Bem, eu fiz isso meio corrido, certamente h� passagens que possam ser melhoradas por caminhos mais curtos. Ok.
Considere o tri�ngulo ABC. Seja H_x o p� da altura relativa ao v�rtice X (Ha e A, por exemplo), M_x o ponto m�dio do lado oposto ao v�rtice X, L_x o ponto m�dio do segmento que une o v�rtice X ao ortocentro H e seja M o circuncentro. Vou fazer em particular para o v�rtice A; os demais s�o an�logos. Repare que HH_a//MM_a pois ambos s�o perpendiculares a BC. Temos que HL_b/HL_c = (HB/2)/ (HC/2) = HB/HC e ^BHC � comum ==> HL_bL_c ~ HBC ==> L_bL_c//BC. Seja P_a = L_bL_c inter HH_a. Temos HP_a perpendicular a L_bL_c, e portanto P_a � p� da altura relativa a H no tri�ngulo HL_bL_c. Trace HM_a e seja N_a = L_bL_c inter HM_a. � f�cil ver que N_a est� sobre a mediatriz de H_aM_a e � paralela a HH_a e MM_a. Esta mediatriz intercepta HM no ponto O. ==> K_aO ==M_aO. Ainda, como L_bN_a//BM_a, HL_bN_a ~ HBM_a, e a raz�o de semelhan�a � 1/2, visto que HL_b/HB = 1/2. Segue que L_bN_a = (1/2)*BM_a. Como M_a � ponto m�dio de BC e como L_bL_c = (1/2)BC, vem que N_a � ponto m�dio de L_bL_c. Logo,N_aO tb � mediatriz de L_bL_c, donde OL_b == OL_c. Aplicando o procedimento acima para os tr�s v�rtices, vir� que OH_a == OM_a, OH_b == OM_b, OH_c == OM_c e OL_a == OL_b == OL_c. Observe que OH == OM, pois ON_x//MM_x e HN_x = (1/2)*HM_x para qualquer v�rtice X. A semelhan�a dos tri�ngulos HON_x e HMM_x nos d� OH/HM = 1/2, logo OH == OM. Bem, se provarmos que OL_x ==OM_x para todo X, todas as congru�ncias ser�o unificadas e portanto a cirfunfer�ncia com centro em O e raio OM_x ser� a circunfer�ncia dos nove pontos. Novamente, farei para A o que pode ser feito para qualquer v�rtice. Trace L_aM_a. Seja L_aM_a inter HM = Z. L_aH // MM_a e ^L_aZH == ^MZM_a (op. pelo v�rtice) ==> L_aHZ ~ MZM_a ==> L_aZ/M_aZ = HZ/MZ = L_aH/MM_a. Queremos mostrar que Z = O. Sabemos que H, M e o baricentro G est�o alinhados na reta de Euler (mais abaixo eu provo isso). Ainda, 2*M_aG = AG (novamente, o que � feito para A vale para todo v�rtice). Como AH // M_aM, tem-se AHG ~ MM_aG e a raz�o de semelhan�a � 2. Logo, AH = 2*MM_a. Como L_aH = AH/2, segue que L_aH = MM_a, ou seja, L_aH/MM_a = 1. Mas isto implica L_aZ/M_aZ = HZ/MZ = 1, o que ocorre somente se Z for o ponto m�dio de HM, isto �, Z = O, e acabamos! Pode-se mostrar tamb�m que o raio da circunfer�ncia dos nove pontos mede metade do raio da circunfer�ncia circunscrita, mas isso fica para outro dia... Agora, a reta de Euler: fiquei devendo isso na demonstra��o. Ok, temos o tri�ngulo ABC, a mediana CM (M em AB) que cont�m o baricentro G (CG = 2*GM; isto � f�cil de mostrar) e a circunfer�ncia circunscrita com centro O. Na reta que passa por G e O, tome H tal que G esteja entre H e O e HG = 2*GO. Como tamb�m se cumpre que CG=2*GM e ^HGC = ^OGM, tem-se CGH ~MGO, e logo temos CH // MO. Mas MO � um segmento da mediatriz relativa a AB, sendo perpendicular a este. Logo, CH � segmento da altura relativa a este mesmo lado. Como H � determinado por G e o ponto m�dio de um lado, podemos deduzir AH e BH, bem como que as tr�s alturas se interceptam num �nico ponto H, sendo H, G e O alinhados na assim chamada reta de Euler. UFA!! Edward Elric ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >To com grande problemas nos seguintes exercicios: > >(C�RCULO DOS 9 PONTOS) Dado um tri�ngulo ABC, mostre que os p�s das 3 >alturas, os pontos m�dios dos lados e os pontos m�dios dos segmentos que >unem o ortocentro a cada um dos v�rtices pertencem a um mesmo c�rculo. > > >O circuncentro, o baricentro, o ortocentro e o centro do c�rculo dos 9 >pontos de um tri�ngulo s�o sempre colineares. > > > >Eu tentei por geometria analitica mas nao ficou viavel... > >_________________________________________________________________ >MSN Messenger: converse com os seus amigos online. >http://messenger.msn.com.br > >========================================================================= >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
