Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, A palavra TETRAEDRO tem um significado preciso na Geometria euclidiana, referindo-se a piramide triangular formada por 4 triangulos equilateros. E o mais simples dos poliedros regulares. Logo, nao ha angulo reto entre quaisquer duas arestas contiguas
Eu diria que foi apenas um uso inadeguado de linguagem. A sua exposição posterior deixa claro que voce estava se referindo a uma piramide triangular que nao e um tetraedro. Toda tentativa e valida e esclarece um pouco a questao. Um Abracao Paulo Santa Rita 3,1204,060A07 Em 06/11/07, [EMAIL PROTECTED]<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Prezado e nobre Paulo Santa Rita: > Então, por minha falta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi o > rato. E ainda, é capaz do rato não ter morrido. (sorriso) É isso?! (sorriso > mais largo, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?... > O tetraedro possui como faces 4 triângulos equiláteros é isso? > Mas, (já com ar de interrogação) , a inquirição não fala em ângulos retos? > A tentativa que fiz é subconjunto ou está contida na que resolve o problema > efetivamente apresentado? > Qual o grau de validade de que escrevi? > > Fraternalmente, João. > > [EMAIL PROTECTED] escreveu: ----- > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > De: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> > Enviado por: [EMAIL PROTECTED] > Data: 03/11/2007 8:30 > Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial > > Ola Joao Carlos e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa > os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do > poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces > iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular > cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC. > > IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas > XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos > (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde "p", "q" e "r" sao reais positivos. E > obvio que variando inteligentemente "p", "q" e "r" teremos todas as > piramides possiveis. > > Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1. > Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano. > Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura. > > A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO > > E facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela > media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e > D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de > encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O > ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o > ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma > reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no > plano alfa. Sua equacao sera : > > (X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0 EQUACAO (1) > > Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC > e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E > EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o > circuncentro. Seja E este circuncentro. > > Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao > alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente > o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2. > Assim, se F e o ortocentro, teremos : > > F - D = -2*(F - E) > > B) VERIFICANDO A CONJECTURA > > Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por > este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta > perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta > reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou. > > Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar > grandona e eu nao tenho tanto tempo assim. > > O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver > como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos > retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha, > por exemplo, que AB^2 >= BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS "p", > "q" e "r" ja defionidos, teriamos : p^2 + q^2 >= q^2 + r^2 + p^2 + > r^2 => > 2*(r^2) =< 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser > maior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o > triangulo e acutangulo. > > > > Um Abraco a todos > Paulo Santa Rita > 7,0A19,030B07 > > > > > > > Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas: > > > > 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma > > correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas > > ressaltando as diferenças nos dois casos. > > > > 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no > > vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então: > > > > a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é > > perpendicular ao plano ABC. > > > > b) O triângulo ABC é acutângulo. > > > > Grato desde já. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================