Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC. IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde "p", "q" e "r" sao reais positivos. E obvio que variando inteligentemente "p", "q" e "r" teremos todas as piramides possiveis. Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1. Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano. Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura. A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO E facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no plano alfa. Sua equacao sera : (X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0 EQUACAO (1) Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o circuncentro. Seja E este circuncentro. Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2. Assim, se F e o ortocentro, teremos : F - D = -2*(F - E) B) VERIFICANDO A CONJECTURA Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou. Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar grandona e eu nao tenho tanto tempo assim. O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha, por exemplo, que AB^2 >= BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS "p", "q" e "r" ja defionidos, teriamos : p^2 + q^2 >= q^2 + r^2 + p^2 + r^2 => 2*(r^2) =< 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser maior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o triangulo e acutangulo. Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 7,0A19,030B07 > Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas: > > 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma > correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas > ressaltando as diferenças nos dois casos. > > 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no > vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então: > > a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é > perpendicular ao plano ABC. > > b) O triângulo ABC é acutângulo. > > Grato desde já. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
