Aqui vai outra solucao (longa) ... Eu ainda gostaria de ver uma solucao grega pra esse problema. > 2. Três lados consecutivos de um quadrilátero convexo são a, b e c. > Determine o quadrilátero de área máxima .
Seja ABCD o quadrilatero, de forma que: AB = a, BC = b, CD = c. Ponhamos AC = x. Entao, 2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*x*sen(ACD) Lei dos Cossenos ==> x = raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC)). Assim: 2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC))*sen(ACD). Ou seja, temos duas variaveis independentes para escolher: ABC e ACD. Eh facil ver que 2*[ABCD] maximo ==> sen(ACD) maximo ==> sen(ACD) = 1 ==> ACD = Pi/2 ==> 2*[ABCD]max = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC)) Pondo cos(ABC) = t, teremos sen(ABC) = raiz(1 - t^2) >= 0, pois 0 <= ABC <= Pi. Se F(t) = 2*[ABCD], entao: F(t) = a*b*raiz(1 - t^2) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) Naturalmente, F(t) serah maximo para t em [-1,0]. Para achar os pontos criticos de F, temos que calcular F'(t): F'(t) = -a*b*t/raiz(1 - t^2) - a*b*c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) F'(0) = -a*b*c/raiz(a^2+b^2) < 0 F'(t) -> +infinito quando t -> -1 pela direita. Logo, t = 0 e t = -1 nao sao pontos de maximo. Assim, o ponto de maximo estarah no intervalo (-1,0) F'(t) = 0 ==> t/raiz(1 - t^2) = - c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) ==> t^2/(1 - t^2) = c^2/(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) e -1 < t < 0 (*) Como o triangulo ACD eh retangulo em C, teremos que cos(ADC) = CD/AD. Pondo cos(ADC) = s > 0 (pois ADC < Pi/2), teremos: s = c/raiz(c^2+x^2) = c/raiz(a^2 + b^2 + c^2 - 2*a*b*t) ==> s^2 = c^2/(a^2 + b^2 + c^2 - 2*a*b*t) ==> s^2/(1 - s^2) = c^2/(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) (**) (*) e (**) ==> t^2/(1 - t^2) = s^2/(1 - s^2) ==> t^2 = s^2 ==> t = -s, pois t < 0 e s > 0 ==> cos(ABC) = -cos(ADC) ==> ABC = Pi - ADC ==> ABCD eh ciclico Alem disso, como o triangulo ACD eh retangulo, AD serah o diametro do circulo circunscrito a ABCD. Interessante observar que para obtermos o valor de t = cos(ABC), precisaremos resolver uma equacao do 3o. grau: 2*a*b*t^3 - (a^2 + b^2 + c^2)*t^2 + c^2 = 0 (t serah a raiz negativa dessa equacao) []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================