Valeu!Gostei da solução.Eu tinha tentado mostrar que o triangulo não é
acutangulo nem obtusangulo.Não é obtusangulo,pois c^2 é no máximo 4R^2,entao
a^2 + b^2 > = 4R^2,daísegue que c^2 < = a^2 + b^2 .Não consegui descartar c^2
< a^2 + b^2,para ficar com c^2 = a^2 + b^2.
> Date: Wed, 13 Mar 2013 15:23:52 -0400
> Subject: Re: [obm-l] Geometria
> From: bernardo...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> 2013/3/13 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>:
> > Saja um triângulo cujos lados medem a,b e c e R o raio da circunferência
> > circunscrita.
> > Mostre que a^2 + b^2 + c^2 = 8R^2 se,e somente se,o triângulo é retângulo.
> >
> > Se o triangulo é retangulo,considerando a < = b < c,temos que a^2 + b^2 =
> > c^2
> > a^2 + b^2 + c^2= 2c^2 e,como c = 2R,segue que
> > a^2 + b^2 + c^2 = 2.(2R)^2 = 8R^2
> > Estou tentando a segunda parte da demonstração e não sai.
> Eu fiz na marra... Chame os ângulos internos do seu triângulo de A, B,
> C. Portanto, a = 2R sin(A), b = 2R sin(B), c = 2R sin(C). Note que C =
> pi - A - B => sin(C) = sin(A+B).
>
> Eleve tudo ao quadrado, cancele 4 R^2, fica:
> sin^2(A) + sin^2(B) + sin^2(A+B) = 2
>
> 1 - sin^2 = cos^2, logo passando os senos pro outro lado
>
> sin^2(A+B) = cos^2(A) + cos^2(B)
>
> Mas também sin(A+B) = sin(A) cos(B) + sin(B) cos(A), ao quadrado temos
>
> sin^2(A) cos^2(B) + 2 sin(A) cos(B) sin(B) cos(A) + sin^2(B) cos^2(A)
> = cos^2(A) + cos^2(B)
>
> Passe de novo termos pro outro lado:
>
> 2 sin(A) cos(B) sin(B) cos(A) = cos^2(A) (1 - sin^2(B)) + cos^2(B) (1
> - sin^2(A)) = 2 cos^2(A) cos^2(B)
>
> Cancele os cossenos
>
> sin(A) sin(B) = cos(A) cos(B), ou então cos(A + B) = 0. Como os
> ângulos estão entre 0 e pi/2 (SPG C é o maior ângulo) a única solução
> é A + B = pi/2.
>
> Deve dar para fazer por desigualdades também...
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
