Ola Fernando Cores, Ronaldo Alonso e demais colegas desta lista ... OBM-L, A motivacao para esta mensagem e complementar a minha manifestacao anterior, apresentando um um algoritmo simples e eficiente para o calculo dos coeficientes dos polinomios Pi já definidos. Com este algoritmo ficara facil dar uma resposta rapida e exata para o problema de combinatoria proposto pelo Fernando Cores. Relembrando, haviamos definido os polinomios Pi pela recorrencia :
P0 = 1 Pi = (1 + (X^i) )*Pi-1, i = 1, 2, 3, ... Podemos olhar a segunda equacao na forma Pi = Pi-1 + (X^i)*Pi-1. Significa isso que cada Pi "aproveita" intactos todos os monomios de Pi-1 com grau inferior a "i", reduzindo a um único monomio os monomios de mesmo grau que existam em Pi-1 e (X^i)*Pi-1. Como Pk, para todo k, e claramente um polinomio completo com termo independente igual a 1, a observação anterior conduz a seguinte algoritmo de calculo dos coeficientes de Pi : ALGORITMO Seja C = (i*(1+i))/2. IMAGINE agora uma matrix P com "i" Linhas, numeradas de cima para baixo de 1 ate "i" e com "C+1" colunas, numeradas da esquerda para a direita de 0 ate "C". Seja tambem P(K,L) o valor numerico do cruzamento da linha K com a coluna L. A principio faca P(1,0) =1, P(1,1) = 1 e P(1,L)=0 para todo 1 < L < C. Para todo linha K fixada, tal que 1< K =< i, faca : 1) P(K,L) = 0 se L < K 2) P(K,L) = 1 se K =< L =< (K*(K+1))/2 3) P(K,L) = 0 se L > (K*(K+1)) / 2 após preencher as "i" linhas desta matrix segundo os criterios acima, a soma dos elementos de uma coluna L qualquer, 0 =< L =< C, fornecera o coeficiente de X^L do polinomio Pi, vale dizer, fornecera o numero de maneira de particionar o inteiro positivo L em partes duas a duas distintas e toda menores ou iguais a "i". Vou dar um exemplo. IMAGINE as numeracoes das linhas e colunas conforme a descricao que dei acima EXEMPLO : Coeficientes de P7. 11000000000000000000000000000 00110000000000000000000000000 00011110000000000000000000000 00001111111000000000000000000 00000111111111100000000000000 00000011111111111111100000000 00000001111111111111111111111 Somando as colunas teremos 11122344444333322222211111111 Logo, o polinomio P7 sera : P7=1+X+(X^2)+2*(X^3)+2*(X^4)+3*(X^5)+4*(X^6)+4*(X^7)+4*(X^8)+4*(X^9)+4*(X^10)+3*(X^11)+ 3*(X^12)+3*(X^13)+3*(X^14)+2*(X^15)+2*(X^16)+2*(X^17)+2*(X^18)+2*(X^19)+2*(X^20)+(X^21)+ (X^22)+(X^23)+(X^24)+(X^25)+(X^26)+(X^27)+(X^28) So a titulo de exemplificacao, o coeficiente de X^15 e 2, vale dizer, so existem duas maneiras de particionar 15 em parcelas distintas e menores ou iguais a 7, a saber : 2+6+7 e 3+5+7.Veja tambem que este algoritmo que imaginei e muito simples e facilimo de ser implementado em qualquer boa linguagem de programacao. Como so usa substituicoes e adicoes, sera tambem eficiente. Assim, em termos operacionais, o problema combinatorio do Fernando Cores já esta resolvido. Nos porem somos orgulhosamente Matematicos ... Sim, Matematicos ! Para nos, em geral, os algoritmos são apenas escoras que nos devem levar a uma compreensao superior das coisas. Isto posto, considerando o algoritmo descrito acima, vamos buscar uma solucao completa e acabada da questao. Fixe o algoritmo em sua cabeca. Note agora para uma coluna L > 1 qualquer, o primeiro 1 surge após um "boa" quantidade de zeros. Quem e essa quantidade de zeros que antecede o primeiro 1 ? E facil ver trata-se do maior K tal que (K*(K+1)) /2 < L. Se (K*(K+1))/2 >= L entao no polinomio Pk já surge o termo X^L, ou seja, já existe um numero 1 na linha K. Feito esta observação, o calculo exato e não operacional do coeficiente de X^L na sequencia de polinomio Pi segue facilmente, a saber : COEFICIENTE DE X^L NOS POLINOMIOS Pi Doravante, chamarei de C(L,i) o coeficiente de X^L no polinomio "i" 1 ) Seja K o maior inteiro k tal que [ k*(k+1) / 2 ] < L 2) Se i =< L faca C(L,i) = i – K, Se i > L faca C(L,i) = L – K EXEMPLO Qual o coeficiente de X^1007514 em P2007 ? 1) Maior inteiro K tal que ( K*(K+1) ) / 2 < 1007514 Fazendo um calculo rapido achamos K = 1419. 