Rogerio: São coisas tais como esta que me enlouquecem! Questões deste tipo me fazem ter a certeza de que estudar Filosofia é muito mais compensador (e de muito menor truculência!) do que estudar Matemática. De fato, não consigo conceber que dois filósofos discutam por causa de uma diferença menor do que 4% entre as respectivas doutrinas que defendem!
Mas nós, não! Nós somos matemáticos! Na verdade, eu sou um enxadrista, que prefere jogar tênis, mas que ganha a vida como um consultor de Engenharia e tenta ser um matemático (diletante)... Repare que as nossas duas soluções são EXATAS, não há aproximações de espécie alguma! Então, por quais desígnios metamatemáticos, eu encontro 7/6 - 9pi/32 = .2830937331 e você 3pi/32 = .2945243113 ? Uma diferença de 3.9% ! 3pi/32 - (7/6 - 9pi/32) = 3pi/8 - 7/6 = .011430578 Bem, vou lhe pedir um favor: Reescrevi a minha solução na forma mais didática e esmiuçada que me foi possível - veja abaixo. Explicitei, inclusive, todas as contas. Tenho a certeza de que você não terá qualquer dificuldade para entender e verificá-la. E o favor: tente encontrar um erro ou imprecisão. De minha parte, vou estudar a sua solução e também tentar achar alguma imperfeição. Mas observe que a solução que apresentei é bem menos "complicada" do que a sua. Isto não é uma crítica à sua solução! Quero dizer apenas que será mais fácil você achar um vício na minha solução, do que eu achar alguma coisa duvidosa na sua... Bem, se nada conseguirmos, vamos combinar dizer o seguinte: 1) As engrenagens que permitem o tal movimento da porta têm folgas e, por isto, este movimento admite uma imprecisão de 5%! 2) Eu considerei a curvatura do espaço-tempo como sendo côncava, e você a considerou convexa! 3) Quanto ao deslizamento da fatídica porta, as perdas por atrito não foram corretamente equacionadas! E por aí vai... Em último caso, é um bom problema para o Nicolau... Sds., AB Problema da varredura da sala Enunciado: Considere uma sala quadrada de lado L. Em um dos seus lados existe uma porta do tamanho da própria parede da sala, i.e., L. Portanto, uma das paredes é composta apenas pela porta. Chame este quadrado (esta sala) de ABCD, e seja o lado AB o lado correspondente a tal porta. Esta porta se abre de um jeito particular: o ponto A da mesma desliza em linha reta pelo segmento AB, enquanto que o ponto B desliza, também em linha reta, pelo segmento BC. Portanto, quando a porta se abre totalmente, ela varre certa área de dentro da sala. Qual é o valor desta área? Solução: Consideração inicial: todas as distâncias são proporcionais a L, enquanto que todas as áreas são proporcionais a L^2 . Destarte, pode-se assumir para L um valor unitário: L=1 unidade de comprimento. Definição do quadrado (i.e., da sala) em coordenadas cartesianas: D = O = ( 0, 0 ) ; A = ( 1, 0 ) ; B = ( 1, 1 ) ; C = ( 0, 1 ) A extremidade E da porta sai de A e desliza para B, percorrendo o lado AB (i.e., percorrendo a reta x=1) ; A extremidade F da porta sai de B e desliza para C, percorrendo o lado BC (i.e., percorrendo a reta y=1) . Evidentemente, EF=1 (EF = tamanho da porta). A área que a porta varre é delimitada pelas retas x=1 e y=1 e pela seguinte curva: Seja uma reta perpendicular à reta EF e que passe pela origem O. Esta reta intercepta a reta EF no ponto P (ângulo OPE=pi/2). O lugar geométrico de P, enquanto a porta vai se abrindo, é a curva que delimita a varredura da porta. O problema se resume, então, em achar a equação desta curva... T = ângulo AOP Pontos singulares: Para T=pi/4 , OP é mín. => OP (T=pi/4) = sqrt(2) - 1/2 = 0.9142 . Caso OP(mín.) fosse igual a 1 , a curva supracitada seria um círculo... OP (T=0) = OP (T=pi/2) = 1 É fácil ver que: ângulo BEF = ângulo AOP = T , porque as retas que formam o primeiro ângulo são perpendiculares às retas que formam o segundo. Seja a a distância percorrida pela extremidade A da porta ao longo do lado AB (i.e., ao longo da reta x=1). a = AE ; BE = 1 - a ; BF = sqrt(2a - a^2) Triângulo BEF: cos(T) = 1 - a ; sin(T) = sqrt(2a - a^2) Equação da reta EF: E = ( 1, a ) ; F = ( 1 - sqrt(2a - a^2), 1 ) => E = ( 1, 1 - cos(T) ) ; F = ( 1 - sin(T), 1 ) (y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1) (y - 