Oi Cláudio, A sua idéia foi de fato muito interessante. Acho que soh precisa modificar alguns pontos, para adapta-la a espacos metricos gerais. No caso de espacos Euclidianos, acho que estah perfeita.
> > Supondo tambem que A e B sao disjuntos, aqui vai > minha tentativa: > > Como A eh limitado, tome uma bola fechada X que > contem A. > Entao, B* = B inter X serah um conjunto compacto e > tal que dist(A,B) = > dist(A,B*). Supondo-se B* nao vazio certo? Aqui hah um detalhe sutil. No caso de espacos metricos gerais, nao podemos afirmar que bolas fechadas sejam sempre compactas. Logo, naum podemos afirmar que B* seja compacto. > Suponhamos que dist(A,B*) = 0. > > Entao, existirao uma sequencia (a_n) de pontos de A > e uma sequencia (b_n) de > pontos de B* tais que lim dist(a_n,b_n) = 0. > > Como A e B* sao limitados, tanto (a_n) quanto (b_n) > possuirao subsequencias > convergentes. Assim, podemos supor s.p.d.g. que > (a_n) e (b_n) sao > convergentes. Bem, em espacos metricos gerais isto naum eh verdade. Eh verdade em espacos metrico compactos e em subconjuntos compactos de espacos metricos gerais, mas naum podemos garantir que B* seja compacto. > > Sejam a = lim a_n e b = lim b_n. > Mas lim dist(a_n,b_n) = dist(lim a_n, lim b_n) = > dist(a,b) = 0 <==> a = b > > *** Eu nao manjo nada de topologia. ?????? Afirmacao FALSA Assim, nesse > ponto estou fazendo uma > analogia com sequencias na reta: > se a_n -> a, b_n -> b e |a_n - b_n| -> 0, entao a = > b, pois podemos escrever > |a - b| = |a - a_n + a_n - b_n + b_n - b| <= > |a - a_n| + |a_n - b_n| + |b_n - b| < eps/3 + eps/3 > + eps/3 = eps ==> > |a - b| = 0 ==> a = b > *** Esta analogia de fato adapta-se "verbatim" a espacos metricos gerais , bastando substituir || pela funcao distancia d do espaco metrico. > > Como A e B* sao fechados, a pertence a A e b > pertence a B ==> > a = b pertence a A inter B* ==> > contradicao, pois A e B* sao disjuntos ==> > dist(A,B*) > 0. > > O que lhe parece? Acho que com um pouco mais de detalhes esta ideia pode funcionar. Naum pude aprofundar agora. Mais tarde mando a solucao que eu encontrei. Artur __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Search - Find what you’re looking for faster http://search.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================