E sobre a posicao do cubo no espaco... Sejam T,D,E,F os vertices opostos (em relacao ao centro do cubo) aos vertices Z,A,B,C. Ja' sabemos que Z e' o vertice de uma piramide de base ABC. Como ABC deve ser horizontal, a diagonal ZT do cubo, que tambem passa pelo centro de ABC, e' vertical. Portanto e' como se o cubo estivesse "pendurado" pelo vertice Z.
Nessa situacao, a projecao dos vertices Z e T se confundem com o centro do hexagono. Alem disso, os vertices ABC estarao num mesmo plano horizontal, acima de um outro plano horizontal que contem os vertices DEF. Logo, o cubo nao possui nenhuma aresta ou diagonal horizontal. []'s Rogerio Ponce Em 26 de janeiro de 2011 16:22, Rogerio Ponce <[email protected]> escreveu: > Ola' Joao, > o hexagono e' regular, mas o valor que eu havia calculado TAMBEM esta' > errado, pois a diagonal do cubo esta' inclinada em relacao ao plano > horizontal. Logo o diametro do circulo circunscrito e' menor que sqrt(3). > > A solucao mais obvia, e que garante inclusive que a projecao tenha area > maxima (conforme pedido pelo enunciado), e' a seguinte: > > Suponha que o cubo esteja na posicao que gera a maior sombra. > Tome o vertice superior (no maximo existirao 2 vertices na mesma altura - > tome um deles). > Chame-o de Z. > Considere as 3 arestas ligadas a este vertice. > Considere os outros vertices pertencentes 'as 3 arestas. > Chame-os de A,B e C. > Repare que a projecao do cubo e' um hexagono com exatamente o dobro da area > da projecao do triangulo equilatero ABC, de lado sqrt(2). > Repare tambem que a projecao de ABC tem area maxima quando ABC e' > horizontal. > E a area de ABC vale sqrt(3)/2. > Logo a area do hexagono maximo vale sqrt(3). > > []'s > Rogerio Ponce. > > > > Em 26 de janeiro de 2011 15:11, Rogerio Ponce <[email protected]>escreveu: > >> Ola' Joao, >> >> conforme eu ja' havia dito, o hexagono em questao e' REGULAR. >> E não tem nenhuma diagonal sqrt(3) paralela ao plano horizontal. >> Voce e a OBM estao errando nisso. >> Se voce mesmo nao chegar 'a uma solucao "bonitinha", mais tarde eu explico >> melhor... >> >> []'s >> Rogerio Ponce >> >> >> 2011/1/26 João Maldonado <[email protected]> >> >>> Boa Tarde Rogério, >>> >>> Sua resolução está perfeitamente correta para um hexágono REGULAR , como >>> voce disse . Acontece que para o hexágono ser regular todas as diagonais >>> sqrt(3) do cubo têm que estar paralelas ao plano, e consequentemente entre >>> si mesmas. E isso não é possível já que as diagonais maiores do cubo não são >>> paralelas. Essa solução geraria um hexágono sim, mas não um hexágono >>> regular. A medida de seus outros "raios" seria menor que sqrt(3)/2, e >>> consequentemente a área seria menor que 9*sqrt(3)/8. >>> Sua solução é justamente a do link (veja como o hexágono não é >>> regular), e a área desse hexágono vale sqrt(6) - 1. >>> Agora veja o que estou dizendo, não estou falando que sqrt(3) é a MAIOR >>> área da projeção ortogonal do cubo, pode até ser, mas sim que é uma POSSÍVEL >>> área. Logo como sqrt(3) < sqrt(6) - 1, a solução da OBM estaria errada. >>> >>> Ainda estou tentando achar um erro em minha solução mas ainda não >>> encontrei. É isso que queria saber, minha solução está errada o a solução >>> oficial que está errada? >>> >>> Grato, >>> João >>> ------------------------------ >>> Date: Wed, 26 Jan 2011 10:56:27 -0200 >>> >>> Subject: Re: [obm-l] OBM terceira faze nivel 3 - Gabarito duvidoso >>> From: [email protected] >>> >>> To: [email protected] >>> >>> Ola' Joao, >>> eu diria que as duas solucoes estao erradas. >>> A maior projecao gera um hexagono REGULAR. Como a diagonal do cubo mede >>> sqrt(3), este sera' o diametro do circulo circunscrito ao hexagono. Logo a >>> area do hexagono deve ser >>> 6* [sqrt(3)/2 * sin60] * [sqrt(3)/2 * cos60] >>> Ou seja, >>> 9*sqrt(3)/8 >>> >>> []'s >>> Rogerio Ponce >>> >>> >>> >>> 2011/1/26 João Maldonado <[email protected]> >>> >>> OBM 2010 Terceira Fase >>> >>> >>> PROBLEMA 3 >>> Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a >>> pino? >>> Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a >>> maior área possível para a >>> projeção ortogonal da figura sobre um plano. >>> >>> O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem >>> área sqrt(6) - 1 >>> >>> http://files.supergel57.webnode.com.br/200000496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf >>> >>> Mas tome o seguinte: >>> Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que >>> o vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano. >>> As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As >>> 3 faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. >>> Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua >>> lateral composta por triêngulos retângulos. >>> Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com >>> base regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros. >>> Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil >>> calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da >>> base). >>> Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e >>> B), já que os dois tetraedros tem a mesma base. >>> Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede >>> 6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) > sqrt(6) - 1. >>> >>> Pergunta: >>> Qual das duas soluções está errada? >>> >>> >>> >> >