2) Como 2007 < 1007514 fazemos C(1007517,2007) = 2007 – 1419 = 588 Assim, o coeficiente de X^1007514 em P2007 e 588. em termos do problema combinatorio do Fernando Cores significa que existem 588 maneiras de dividir o conjunto A={1,2,...,2007} em duas partes disjuntas B eC tais que a soma dos elementos de B seja igual a soma dos elementos de C. O CASO GERAL PROBLEMA : De quantas maneiras e possivel expressar o conjunto A = {1, 2, 3, ..., N } na forma A = B uniao C tal que : 1) B intersecao C = conjunto vazio 2) Soma dos Elementos de B = Soma dos Elementos de C Conforme já vimos na mensagem anterior, achamos L = (N*(N+1)) /4. Perguntamos entao "Qual o coeficiente de X^L em Pn ? ". Achamos entao o maior inteiro positivo k tal que (k*(k+1))/2 < L . Seja K este valor. Se N < L fazemos C(L,N) = N – K. Se N >= L fazemos C(N,L) = L – K. OBSERVACOES FINAIS 1) E obvio ululante que voce pode pensar em dividir o conjunto A = {1,2,...,N} não em apenas dois conjunto disjuntos B e C com mesma soma de elementos. Voce pode aplicar esta mesma tecnica para 3, 4 ou mais conjuntos, desde de que a soma 1 + 2 + ... + N seja divisivel por 3, 4 etc 2) Não achei necessario justificar que o ALGORITMO que descobri realmente calcula os coeficientes de Pi porque ele me parece evidente em face da expressao da sequencia de polinomios Pi=Pi-1 + (X^i)*Pi-1 : ele e apenas uma maneira conveniente de registrar os calculos desta expressao. 3) Se alguem desejar divulgar ou usar em outro paper este ALGORITMO ou as tecnicas aqui apresentadas não tem problemas . Basta citar que trata-se de uma producao de um membro da LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS DE MATEMATICA da PUC-RJ ( Lista de discussao de Matematica do Nicolau ) 4) Qualquer erro aqui a culpa e toda minha. Não me milindra qualquer correcao que algum colega queira fazer. Mas lembre-se que não dispomos de muito tempo para fazer uma re-leitura ou/e correcoes : as ideias vao surgindo e nos vamos escrevendo Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 6,0A29,090B07 Em 07/11/07, fccores<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Prezado Paulo Santa Rita, > > Primeiramente obrigado por sua detalhada e clara explicação do > problema, apesar de também ter chegado a esta conclusão, de que os casos > favoráveis correspondem justamente ao coeficiente de x^(502*2007). Fato este > que me levou a consultar várias fontes, inclusive "Introdução à análise > combinatória", do mesmo autor do compêndio ao qual você se refere, na busca > de assuntos que ajudassem como: funções geradoras e partições de um inteiro. > Estudei, inclusive um outro problema correlato: > > "Determinar o coeficiente de x^k, 0=<k=<n, no desenvovimento de [1 + > ax].[1 + (a^2)x]...[1 + (a^n)x]." > > Em verdade, o problema se resume, agora, a determinar uma maneira > explícita (ou elementar) de calcular tal coeficiente, por isso esperava > (espero), talvez outras abordagens para aquele problema, já que o mesmo é um > problema olímpico, que me foi enviado por um amigo do Chile. Formulei > algumas outras conjecturas acerca do problema, como por exemplo que aquele > coeficiente é uma potência de 2, estou trabalhando na prova. > > Enfim, mais uma vez agradeço a clara e precisa mensagem e > parabenizo a todos pelas excelentes e frutíferas discussões desta lista, da > qual sou um leitor assíduo. > > Fernando Córes > > > > Ola Fernando e demais > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > Responder esta pergunta exige a solucao de um problema combinatorio > > previo, qual seja, o de determinar de quantas maneiras distintas > > podemos distribuir os elementos do conjunto A={ 1, 2, 3,..., 2007 } em > > dois outros conjuntos DISJUNTOS A e B de maneira que a soma dos > > elementos de B seja igual a soma dos elementos de C. Vou reformular > > este enunciado. > > > > Seja A = { 1, 2, 3, ..., 2007 }. Queremos saber de quantas maneiras > > distintas podemos exprimir A na forma A = B uniao