Para a letra b a questão foi da IMO de 1990. Vou dividir em duas partes: Parte I
1)Como o numerador é ímpar, n deve ser ímpar. 2)Agora vamos supor que 3^k divide n, ou seja 3^k é a maior potência de 3 que divide n. 3)Assim 3^2k divide n^2 que por sua vez divide (2^n + 1). 4)Logo 2^n é congruente a -1 módulo 3^2k, ou seja 2^n= -1 mod(3^2k). 5)Assim 3^(2k-1) divide n, [Pois 2 é uma raiz primitiva mod(3^n), e se 2^n= -1 (mod3^2k), então 3^(2k-1) divide n], Ref. José P. dos Santos (Dê uma olhada em raízes primitivas e entenda este item 5 antes de passar para o próximo item) 6) 2k - 1<= k, k<= 1, mostrando que n tem, no máximo, um fator de 3. Observa-se que n = 3 é uma solução. (Não leia daqui pra frente se não entendeu o item 5) Parte II 7) Suponha-se que n tem um factor primo maior do que 3, seja p este tal Primo. Então p divide (2^n + 1), assim 2^n= -1 (mod p). 8) Seja d da ordem de 2 modulo p, então 2^2n=1 (mod p), assim d divide 2n. (Novamente o assunto de raízes primitivas) 9)Se d é ímpar, então d divide n, logo 2^n= 1, o que é absurdo. 10)Se d é par, d=2t.. Então 2t divide 2n (Vide 8), logo t divide n. 11)Temos também d divide (p - 1), ou 2t divide (p-1). Assim 2t<=p-1<p, ou t<=(p-1)/2<p .(Vide 7) 12) Mas como t divide n, então t = 1 ou t = 3. Se t = 1, então d = 2 e 2^2=1 (mod p ) , novamente um absurdo. 13) Se t=3, então d=6, assim e 2^6= 1 (mod p), e por fermat, p = 7. 14) Mas a ordem de 2 módulo 7 é 3, o que é estranho, uma vez mais contradição. 15) Portanto, não existe esse tal p logo a solução n = 3. Valeu Abraços Douglas Oliveira. Em 16 de agosto de 2014 12:37, marcone augusto araújo borges < [email protected]> escreveu: > 1)Sejam m e n números naturais tais que A = [(m+3)^n + 1]/3m é inteiro. > Mostre que A é impar > > 2) Determine todos os inteiros n > 1 tais que (2^n + 1)/n^2 é inteiro. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
