bijecao vale pra qualquer conjunto (mesmo nao numerico), assim
como sempre vale o fato de que f tem uma inversa se e somente se f eh uma
bijecao.
> No caso de ser
> v�lido, faz sentido (e � �til) considerar que a fun��o f: C -> C tenha mais
> do que uma fun��o inversa?
Nao. Veja acima.
> Ficarei grato se voc� puder esclarecer, Cl�udio, embora imaginar tais "4
> dimens�es" j� me pare�a um tanto dif�cil...
A dificuldade de visualizacao nao tem nada a ver com a existencia de
inversas. Eh mais uma limitacao da mente humana. No mais, voce nao precisa
de graficos. Voce pode sempre trabalhar algebricamente (e, portanto, tratar
o R^4 ou o C^2 como um conjunto de quadruplas ordenadas de numeros reais).
Um abraco,
Claudio.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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