Em 27 de março de 2018 21:04, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Pra quem se interessa por polinômios complexos e suas raízes, aqui vão dois > teoremas muito legais e razoavelmente bem conhecidos (demonstrações são > facilmente achadas via Google. Mas, é claro, tentar demonstrá-los é um belo > exercício - obs: o segundo é bem mais difícil, pelo menos eu acho): > > 1) Teorema de Gauss-Lucas: o fecho convexo das raízes de um polinômio contém > as raízes da derivada do polinômio. > (dica pra quem quiser tentar a demonstração: expresse p'(z)/p(z) como soma > de termos da forma 1/(z - a_i), onde a_i é raiz de p, e depois use > conjugação). > > 2) Teorema de Marden: as raízes de um polinômio cúbico são, em geral, > vértices de um triângulo no plano complexo (em que situação as raízes são > colineares?). Neste caso, as raízes da derivada deste polinômio são os focos > da única (exercício: provar a unicidade) elipse inscrita neste triângulo e > tangente aos lados em seus pontos médios. Esta elipse se chama a inelipse de > Steiner do triângulo. > > Exemplo simples: z^3 - 1. Os vértices do triângulo são as raízes cúbicas da > unidade. A inelipse de Steiner é, de fato, o incírculo, cujo cetro é z = 0 > (raiz dupla da derivada). > > Acabou de me ocorrer que qualquer triângulo no plano pode ser levado, por > uma transformação afim adequada, no triângulo cujos vértices são 1, w e w^2 > (w = exp(i*2*pi/3) ), e que transformações afins preservam tangência, pontos > médios e elipses (das quais os círculos são um caso particular). Será que > isso ajuda a provar o teorema de Marden?
E a parte das propriedades da inelipse? Isso fica meio que perdido, afinal transformações afins não costumam respeitar nada além da "figura exterior"; tanto que os focos da elipse "colapsam" no incentro. Mas a ideia parece salvável. E se jogássemos, mediante homotetias, as raízes da derivada no eixo X, de modo a ter raízes bonitinhas - ou, mais precisamente, forçar uma elipse de focos 1 e -1? > > []s, > Claudio. > > > 2018-03-24 20:13 GMT-03:00 Carlos P. <carlosp...@outlook.com.br>: >> >> Boa noite! >> >> Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos >> sobre o TFA. >> >> 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de >> polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim z >> ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer inteira f >> tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a polinômios. >> >> 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de >> raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me >> informaram que há uma >> >> Muito obrigado >> >> Carlos >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
