on 01.06.04 16:11, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: >>>> 2. Três lados consecutivos de um quadrilátero convexo são a, b e c. >>>> Determine o quadrilátero de área máxima . > > As vezes da vontade de voltar no tempo e prestar atencao no que e dito > em sala de aula. Eu tenho uma suspeita pra essa questao, mas nao sei > nem por onde comecar, entao vou so dar uma de maluco e > mandar assim: a area maxima e A= (a+c)/2*b. > Isso eh consequencia do teorema de Chutagoras... Voce tambem podia ter usado o metodo das acoxambracoes sucessivas.
> Eu tava pensando que se vc tem um triangulo tipo LAL (lado-angulo-lado) > nao deve ser dificil provar que a area desse triangulo e maxima quando A = > pi/2. > Area = (1/2)*a*b*sen(C). Se a e b sao fixos, entao: A serah maxima <==> sen(C) = 1 <==> C = Pi/2. > Se eu soubesse alguma coisa de matematica eu apartir dai ia tentar provar > que > a area e maxima quando o maior numero de angulos internos e pi/2. > Eu pensei nisso tambem, mas veja o que aconteceu: Seja ABCD o quadrilatero, de forma que: AB = a, BC = b, CD = c. Ponha AC = x. Entao, 2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*x*sen(ACD) Lei dos Cossenos ==> x = raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC)). Assim: 2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC))*sen(ACD). Ou seja, temos duas variaveis independentes para escolher: ABC e ACD. Eh facil ver que 2*[ABCD] maximo ==> sen(ACD) maximo ==> sen(ACD) = 1 ==> ACD = Pi/2 ==> 2*[ABCD]max = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC)) Pondo cos(ABC) = t, teremos sen(ABC) = raiz(1 - t^2) >= 0, pois 0 <= ABC <= Pi. Se F(t) = 2*[ABCD], entao: F(t) = a*b*raiz(1 - t^2) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) Nesse ponto, nao eh obvio que devemos ter ABC = Pi/2 (t = 0), pois se Pi/2 < ABC < Pi, t = cos(ABC) serah negativo, o que aumentarah ainda mais o radicando, apesar de reduzir a primeira parcela. De qualquer forma, F(t) serah maximo para t no intervalo [-1,0] (eh soh olhar e ver). Se t = -1, entao ABC = 0 e o quadrilatero de area maxima degenera no triangulo ACD, cuja area eh igual a (1/2)*(a+b)*c. Se t = 0,entao [ABCD] = (1/2)*(a*b + c*|a-b|). Para achar os pontos criticos de F, temos que derivar e igualar a zero: F'(t) = -a*b*t/raiz(1 - t^2) - a*b*c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) F'(t) = 0 ==> t/raiz(1 - t^2) = - c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) ==> t^2/(1 - t^2) = c^2/(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) e t < 0 ==> t = raiz negativa de 2*a*b*t^3 - (a^2 + b^2 + c^2)*t^2 + c^2 = 0 E ai, meu caro, vai depender dos valores de a, b, c... (incluir receita de torta de chocolate nesse ponto) > Dai ia concluir a//c e chegava na area que escrevi no comeco. > > Como nao sei nada escrevo essa ideia maluca porque pode ou dar um estalo em > quem entende do assunto ou pelo menos fazer rir > Epa! Essa eh a minha area. Nao sei se essa lista tem espaco para dois palhacos... []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================