como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1
f(y+1)=f(y)
assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba.
da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x
real positivo e n natural.
seja r um irracional e b natural, temos que
f(br)=f(r)
e tambem temos que
f( br )= f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural..
onde [br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte
fracionaria.
assim f( {br} ) = f(r)
Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br}
) = f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a
(0,1).
Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou.
espero que esteja correto.
Abraços,
Felipe Diniz
On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa <[EMAIL PROTECTED] >
wrote:
>
>
>
>
> DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO
>
>
> ------------------------------
> Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800
> From: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] equacao funcional
> To: [email protected]
>
> Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy)
> para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante.
>
>
> ------------------------------
> Abra sua conta no Yahoo!
> Mail<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/>,
> o único sem limite de espaço para armazenamento!
>
>
> ------------------------------
> Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie
> já o seu! <http://www.amigosdomessenger.com.br>
>
