Oi, Henrique.
Bom, antes de mais nada, eu escrevo f(-Inf) por preguiça; o correto seria
"limite, quando x tende a -Infinito, de f(x)". Então, enquanto você tem
razão que f(x)=x.e^x dá uma indeterminação do tipo (-Inf).0 quando x tende a
-Inf, re-escrevendo f(x)=x/e^(-x) vejo uma indeterminação do tipo -Inf/Inf,
e agora um L'Hôpital dá:
f(-Inf) = lim 1/(-e^(-x)) quando x-> -Inf = 0.
Quanto ao ln2... o problema é que eu quero usar a função W, que foi definida
para resolver xe^x=y, com base e, e não outra. Então, se você me dá k.2^k=n,
eu me ferrei e tenho que tranformar a base, fazendo:
k.e^(k.ln2)=n
Mas agora eu me ferrei de outro jeito, porque a definição da função W era:
y=W(x) <==> x.e^x=y
E tem que ser o mesmo x "multiplicando" e "em cima do e"... Isso a gente
conserta com a pequena mágica de multiplicar tudo por ln2 e fazendo x=k.ln2.
Então fica assim:
k.ln2.e^(k.ln2)=n.ln2, ou seja, xe^x=n.ln2
Agora sim, uma das soluções disso é x=W(n.ln2)...espero que estas linhas
tenham ajudado a explicar o porquê de aparecer o misterioso ln2...
Depois que a gente passou por tudo isso, a parte mais difícil é lidar com a
DESIGUALDADE... Faça um gráfico de x.e^x (desce de (-Inf,0) a (-1,-1/e),
depois sobe para (0,0) e continua subindo para (+Inf,+Inf)), lembre que
W(z) é a maior solução de x.e^x=z e W_{-1}(z) é a menor solução, se houver
(desenhe a reta y=z para alguns valores de z e encontre estas soluções no
gráfico). Então, convença-se que a solução de x.e^x<z é:
i) Se z>0, solução é x<W(z)
ii) Se -1/e<z<0, solução é W_{-1}(z)<x<W(z)
iii) Se z<=-1/e, conjunto solução é vazio.
Abraço,
Ralph
2008/10/8 Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]>
> Olá Ralph, boa tarde!
>
> Obrigado pela explicação. Estou com dúvida em duas partes.
>
> On Tue, Oct 7, 2008 at 11:26 PM, Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
>
>> Huh, basicamente, nao dah, a menos que voce use a funcao W de Lambert
>> (ou nos de mais alguma informacao sobre n).
>>
>> A definicao desta funcao W eh mais ou menos assim: seja f(x)=x.e^x (faca o
>> grafico dela se puder, ajuda a enxergar o resto). Como f`(x)=(x+1)e^x, a
>> funcao f(x) eh crescente para x>=-1. Entao a funcao f(x) eh bijetiva de
>> [-1,+Inf) em [-1/e,+Inf). Bom, a funcao W eh a inversa desta bijecao. Em
>> outras palavras, dado y>=-1/e, temos x=W(y) se, e somente se, x.e^x=y (e
>> tambem x>=-1).
>>
>> (Se esta definicao por funcao inversa incomoda, tente definir precisamente
>> a funcao "raiz quadrada" e a funcao "logaritmo"...)
>>
>> Por exemplo, W(0)=0 (pois f(0)=0.e^0=0), W(e)=1 (pois 1.e^1=e), W(2e^2)=2
>> e W(-1/e)=-1... Note que, como f eh crescente, entao W eh crescente tambem.
>>
>> Note tambem que, para x em (-Inf,-1], a funcao f(x) eh decrescente (e
>> f(-Inf)=0). Assim, a equacao x.e^x=y tem uma segunda solucao alem de W(y)
>> sempre que -1/e<y<0; esta segunda solucao eh chamada W_{-1}(y). Em outras
>> palavras, quando -1/e<y<0, W(y) serah a solucao maior que -1, e W_{-1}(y)
>> eh a solucao menor que -1.
>>
>
> Onde você diz que a função f(x) é decrescente você coloca que f(-inf) = 0,
> ou seja, -inf.e^(-inf) = -inf/e^(inf) = -inf/inf. Essa fração não seria uma
> indeterminação e não 0 como você mencionou?
>
>
>>
>> Bom, agora eh "facil":
>>
>> k.2^k < n <=> (k.ln2).e^(k.ln2) < n.ln2
>>
>
> Não entendi essa relação acima. Por que ln2 multiplicando o expoente de e?
>
>
>>
>> Entao, ha 3 casos:
>>
>> i) Se n.ln2>=0, a solucao eh k.ln2 < W(n.ln2), isto eh, k<W(n.ln2)/ln2
>> ii) Se -1/e<n.ln2<0, entao a solucao eh W_{-1}(n.ln2)<k.ln2<W(n.ln2)...
>> iii) Se n.ln2<=-1/e, nao ha solucoes para a desigualdade.
>>
>> Nao sei se eh uma resposta.... huh, "satisfatoria"... mas eh a melhor que
>> eu arrumo sem maiores restricoes ao enunciado.
>>
>> Abraco,
>> Ralph
>>
>> On Tue, Oct 7, 2008 at 11:21 AM, Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]
>> > wrote:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Como k poderia ser colocado em função de n na seguinte inequação?
>>>
>>> k.2^k < n
>>>
>>> Obrigado
>>>
>>> --
>>> Henrique
>>>
>>
>>
> --
> Henrique
>
