[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções

[Luciana Rodrigues]

 

Carpe Dien

Em 01/11/2009 00:30, Ralph Teixeira < ralp...@gmail.com > escreveu:

Oi, Walter. Voce estah usando x=n?

Entao, no fundo no fundo, f(n) NAO EH uma funcao polinomial, porque
tem alguma especie de (-1)^n... O que eu quis dizer eh que f(n) tem
uma formula quadratica para n par, e outra formula quadratica para n
impar.

O que voce indica parece confirmar isto: afinal, se n for par, esse
(-1)^n da formula que voce achou vira 1; juntando com o resto da
formula que voce achou (que nem sei qual eh), deve ficar uma funcao
quadratica em n.

Se n for impar, entao o (-1)^n vira -1; fica OUTRA formula quadratica em n.

Entao f(n)=p(n) se n eh par ou q(n) se n eh impar, onde p(n) e q(n)
sao formulas quadraticas distintas. Foi isso que eu quis dizer.

Para ser sincero, eu nunca cheguei a ver a formula final... mas,
qualquer que fosse o numero n impar, o raciocinio que eu fiz daria
sempre algo do tipo:
f(n)=f(99)+(soma dos termos de uma P.A. com numero de termos que
depende linearmente de n)
Como f(99) eh alguma constante, e a soma dos termos de uma P.A. eh uma
funcao quadratica do numero de termos, eu sabia que f(n)=quadratica(n)
se eu me restringisse para n impar. Entao, nos impares, f(n) eh alguma
funcao quadratica.

Nos pares, por analogia, tambem daria uma funcao quadratica -- mas
esta usaria outra constante e outra P.A! Entao, a principio, nos pares
f tem OUTRA formula quadratica.

Abraco,
Ralph

P.S.: Agora, note que voce pode definir f(x) DO JEITO QUE QUISER para
0coincide com isto que voce inventou no (0,1) e que satisfaz as
condicoes do problema. Entao ha MUITAS funcoes f que satisfazem as
condicoes do problema... Mas todas elas devem ter a formula que voce
achou **nos inteiros**.

2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Sil veira :
> Muito obrigado, Prof Ralph e colegas
>
> Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse
> resultado...meio feio(rs))
>
> Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia
> considerado.
>
> Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os
> ímpares?
>
> Pergunta: Como decido no caso se "n" é par ou ímpar?
> A função é do 2º grau, mas esse "n" não é o grau...
> Creio estar confuso nessa observação final do Ralph
>
> Obrigado mais uma vez
>
>
> 2009/10/31 Ralph Teixeira
>>
>> Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema.
>>
>> Entao vejamos. Como:
>> f(x)+f(x+1)=x^2
>> f(x-1)+f(x)=(x-1)^2
>>
>> Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1)
>>
>> Isto significa que:
>> f(17)=f(15)+31
>> f(19)=f(17)+35
>> f(21)=f(19)+39
>> ...
>> f(99)=f(97)+195
>>
>> Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39+....+195). Dentro dos
>> parenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendo
>> f(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2.
>>
>> Agora eh soh terminar as contas.
>>
>> Abraco,
>>        Ralph
>>
>> P.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh um
>> polinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nos
>> pares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x).
>>
>> 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira :
>> > Amigos,
>> >
>> > Uma questão dizi a:
>> >
>> > f(x) + f(x+1) = x²
>> > f(x) = 10001
>> > Calcule f(15)
>> >
>> > Minha solução:
>> >
>> > Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como
>> > funções
>> > polinomiais de grau 2.
>> >
>> > Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0
>> >
>> > Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x²
>> >
>> > Igualando os coeficientes, temos:
>> >
>> > 2a = 1. Logo a = 1/2
>> > 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2
>> >
>> > a+b+c=0. Então c = 0
>> >
>> > A função f(x) = x²/2 - x/2
>> >
>> > Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 10000 = 100²
> ;> >
>> > Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105
>> >
>> > VERIFICAÇÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15²
>> >
>> > DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001.
>> >
>> > Alguma ajuda, por favor...
>> >
>> > Abraços
>> > --
>> > Walter Tadeu Nogueira da Silveira
>> >
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