Oi gente:
Não há solução oficial da OBM deste problema porque a solução oficial
eu fiquei de fazer, mas infelizmente, esqueci de enviar. Peço desculpas.
Estamos na semana Olímpica e prometo que, na semana que vem,
publicarei uma solução bem
legal.
Abraços,
E. Wagner.
Quoting Rogerio Ponce <[email protected]>:
Ola' Joao,
conforme eu ja' havia dito, o hexagono em questao e' REGULAR.
E não tem nenhuma diagonal sqrt(3) paralela ao plano horizontal.
Voce e a OBM estao errando nisso.
Se voce mesmo nao chegar 'a uma solucao "bonitinha", mais tarde eu explico
melhor...
[]'s
Rogerio Ponce
2011/1/26 João Maldonado <[email protected]>
Boa Tarde Rogério,
Sua resolução está perfeitamente correta para um hexágono REGULAR , como
voce disse . Acontece que para o hexágono ser regular todas as diagonais
sqrt(3) do cubo têm que estar paralelas ao plano, e consequentemente entre
si mesmas. E isso não é possível já que as diagonais maiores do cubo não são
paralelas. Essa solução geraria um hexágono sim, mas não um hexágono
regular. A medida de seus outros "raios" seria menor que sqrt(3)/2, e
consequentemente a área seria menor que 9*sqrt(3)/8.
Sua solução é justamente a do link (veja como o hexágono não é regular),
e a área desse hexágono vale sqrt(6) - 1.
Agora veja o que estou dizendo, não estou falando que sqrt(3) é a MAIOR
área da projeção ortogonal do cubo, pode até ser, mas sim que é uma POSSÍVEL
área. Logo como sqrt(3) < sqrt(6) - 1, a solução da OBM estaria errada.
Ainda estou tentando achar um erro em minha solução mas ainda não
encontrei. É isso que queria saber, minha solução está errada o a solução
oficial que está errada?
Grato,
João
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Date: Wed, 26 Jan 2011 10:56:27 -0200
Subject: Re: [obm-l] OBM terceira faze nivel 3 - Gabarito duvidoso
From: [email protected]
To: [email protected]
Ola' Joao,
eu diria que as duas solucoes estao erradas.
A maior projecao gera um hexagono REGULAR. Como a diagonal do cubo mede
sqrt(3), este sera' o diametro do circulo circunscrito ao hexagono. Logo a
area do hexagono deve ser
6* [sqrt(3)/2 * sin60] * [sqrt(3)/2 * cos60]
Ou seja,
9*sqrt(3)/8
[]'s
Rogerio Ponce
2011/1/26 João Maldonado <[email protected]>
OBM 2010 Terceira Fase
PROBLEMA 3
Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a
pino?
Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a
maior área possível para a
projeção ortogonal da figura sobre um plano.
O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem
área sqrt(6) - 1
http://files.supergel57.webnode.com.br/200000496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf
Mas tome o seguinte:
Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que o
vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano.
As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As 3
faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano.
Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua
lateral composta por triêngulos retângulos.
Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com base
regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros.
Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil
calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da
base).
Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e B),
já que os dois tetraedros tem a mesma base.
Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede
6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) > sqrt(6) - 1.
Pergunta:
Qual das duas soluções está errada?
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This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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