2018-03-24 20:13 GMT-03:00 Carlos P. <carlosp...@outlook.com.br>: > Boa noite!
Boa noite, > Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos sobre > o TFA. > > 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de > polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim z > ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer inteira f > tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a polinômios. Exato, o teorema se aplica a qualquer função inteira tal que |f(z)| -> oo quando |z| -> oo. Mas olha só: esta hipótese diz que existe um R tal que |f(z)| > 1 para |z| > R. Daí, defina g(w) = 1/f(1/w) no disco de raio 1/R, para w != 0. Note que g está bem-definida, neste disco (pequeno!), e podemos estender g(0) = 0 continuamente, logo de forma holomorfa. A ordem do zero de g em zero (única raiz de g no disco, por hipótese de f ser holomorfa) é, digamos, "d". Pelo princípio do argumento, a função g dá "d" voltas em torno da origem dentro do disco. Olhando agora para f(z) no disco de raio R, ela também dá "d" voltas (na mesma direção, porque invertemos duas vezes). De novo pelo princípio do argumento, isso quer dizer que f tem "d" raízes (com multiplicidade) no disco de raio R (porque f é holomorfa, logo não tem pólos), que chamamos de z_k. Agora, olhando para h(z) = 1/f(z), vamos "retirar" os "d" pólos de h(z) (= d raízes de f). Isso dá uma função H(z) = 1/f(z) - soma a_k/(z - z_k), onde a_k são os resíduos, que é holomorfa (já que retiramos os pólos) no disco de raio R, mas também fora do disco, pois os termos que adicionamos tendem a zero quando |z| -> oo. De novo por Liouville (agora em H(z)!), esta função é constante. Simplificando a expressão, teremos que 1/f(z) = H + Q(z)/P(z), onde P(z) é o produto dos fatores (z - z_k) contendo as raízes de f, e Q(z) é o polinômio em z que aparecer. Botando H "na fração", ficamos com 1/f(z) = QQ(z)/P(z), e assim f(z) = P(z)/QQ(z), onde QQ(z) é um polinômio. Como f(z) é holomorfa, QQ(z) não tem raízes, logo tem que ser constante (pelo resultado acima!), e f é um polinômio. Ou seja: o TFA funciona para todas as funções holomorfas em C, que tendem a infinito no infinito. Mas apenas os polinômios são ao mesmo tempo holomorfos e tendem a infinito no infinito! Um "contra-exemplo" interessante para você pensar: exp(z) é holomorfa, mas não tem raízes. Em que direções do plano complexo ela não tende a infinito? > 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de > raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me > informaram que há uma Deve ser o princípio do argumento, que eu usei acima. Ele é, realmente, muito poderoso! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
