Sim, essa eh uma otima maneira de "consertar" o enunciado... Eu acho que
prefiro mudar um pouquinho a definicao de a_n para ter o mesmo numero de
termos do b_n -- fica mais bonitinho, e nao deve fazer diferenca, pois
minha definicao e a sua vao diferir de 1/sqrt(2n+1), que tende a 0. Ou
seja, quero fazer:
a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k-1}}
b_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}}.
Bom, com esta notacao, temos:
sqrt(2).b_{2n} = a_n + b_n
Dividindo por b_n vem
sqrt(2).b_{2n}/b_n = a_n/b_n + 1
Mas b_n eh "parecido" com Int (1 a n) sqrt(x) dx = 2sqrt(n)-2, entao b_{2n}
eh "da ordem de" 2sqrt(2n)-2 (dah para escrever umas desigualdades mais
exatas olhando o Teste da Integral). Entao eu estou chutando que b_{2n}/b_n
-> sqrt(2), e portanto a_n/b_n -> 1.
Vai ser dificil fazer aparecer o sqrt(2)-1 que eles querem!
Abraco, Ralph.
2016-01-11 17:34 GMT-02:00 Luís <qed_te...@hotmail.com>:
> Oi, oi Ralph,
>
> Concordo. Pensei então no seguinte problema:
>
> c_n = a_n / b_n.
>
> Mostre (será ??) que c = lim c_n = \sqrt{2} - 1.
>
> a_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{2k+1}} e
>
> b_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}}.
>
>
> ------------------------------
> From: ralp...@gmail.com
> Date: Mon, 11 Jan 2016 17:18:01 -0200
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] duas séries e um resultado
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Bom, se eu entendi, do jeito que estah eh falso, porque nenhuma destas
> series converge!
>
> (Bom, pelo menos nos reais... A menos que eles estejam em algum outro
> sistema...)
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-01-11 12:31 GMT-02:00 Luís <qed_te...@hotmail.com>:
>
> Sauda,c~oes,
>
> Um bom 2016 para todos.
>
> Recebi o seguinte problema.
>
> a = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{2k+1}} e
>
> b = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{2k}}.
>
> Mostre que a / b = \sqrt{2} - 1.
>
> Abs,
> Luís
>
>
>
