Faltou "escalar" de volta o comprimento da porta... Como na verdade a porta tem comprimento "L", a solucao real vale
AREA VARRIDA = 3*Pi/32 * L**2 []'s Rogerio Ponce 2008/9/18 Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>: > Olá Bouskela e colegas da lista, > eu esperava uma solucao um pouco mais "geometrica" que "analitica", > mas como ninguem se manifestou, vamos la'... > > Vamos imaginar que a porta, com comprimento 1, "deslize" sobre os > eixos X e Y, de modo que ela comeca na posicao vertical (alinhada com > Y), ate' atingir a posicao horizontal, alinhada com o eixo X. Assim, > uma das suas extremidades "PY", apoiada em Y, comeca em y=1 e desliza > ate' y=0, enquanto a outra extremidade "PX", apoiada em X, comeca em > x=0 e desliza ate' x=1. > > Suponhamos entao que, num determinado momento, PY esteja no ponto > A=(0,y), e que PX esteja no ponto B=(x,0). > Um instante depois, ela estara' com PY no ponto C=(0,y+dy) enquanto PX > estara' em D=(x+dx,0) > Chamemos de P a intersecao entre os dois segmentos, e seja "h" a sua > coordenada em Y (altura do triangulo PBD). > > Assim, a area total sera' o somatorio das areas formadas pelos > sucessivos triangulos PBD, 'a medida em que x varia de 0 ate' 1. > > Este me parece justamente o ponto interessante dessa abordagem, pois > se afasta da associacao quase automatica que fazemos entre "area > total" e "fatias verticais" sob uma curva. Aqui neste caso, as nossas > "fatias" sao triangulos, com base "dx" e altura "h". > > Partindo para as contas... > > A qualquer instante, as coordenadas variaveis de P_X e P_Y obedecem a > x**2 + y**2 = 1 > Diferenciando-se, obtemos > -dy / dx = x / y > > Aplicando lei dos senos aos triangulos APC e PBD, obtemos: > CP / sinA = -dy / sinP > PD / sinB = dx / sinP > > Dividindo-se uma equacao pela outra, e observando que sinB/sinC = y/x, vem: > CP/PD * y/x = -dy/dx = x/y > ou seja, > CP/PD = x**2 / y**2 > Assim, > (CP + PD) / PD = (x**2 + y**2) / y**2 > ou > PD = y**2 > > Mas , por semelhanca de triangulos, h/PD = y/1 > Assim, > h = y**3 = (1-x**2) ** (3/2) > > Dessa forma, a area total equivale 'a integral de (h*dx/2) em x=[0,1], > ou seja, integral de [ 1/2 * (1-x**2) ** (3/2) ] * dx , em x=[0,1]. > > Resolvendo-se a integral, obtemos > AREA VARRIDA = 3*Pi / 32 = 0.294524 > > []'s > Rogerio Ponce > > > 2008/9/17 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: >> O PROBLEMA DA VARREDURA DA SALA – SOLUÇÃO DEFINITIVA >> >> >> >> Bem, já que esta questão foi o desafio da EAF – ITA (Escola Avançada de >> Física), no ano de 2006, resolvi me encher de paciência e resolvê-la sem >> aproximações e sem a ajuda (explícita) do MAPLE. Lá vai: >> >> >> >> ENUNCIADO: >> >> >> >> Considere uma sala quadrada de lado "L". Em um dos lados, existe uma porta >> do tamanho da parede, ou seja, "L". Portanto, uma das paredes é só a porta. >> Chame esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a tal porta. Essa >> porta, ela se abre de um jeito particular: o ponto "A" da mesma segue em >> linha reta pelo segmento AB, enquanto que o ponto "B" segue, de forma também >> retilínea, pelo segmento BC. Portanto, quando a porta se abre totalmente, >> ela varre certa área de dentro da sala. Qual o valor dessa área? >> >> >> >> SOLUÇÃO: >> >> >> >> Considerações iniciais: >> >> >> >> 1) Todas as distâncias são proporcionais a "L" e todas as áreas são >> proporcionais a L^2 ; >> >> 2) Assim, vou assumir L=1 unidade de comprimento; >> >> 3) Como, obviamente, o cálculo da área (a incógnita do problema) vai >> requerer uma integração, vou colocar o problema em eixos cartesianos "X" e >> "Y". >> >> >> >> Definição do quadrado em coordenadas cartesianas: >> >> >> >> D = O = (0, 0) ; A = (1, 0) ; B = (1, 1) ; C = (0, 1) >> >> >> >> A extremidade "F" da porta sai de "A" e vai até "B", percorrendo a reta x=1 >> ; >> >> A extremidade "E" da porta sai de "B" e vai até "C", percorrendo a reta y=1 >> . >> >> >> >> Evidentemente, EF=1 >> >> >> >> A área que a porta varre é delimitada pelas retas x=1 e y=1 e pela >> seguinte curva: >> >> >> >> Seja uma reta perpendicular à reta EF, passando por "O". Esta reta >> intercepta a reta EF no ponto "P". O lugar geométrico de "P" é a curva que >> delimita a varredura da porta. >> >> >> >> O problema se resume, então, em achar a equação desta curva... >> >> >> >> T = ângulo AOP >> >> >> >> Pontos singulares: >> >> Para T=PI/4 , OP é mín. >> >> OP (T=PI/4) = sqrt(2) – 1/2 . Caso OP(mín.) fosse igual a 1 , a curva >> supracitada seria um círculo... >> >> OP (T=0) = OP (T=PI/2) = 1 >> >> >> >> Seja "a" o deslocamento da porta ao longo do segmento AB (reta x=1). >> >> a = AF ; FB = 1 – a ; BE = sqrt(2a – a^2) >> >> >> >> Seja "Q" a projeção de "P" no eixo "X". >> >> >> >> É fácil ver que: ângulo BFE = ângulo AOP = T ; cos(T) = 1 – a (triângulo >> FBE) >> >> Os triângulos OQP e FBE são semelhantes. >> >> >> >> FB = cos (T) = 1 – a ; BE = sin(T) = sqrt(2a – a^2) >> >> >> >> Daí (fazendo algumas contas): OP = sin(T) + sin(T)cos(T) – cos(T) >> >> >> >> E esta é a tão procurada equação da curva que delimita a área varrida pela >> porta! >> >> E, de fato, verifica-se que: OP (T=PI/4) = sqrt(2) – 1/2 ; OP (T=0) = OP >> (T=PI/2) = 1 >> >> >> >> Uma área infinitesimal (dS), DENTRO da curva, i.e., voltada para "O", é >> definida por: >> >> dS = (OP^2)/2 dT >> >> Logo: S = integral [ (OP^2)/2 dT , T=0 ... PI/2 ] >> >> S = 9PI/32 – 1/6 = 0.7169 >> >> >> >> Finalmente, a área de varredura da porta é: >> >> >> >> 1 – 0.7169 = 0.2831 = 28.31% da área do quadrado = 28.31% de L^2 >> >> >> >> Sds., >> >> AB >> >> [EMAIL PROTECTED] >> [EMAIL PROTECTED] >> ________________________________ >> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome >> de João Júnior >> Enviada em: terça-feira, 16 de setembro de 2008 21:04 >> Para: [email protected] >> Assunto: Re: [obm-l] Varredura da sala... >> Essa questão foi o desafio da EAF - ITA (Escola Avançada de Física) no ano >> de 2006. Lembro-me da correria da galera para resolvê-la na noite do dia em >> que a recebemos. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
