Oi gente:
Não há solução oficial da OBM deste problema porque a solução oficial
eu fiquei de fazer, mas infelizmente, esqueci de enviar. Peço desculpas.
Estamos na semana Olímpica e prometo que, na semana que vem,
publicarei uma solução bem legal.
Abraços,
E. Wagner.
Quoting Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>:
Concordo contigo, João: projetando um cubo ABCD-EFGH num plano paralelo a
BDE, temos um hexágono regular de área raiz(3) -- então aquela solução que
dizia raiz(6)-1 não pode estar certa.
Isto dito, há algum motivo para acreditar que a solução oficial da OBM é a
do link dado?
Abraço,
Ralph
2011/1/26 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
OBM 2010 Terceira Fase
PROBLEMA 3
Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a
pino?
Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a
maior área possível para a
projeção ortogonal da figura sobre um plano.
O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem
área sqrt(6) - 1
http://files.supergel57.webnode.com.br/200000496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf
Mas tome o seguinte:
Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que o
vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano.
As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As 3
faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano.
Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua
lateral composta por triêngulos retângulos.
Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com base
regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros.
Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil
calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da
base).
Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e B),
já que os dois tetraedros tem a mesma base.
Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede
6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) > sqrt(6) - 1.
Pergunta:
Qual das duas soluções está errada?
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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