O PROBLEMA DA VARREDURA DA SALA SOLUÇÃO DEFINITIVA
Bem, já que esta questão foi o desafio da EAF ITA (Escola Avançada de
Física), no ano de 2006, resolvi me encher de paciência e resolvê-la sem
aproximações e sem a ajuda (explícita) do MAPLE. Lá vai:
ENUNCIADO:
Considere uma sala quadrada de lado L. Em um dos lados, existe uma porta
do tamanho da parede, ou seja, L. Portanto, uma das paredes é só a porta.
Chame esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a tal porta. Essa
porta, ela se abre de um jeito particular: o ponto A da mesma segue em
linha reta pelo segmento AB, enquanto que o ponto B segue, de forma também
retilínea, pelo segmento BC. Portanto, quando a porta se abre totalmente,
ela varre certa área de dentro da sala. Qual o valor dessa área?
SOLUÇÃO:
Considerações iniciais:
1) Todas as distâncias são proporcionais a L e todas as áreas são
proporcionais a L^2 ;
2) Assim, vou assumir L=1 unidade de comprimento;
3) Como, obviamente, o cálculo da área (a incógnita do problema) vai
requerer uma integração, vou colocar o problema em eixos cartesianos X e
Y.
Definição do quadrado em coordenadas cartesianas:
D = O = (0, 0) ; A = (1, 0) ; B = (1, 1) ; C = (0, 1)
A extremidade F da porta sai de A e vai até B, percorrendo a reta x=1
;
A extremidade E da porta sai de B e vai até C, percorrendo a reta y=1
.
Evidentemente, EF=1
A área que a porta varre é delimitada pelas retas x=1 e y=1 e pela
seguinte curva:
Seja uma reta perpendicular à reta EF, passando por O. Esta reta
intercepta a reta EF no ponto P. O lugar geométrico de P é a curva que
delimita a varredura da porta.
O problema se resume, então, em achar a equação desta curva...
T = ângulo AOP
Pontos singulares:
Para T=PI/4 , OP é mín.
OP (T=PI/4) = sqrt(2) 1/2 . Caso OP(mín.) fosse igual a 1 , a curva
supracitada seria um círculo...
OP (T=0) = OP (T=PI/2) = 1
Seja a o deslocamento da porta ao longo do segmento AB (reta x=1).
a = AF ; FB = 1 a ; BE = sqrt(2a a^2)
Seja Q a projeção de P no eixo X.
É fácil ver que: ângulo BFE = ângulo AOP = T ; cos(T) = 1 a (triângulo
FBE)
Os triângulos OQP e FBE são semelhantes.
FB = cos (T) = 1 a ; BE = sin(T) = sqrt(2a a^2)
Daí (fazendo algumas contas): OP = sin(T) + sin(T)cos(T) cos(T)
E esta é a tão procurada equação da curva que delimita a área varrida pela
porta!
E, de fato, verifica-se que: OP (T=PI/4) = sqrt(2) 1/2 ; OP (T=0) = OP
(T=PI/2) = 1
Uma área infinitesimal (dS), DENTRO da curva, i.e., voltada para O, é
definida por:
dS = (OP^2)/2 dT
Logo: S = integral [ (OP^2)/2 dT , T=0 ... PI/2 ]
S = 9PI/32 1/6 = 0.7169
Finalmente, a área de varredura da porta é:
1 0.7169 = 0.2831 = 28.31% da área do quadrado = 28.31% de L^2
Sds.,
AB
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De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de João Júnior
Enviada em: terça-feira, 16 de setembro de 2008 21:04
Para: [email protected]
Assunto: Re: [obm-l] Varredura da sala...
Essa questão foi o desafio da EAF - ITA (Escola Avançada de Física) no ano
de 2006. Lembro-me da correria da galera para resolvê-la na noite do dia em
que a recebemos.
