on 02.03.04 16:30, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Tue, Mar 02, 2004 at 03:01:26PM -0300, Claudio Buffara wrote: >> on 02.03.04 15:28, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> >>> On Tue, Mar 02, 2004 at 12:27:42PM -0300, Claudio Buffara wrote: >>>> Uma duvida: existe uma maneira mais curta de se provar que A = I, dado que >>>> A^2005 = I e que os autovalores de A sao 1, 1 e 1? >>> >>> Se p(A) = 0 e as ra�zes de p s�o todas simples ent�o A � diagonaliz�vel. >>> Uma matriz diagonaliz�vel com todos os autovalores iguais a 1 � obviamente >>> a identidade. >>> >>> []s, N. >>> >> Exatamente, mas no caso 1 eh raiz tripla de p(x). Nesse caso ainda posso >> afirmar, a priori, que A eh diagonalizavel? > > Ou voc� n�o me entendeu ou eu n�o entendi voc�: > p(x) = x^2005 - 1 s� tem ra�zes simples. > > []s, N. > Como sempre, eu eh que nao entendi! Supuz erroneamente que o seu p(x) era o polinomio caracteristico. O resultado que voce menciona (e que eu nao conhecia) eh: se A eh raiz de algum polinomio que soh tem raizes simples, entao A eh diagonalizavel.
Pensando bem, eu conhecia sim: m(x), o polinomio minimo de A, divide p(x). Isso implica que m(x) soh tem raizes simples. Mas a eh raiz de m(x) se e somente se a eh autovalor de A. Logo, se os autovalores de A sao iguais a 1, soh pode ser m(x) = x - 1 ==> m(A) = A - I = 0 ==> A = I. Obrigado e um abraco, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