1+cos(T))/(x - 1) = cos(T)/(-sin(T)) Logo: cos(T)x + sin(T)y - sin(T) + sin(T)cos(T) - cos(T) = 0 Esta é uma equação do tipo Ax + By + C = 0 A = cos(T) ; B = sin(T) ; C = -sin(T) + sin(T)cos(T) - cos(T) => A^2 + B^2 = 1 OP é a distância da origem O à reta EF. A distância de um ponto com coordenadas ( x1, y1 ) a uma reta definida por uma equação do tipo Ax + By + C = 0 é dada por: (Ax1 + By1 + C)/(+/-sqrt(A^2 + B^2)) , sendo que o sinal da raiz quadrada deve ser escolhido de forma tal que a distância seja, é claro, positiva. Logo: OP = -C = sin(T) - sin(T)cos(T) + cos(T) Obs.: Neste caso, sqrt(A^2 + B^2) = -1 , para que a distância OP seja sempre positiva para 0 <= T <= pi/2 , que é o intervalo de interesse do problema. E esta é, em coordenadas polares, a tão procurada equação da curva que delimita a área varrida pela porta! E, de fato, verifica-se que: OP (T=pi/4) = sqrt(2) - 1/2 ; OP (T=0) = OP (T=pi/2) = 1 Uma área infinitesimal (dS) da área NÃO varrida pela porta, i.e., da área compreendida pela curva OP, é definida pela área de um triângulo retângulo infinitesimal, cujos catetos são: OP e OPdT ( OPdT é o comprimento de um arco infinitesimal da curva OP ). Logo: dS = (OP^2)/2 dT Logo: S = integral [ (OP^2)/2 dT , T=0 ... pi/2 ] => S = 9pi/32 - 1/6 = 0.7169 Finalmente, a área varrida pela porta é o complemento de S em relação à área do quadrado: 1 - (9pi/32 - 1/6) = 7/6 - 9pi/32 = 0.2831 = 28.31% da área do quadrado, i.e., 28.31% de L^2 . >-----Mensagem original----- >De: [EMAIL PROTECTED] >[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rogerio Ponce >Enviada em: quinta-feira, 18 de setembro de 2008 17:33 >Para: [email protected] >Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Varredura da sala - Solução >definitiva > >Faltou "escalar" de volta o comprimento da porta... >Como na verdade a porta tem comprimento "L", a solucao real vale > >AREA VARRIDA = 3*Pi/32 * L**2 > >[]'s >Rogerio Ponce > >2008/9/18 Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>: >> Olá Bouskela e colegas da lista, >> eu esperava uma solucao um pouco mais "geometrica" que "analitica", >> mas como ninguem se manifestou, vamos la'... >> >> Vamos imaginar que a porta, com comprimento 1, "deslize" sobre os >> eixos X e Y, de modo que ela comeca na posicao vertical >(alinhada com >> Y), ate' atingir a posicao horizontal, alinhada com o eixo X. Assim, >> uma das suas extremidades "PY", apoiada em Y, comeca em y=1 >e desliza >> ate' y=0, enquanto a outra extremidade "PX", apoiada em X, comeca em >> x=0 e desliza ate' x=1. >> >> Suponhamos entao que, num determinado momento, PY esteja no ponto >> A=(0,y), e que PX esteja no ponto B=(x,0). >> Um instante depois, ela estara' com PY no ponto C=(0,y+dy) >enquanto PX >> estara' em D=(x+dx,0) Chamemos de P a intersecao entre os dois >> segmentos, e seja "h" a sua coordenada em Y (altura do >triangulo PBD). >> >> Assim, a area total sera' o somatorio das areas formadas pelos >> sucessivos triangulos PBD, 'a medida em que x varia de 0 ate' 1. >> >> Este me parece justamente o ponto interessante dessa abordagem, pois >> se afasta da associacao quase automatica que fazemos entre "area >> total" e "fatias verticais" sob uma curva. Aqui neste caso, >as nossas >> "fatias" sao triangulos, com base "dx" e altura "h". >> >> Partindo para as contas... >> >> A qualquer instante, as coordenadas variaveis de P_X e P_Y obedecem a >> x**2 + y**2 = 1 >> Diferenciando-se, obtemos >> -dy / dx = x / y >> >> Aplicando lei dos senos aos triangulos APC e PBD, obtemos: >> CP / sinA = -dy / sinP >> PD / sinB = dx / sinP >> >> Dividindo-se uma equacao pela outra, e observando que >sinB/sinC = y/x, vem: >> CP/PD * y/x = -dy/dx = x/y >> ou seja, >> CP/PD = x**2 / y**2 >> Assim, >> (CP + PD) / PD = (x**2 + y**2) / y**2 >> ou >> PD = y**2 >> >> Mas , por semelhanca de triangulos, h/PD = y/1 Assim, h = y**3 = >> (1-x**2) ** (3/2) >> >> Dessa forma, a area total equivale 'a integral de (h*dx/2) >em x=[0,1], >> ou seja, integral de [ 1/2 * (1-x**2) ** (3/2) ] * dx , em x=[0,1]. >> >> Resolvendo-se a integral, obtemos >> AREA VARRIDA = 3*Pi / 32 = 0.294524 >> >> []'s >> Rogerio Ponce ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
