Essa questão foi o desafio da EAF - ITA (Escola Avançada de Física) no ano de 2006. Lembro-me da correria da galera para resolve-la na noite do dia em que a recebemos.
2008/9/16 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]> > Existe uma sala quadrada de lado L. Em um dos lados existe uma porta do > tamanho da parede, ou seja, L. Portanto uma das paredes é só a porta. Chame > esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a porta. Essa porta, ela > se abre de um jeito particular, o ponto A da mesma segue em linha reta pelo > segmento AB, enquanto o ponto B dela segue reto pelo segmento BC. Portanto, > quando ela abre, ela varre certa área de dentro da sala. Qual o valor dessa > área? > > > > Este problema é MUITO trabalhoso, então eu optei por usar o Maple para > fazer a parte hard e fiquei só com a parte soft. > > > > Inicialmente, é necessário transformar o problema num problema de Geom. > Analítica: > > > > Vou definir o quadrado em coord. cartesianas: > > > > O = (0, 0) ; A = (0, L) ; B = (L, L) ; C = (L, 0) > > > > A extremidade "E" da porta sai de "B" e vai até "A", percorrendo a reta y=L > ; > > A extremidade "F" da porta sai de "C" e vai até "B", percorrendo a reta x=L > . > > > > Evidentemente, EF=L > > > > A área que a porta varre é delimitada pelas retas y=L e x=L e pela > seguinte curva: > > > > Seja uma reta perpendicular à reta EF , passando por "O". Esta reta > intercepta a reta EF no ponto "P". O lugar geométrico de "P" é a curva que > delimita a varredura da porta. > > > > O problema se resume em achar a equação desta curva... > > > > Bem, quem quiser, e tiver um bocado de "saco", que ache... Eu, > particularmente, vou apelar: > > > > Theta = ângulo COP > > > > Para theta=PI/4 , OP é mín. > > OP(theta=PI/4) = sqrt(2)L – L/2 = 0.9142 L , caso fosse "L", a curva > supracitada seria um círculo... > > > > Assumir que a tal curva seja círculo, já seria uma aproximação preliminar. > Neste caso a área da varredura da porta seria: > > > > L^2 – (PI*L^2)/4 = 0.2146 L^2 > > > > Mas é possível melhorar bastante esta aproximação preliminar: basta assumir > que OP varie de forma cossenoidal em função de "theta". > > > > Acredito que esta segunda aproximação cossenoidal sirva "fapp" (For All > Practical Purposes)! > > > > Vou, agora, fazer uma rotação de PI/4 , para poder integrar "theta" de > –PI/4 (OC) até +PI/4 (OA). > > > > Então: > > Theta = 0 à OP = L(sqrt(2) – 0.5) = 0.9142 L ; delta = L – L(sqrt(2) – > 0.5) > > Theta = –PI/4 à OP = L ; > > Theta = +PI/4 à OP = L . > > > > OP(theta) = L – cos(2*theta)*delta > > > > Uma área infinitesimal, DENTRO da curva, i.e., voltada para "O", é definida > por: > > dA = (OP^2)/2 d(theta) > > > > A = Integral[ (OP^2)/2 d(theta) , theta = –PI/4 ... +PI/4) ] > > > > A = ( 25PI/32 + sqrt(2) – 3/2 – 3PIsqrt(2)/8 ) L^2 = 0.7025 L^2 > > > > Finalmente, a área de varredura da porta é: > > > > L^2 – 0.7025 L^2 = 0.2975 L^2 (i.e., 30% da área do quadrado!). > > > 2008/9/15 Samuel Wainer <[EMAIL PROTECTED]> > > Olá, >> Me proporam este problema a um certo tempo. Não consegui resolver. Alguem >> pode me ajudar? >> >> Existe uma sala quadrada de lado L. Em um dos lados existe uma porta do >> tamanho da parede, ou seja L. Portanto uma das paredes é só a porta. Chame >> esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a porta. Essa porta ele >> abre de um jeito particular, o ponto A da mesma segue em linha reta pelo >> segmento AB, enquanto o ponto B dela segue reto pelo segmento BC. Portanto >> quando ela abre ela varre uma certa área de dentro da sala. Qual o valor >> dessa área? >> >> Não sei se fui bem claro na explicação do problema, mas agradeço desde já. >> >> Samuel >> >
