2. Tres lados consecutivos de um quadrilatero convexo sao a, b e c. Determine o quadrilatero de area maxima.
Suponha que exista tal quadrilatero. Considere a linha poligonal ABCD (com a = AB, b = BC, c = CD) inscrita num circulo de modo que a area do quadrilatero ABCD seja maxima. Suponha por absurdo que ABD > Pi/2 (angulo ABD > Pi/2) Seja A' tal que BA' = BA com A'BD < ABD |ABD - A'BD| infinitesimal. Neste caso podemos dizer que a reta AA' eh perpendicular a AB. Seja du > 0 o infinitesimo tal que du = m(AA'). Quando trocamos A por A' a area ganha A_g eh a area do triangulo DAA' e a area perdida A_p eh a area do triangulo BAA'. Assim, dS = A_g - A_p. Mas A_p = (a/2)du ja que AA' eh perpendicular a AB (infinitesimalmente falando) e A_g = (h/2)du, onde h = m(DP) sendo P a projecao de D sobre AA'. Como ABDP eh um trapezio com os angulos BAP = APD = Pi/2 e como ABD > Pi/2 entao PD > AB, isto eh, h > a. Entao: dS = A_g - A_p = (h/2)du - (a/2)du = = (du/2)(h-a) > 0, isto eh dS > 0 (houve ganho de area), logo ha quadrilateros de area maior (ABSURDO). Logo ABD =< Pi/2. De modo analogo prova-se que ABD >= Pi/2. Portanto ABD = Pi/2. Por simetria ACD = Pi/2. Logo o quadrilatero procurado eh inscritivel e seu quarto lado eh o diamentro do circulo circunscrito. [ ]'s Eric. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================