C, onde : > > > > 1) B intersecao C = Conjunto Vazio > > 2) Soma dos elementos de B = Soma dos elementos de C > > > > Como 1 + 2 + 3 + ... + 2007 = (2007*(1+2007))/2 = 2015028 e claro que > > a soma dos elementos de B ( e, claro, de C também ) deverá ser 2015028 > > / 2 = 1007514. E e igualmente claro que para um determinando conjunto > > B com elementos oriundos de A e cuja soma destes elementos seja > > 1007514, o correspondente conjunto C que atende as exigencias 1) e 2) > > acima fica automaticamente determinado, C = A - B. Assim, precisamos > > nos preocupar apenas em determinar > > > > ( PRIMEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA ) > > > > ( ENUNCIADO1 ) Quantos conjuntos B podemos construir tais que os seus > > elementos sejam oriundos de A e que a soma destes elementos seja > > 1007514. > > > > Seja entao B = {b1, b2, b3, ..., bn } um destes conjuntos. Como > > 1007514 = b1+b2+...+bn e bi promana de A, vale dizer, bi e inteiro > > positivo, segue que "b1+b2+...+bn" e uma PARTICAO do numero 1007514. > > Ora, uma particao de um inteiro positivo N e uma soma de inteiros > > positivos, i1 + i2 + ... + in, distintos ou não, tais que N = i1 + i2 > > + ... + in. Logo, os conjuntos B que estamos buscando são em verdade > > todas as particoes de 1007514 que atendam as seguintes restricoes : > > > > 1) As parcelas devem ser duas a duas distintas > > 2) Nenhuma parcela pode ser superior a 2007 > > > > Esta ultima consideracao deixa claro que o que buscamos pode ser > > expresso assim : > > > > ( SEGUNDA REFORMULACAO DO PROBLEMA ) > > > > ( ENUNCIADO2 ) Quantas particoes de 1007514 podemos construir tais que > > as parcelas de cada particao sejam duas a duas distintas e nenhuma > > delas seja superior a 2007. > > > > Vamos nos fixar aqui. A principio, definimos a sequencia de polinomios : > > > > P0 = 1 > > Pi = ( 1 + (X^i) )*Pi-1, i = 1, 2, 3, ... > > > > Analisando a sequencia acima, e facil ver que > > > > 1) Todo Pi tem termo independente e coeficiente lider iguais a 1 > > 2) Todo Pi e um polinomio completo cujo grau e (i(1+i))/2 > > > > Um fenomeno notavel - facilmente observavel e simples de explicar - e > > que, para todo "n", um monomio com parte literal X^n surgira pela > > primeira vez na sequencia de polinomios no polinomio Pi tal que "i" > > seja o menor inteiro positivo tal que (i*(1+i))/2 >= n. Isso > > claramente decorre do fato de Pi ser completo e de grau (i*(1+i)) / 2 > > . E igualmente facil de ver que, após surgir, o coeficiente de X^n > > cresce ate atingir o seu valor maximo no polinomio Pn. > > > > Os coeficientes de X^n nos polinomios Pi onde ele aparece fornece > > informacoes importantes sobre as particoes de "n" em parcelas duas a > > duas distintas ... com efeito, dado que Pi = (1+ X )*(1 + (X^2) )*(1 + > > (X^3) )*...*(1+ (X^i) ), ao efetuar as multiplicacoes indicadas, um > > produto de ate "i" monomios da forma X^e, 1 =< e =< i, vai contribuir > > para a formacao final do coeficiente de X^n se a soma dos seus > > expoentes for "n", vale dizer, o coeficiente de X^n em Pi, i =< n, e > > igual ao numero de particoes de "n" em parcelas duas a duas distintas, > > todas menores que i+1. Por esta razao, o que estamos buscando pode ser > > expresso assim : > > > > ( TERCEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA ) > > > > ( ENUNCIADO3 ) Qual e o coeficiente de X^1007514 em P2007 ? > > > > Assim, fica claro a ligacao deste problema com a Teoria das Particoes. > > Este tema da teoria dos numeros e bastante amplo e antigo, com belas > > contribuicoes de Euler, Ramanujam e outros. O livro abaixo, elementar > > e introdutorio, trata desse tema : > > > > Introducao a Teoria dos Numeros > > Colecao Matematica Universitaria - IMPA > > Autor > > > > Voce tambem pode ver isso aqui : > > > > http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf > > > > Um Abraco a Todos > > Paulo Santa Rita > > 4,0738,070A07 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================