Como o pessoal disse, o polinômio p(x)=x^3+x satisfaz p(1).p(-1)<0,
p(2).p(-2)<0 e p(3).p(-3)<0, mas não tem três raízes reais (nem contando
multiplicidade).
Agora, se os intervalos fossem **disjuntos**, nós estaríamos felizes.... Uma
maneira de fazer isto é a solução do Willy, usando os intervalos (-Inf,d),
(-d,d) e (d,+Inf) onde d=raiz((a^2+b^2+c^2)/3). É bem legal assim.
Por outro lado, acho que dá para adaptar a ideia original do Bruno (pro
pessoal que acha que o número d acima é muito "mágico"). Afinal, note que
você sempre pode trocar o sinal de DOIS dos números (a,b,c) sem alterar o
polinômio. Então não perdemos nada se supusermos que a>0 (se não fosse,
troque a por -a e b por -b). Agora, use o argumento do Bruno nos
intervalos (-Inf,-a), (-a,a) e (a,+Inf).
(Ou, use direto (-Inf,-|a|),(-|a|,|a|) e (|a|,+Inf). O caso a=0 continua
tendo que ser analisado em separado, que nem o Bruno já tinha dito.)
Abraço,
Ralph
2010/9/12 Fabrício Filho <[email protected]>
> Analisando três casos, o argumento do Bruno será validado.
> primeiro caso: as três raízes são iguais.
> Só ocorrerá quando a=b=c=0.
> segundo caso:duas raízes são iguais.
> Só ocorrerá quando a=b=c.
> terceiro caso:as três raízes são distintas.
> Como p(a).p(-a), p(b).p(-b) e p(c).p(-c) são negativos, pelo o Teorema de
> Bolzano temos a garantia de uma raiz real em cada intervalo (-a,a), (-b,b) e
> (-c,c).
>
> O que vocês acham????
>
>
> Em 8 de setembro de 2010 09:39, Ralph Teixeira <[email protected]>escreveu:
>
>> Mas, Bruno: de acordo com este argumento, não poderia ser UMA raiz real,
>> que está em (-a,a), (-b,b) e (-c,c) ao mesmo tempo?
>>
>> Abraço,
>> Ralph
>> 2010/9/7 Bruno Pedra da silva santos <[email protected]>
>>
>>
>>> 2.
>>>
>>> p (x) = x^3 - (a^2+b^2+c^2)x - 2abc
>>>
>>> note que (so fazer as contas)
>>>
>>> p(a) = -a (b+c)^2 , p(-a)=a(b-c)^2 ---> p(a)*p(-a)= - a^2(b-c)^2(b+c)^2
>>> <=0
>>>
>>> se der 0 o produto p(a)*p(-a) quer dizer q a ou - a é raiz. caso
>>> contrario pelo teorema de bolzano havera uma raiz no intervalo (-a,a)
>>>
>>> e analogamente para b e c. Portanto teremos 3 raizes reais.
>>>
>>> obs note q se a , b ou c = 0 , todas as raizes serao reais.(analisei esse
>>> caso em separado por causa do intervalo (-a,a))
>>>
>>> espero ter ajudado . abracos
>>>
>>>
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>>> Date: Tue, 7 Sep 2010 19:00:23 -0300
>>> Subject: [obm-l] ajuda
>>> From: [email protected]
>>> To: [email protected]
>>>
>>>
>>> 1. No triângulo ABC, determine a medida do ângulo <CAD, sendo <ACD=30º,
>>> <ABD=24º e D pertencente ao lado BC.
>>>
>>> 2. Mostre que as raízes da equação x^3 - (a^2+b^2+c^2)x - 2abc = 0 são
>>> todas reais, com a,b e c reais.
>>>
>>
>>
>
