Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Tudo tranquilo ! Considere o seguinte :
( PROBLEMA) Dividimos cada um dos tres lados de um besouro ABC em N partes iguais. Ligamos o vertice A do Besouro ao ponto de divisao do Lado BC que esteja mais broximo do vertice B. Ligamos o vertice B do Besouro ao ponto de divisao do Lado AC que esteja mais proximo do vertice C e, finalmente, ligamos o vertice C do besouro ao ponto de divisao do lado AB que esteja mais proximo do vertice A. Surgira um besourinho no interior do besouro ABC, Determine o maior valor de N tal que a razao entre as areas do besourinho e do besouro seja inferior a 1/7. Sem duvida que voce "entende" a questao. Voce tem entao, em verdade, dois problemas , a saber : Corrigir uma palavra e resolver o problema. Voce pode fazer uma dentre quatro possibilidade : 1) Nao corrigir a palavra e nao resolver o problema 2) Nao corrigir a palavra e resolver o problema 3) Corrigir a palavra e nao resolver o problema 4) Corrigir a palavra e resolver o problema Qual a alternativa mais gentil comigo ? ... Foi o que eu fiz com voce ! Considere agora que voce esta assistindo a um concurso de Miss. Suponha que as concorrentes passaram por provas rigorosas e que a vencedora e uma mulher escultural, realmente um a beldade digna dos mais sinceros elogios. Suponha finalmente que uma pessoa sentada ao seu lado faca a seguinte observacao : -- O dedinho do pe esquerdo da miss universo e muito feio. O que voce acha dessa observacao ? ... SUGESTAO : Use o teorema de Menelau para resolver o problema do TRIANGULO ABC. Um Abraco Paulo Santa Rita 6,0B0E,090B07 Em 08/11/07, João Pedro de Gusmão Silva<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Senhor Paulo Santa Rita, tudo depende da definição! O que é um tetraedro? > Tetraedro é o poliedro formado por 4 faces triângulares. Então é claro que > pode um tetraedro ser do tipo do enunciado. Você deve está confundindo com > poliedro regular! No caso de poliedro regular, aí sim o tetraedro só tem > ângulos de 60° nas suas faces. > Seja a definição de poliedros em um bom livro de Matemática! Como por > exemplo: A Matemática do Ensino Médio, volume 2. > Dos autores: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e > Augusto César Morgado* (inesquecível). > > Espero ter ajudado. > > > > Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ola Joao Carlos e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > A palavra TETRAEDRO tem um significado preciso na Geometria > euclidiana, referindo-se a piramide triangular formada por 4 > triangulos equilateros. E o mais simples dos poliedros regulares. > Logo, nao ha angulo reto entre quaisquer duas arestas contiguas > > Eu diria que foi apenas um uso inadeguado de linguagem. A sua > exposição posterior deixa claro que voce estava se referindo a uma > piramide triangular que nao e um tetraedro. > > Toda tentativa e valida e esclarece um pouco a questao. > > Um Abracao > Paulo Santa Rita > 3,1204,060A07 > > > > Em 06/11/07, [EMAIL PROTECTED] > escreveu: > > Prezado e nobre Paulo Santa Rita: > > Então, por minha falta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi > o > > rato. E ainda, é capaz do rato não ter morrido. (sorriso) É isso?! > (sorriso > > mais largo, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?... > > O tetraedro possui como faces 4 triângulos equiláteros é isso? > > Mas, (já com ar de interrogação) , a inquirição não fala em ângulos retos? > > A tentativa que fiz é subconjunto ou está contida na que resolve o > problema > > efetivamente apresentado? > > Qual o grau de validade de que escrevi? > > > > Fraternalmente, João. > > > > [EMAIL PROTECTED] escreveu: ----- > > > > Para: [email protected] > > De: "Paulo Santa Rita" > > Enviado por: [EMAIL PROTECTED] > > Data: 03/11/2007 8:30 > > Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial > > > > Ola Joao Carlos e demais > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > > > > > Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa > > os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do > > poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces > > iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular > > cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC. > > > > IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas > > XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos > > (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde "p", "q" e "r" sao reais positivos. E > > obvio que variando inteligentemente "p", "q" e "r" teremos todas as > > piramides possiveis. > > > > Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1. > > Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano. > > Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura. > > > > A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO > > > > E facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela > > media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e > > D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de > > encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O > > ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o > > ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma > > reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no > > plano alfa. Sua equacao sera : > > > > (X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0 EQUACAO (1) > > > > Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC > > e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E > > EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o > > circuncentro. Seja E este circuncentro. > > > > Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao > > alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente > > o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2. > > Assim, se F e o ortocentro, teremos : > > > > F - D = -2*(F - E) > > > > B) VERIFICANDO A CONJECTURA > > > > Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por > > este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta > > perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta > > reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou. > > > > Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar > > grandona e eu nao tenho tanto tempo assim. > > > > O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver > > como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos > > retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha, > > por exemplo, que AB^2 >= BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS "p", > > "q" e "r" ja defionidos, teriamos : p^2 + q^2 >= q^2 + r^2 + p^2 + > > r^2 => > > 2*(r^2) =< 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser > > maior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o > > triangulo e acutangulo. > > > > > > > > Um Abraco a todos > > Paulo Santa Rita > > 7,0A19,030B07 > > > > > > > > > > > > > Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas: > > > > > > 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma > > > correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas > > > ressaltando as diferenças nos dois casos. > > > > > > 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no > > > vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então: > > > > > > a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é > > > perpendicular ao plano ABC. > > > > > > b) O triângulo ABC é acutângulo. > > > > > > Grato desde já. > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > > ________________________________ > Abra sua conta no Yahoo! 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