Ola' Jeferson, parece que existe algum engano no enunciado do seu problema 2, pois nao existe potencia de 2, com mais de 1 algarismo, que termine em 0 ou 1.
[]'s Rogerio Ponce 2013/5/29 Jeferson Almir <[email protected]> > Aproveitando o momento tenho pensado nestes 2 problemas há tempos: > > 1. Prove que para todo inteiro positivo a>1 existem infinitos inteiros > positivos n tais n/aˆ(n)+1. > > 2. Prove que existe uma potência de 2 cujos k primeiros algarismos da > direita para esquerda são iguais a 0 ou 1. > > Esse foi o meu primeiro contato com T.N apresentado pelo professor Luiz > Amancio em sua passagem por Fortaleza e desde então nunca mais fui o mesmo. > Desde ja agradeço qualquer ajuda. > > > Em 27 de maio de 2013 20:23, Ralph Teixeira <[email protected]> escreveu: > >> 1) Suponha, por contradicao, que 2^(x1)+2^(x2)+...+2^(xn)=2^A para >> x1,x2,...,xn naturais distintos (suponha s.p.d.g. que x1<x2<...<xn=B e que >> n>=2). >> >> Por um lado, A>B, porque o lado esquerdo eh claramente maior que 2^B; >> entao A>=B+1. >> Por outro lado, mesmo que voce use TODAS as potencias de 2 ateh 2^B, nao >> chega a 2^A. De fato, o lado esquerdo eh menor ou igual a: >> 1+2+2^2+...+2^B=2^(B+1)-1<2^(B+1)<=2^A (usei soma dos termos da P.G. ali). >> >> Entao realmente nao tem como valer a igualdade. >> >> 2) Pois eh, como voce viu, m-48=2^a e m+48=2^(a+b) onde b>0 (pois >> m+48>m-48). Para mostrar que seu par eh o unico que presta, faca a >> subtracao, como voce disse, e fatore: >> >> 2^a (2^b-1) = 96 >> >> Agora, 2^a SOH TEM FATORES 2, enquanto 2^b-1 eh impar e portanto NAO TEM >> FATORES 2. Entao, 2^a tem que ser TODA a "parte potencia de 2" na fatoracao >> de 96=(2^5) * 3, enquanto 2^b-1 tem que ser TODA a parte impar (isto eh, >> 3). Entao, a unica solucao eh a=5 e b=2, como voce havia dito. >> >> Abraco, >> Ralph >> >> >> 2013/5/27 marcone augusto araújo borges <[email protected]> >> >>> 1) Gostaria de saber se a soma de duas ou mais potencias de base 2 >>> distintas pode ser uma potencia de base 2. >>> >>> Acredito que não e escrevendo esses números na base 2 talvez se possa >>> mostrar isso. >>> >>> 2) Desconfio que 2304 + 2^n é um quadrado perfeito para um único valor >>> de n. >>> >>> Eu fiz 2^n = (m + 48)(m - 48) >>> m + 48 e m - 48 devem ser potencias de base 2 >>> As únicas potencias de base 2 cuja diferença é 96 são 128 e 32 >>> Dai o único valor de n seria 12 >>> Um esclarecimento seria muito bem vindo >>> >>> Desde já agradeço >>> >>> >>> >> >> >
