Hermann, Eu tenho uma idéia:
Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]). Para o número x=ABC...N0: ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2) A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N1: ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N2: ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N3: ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N4: ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N5: ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2) A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N6: ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N7: ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N8: ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N9: ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = x^5) (C.Q.D.) Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida. (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10) Beijos, -- -><- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] "Em tudo Amar e Servir" -><- On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Por favor... > Como demonstro o seguinte: > > Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. > > TEntei fazer por indução empaquei. > Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente > > espero que alguém da lista saiba > Obrigado, > Hermann ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================