Uma forma de ver se sua solução está certa é tentar dar outra solução,
essencialmente diferente da primeira.
A meu ver, a solução mais elementar é por enumeração pura e simples e usa
apenas o princípio multiplicativo, sem nenhuma "sacada brilhante".
Há 5 números de um algarismo no sistema Impa (1, 3, 5, 7, 9);
5^2 = 25 números de dois algarismos;
5^3 = 125 de três;
5^4 = 625 de quatro.
Isso significa que 9999, o maior número de quatro algarismos no sistema
Impa, ocupa o lugar de número 5+25+125+625 = 780 na sequência e, portanto,
corresponde ao número 780 no sistema decimal.
5^5 = 3125 > 2017, o que implica que 2017 corresponde a um número Impa de
cinco algarismos.
Há 625 números Impa de 5 algarismos começando com 1 (de 11111 a 19999) ==>
19999 corresponde a 780+625 = 1405
Há 625 deles começando com 3 (de 31111 a 39999) ==> 39999 corresponde a
1405+780 = 2185.
Ou seja, o número desejado (correspondente a 2017) começa com "3".
Voltando ao 19999 (correspondente ao nosso 1405) ...
O número seguinte é 31111 (1406).
Há:
- 125 números começando com 31 (de 31111 a 31999): 1405+125 = 1530;
- 125 começando com 33 (33111 a 33999): 1530+125 = 1655
- 125 começando com 35: 1655+125 = 1780
- 125 começando com 37: 1780+125 = 1905
- 125 começando com 39: 1905+125 = 2030 ==> o número desejado começa com
"39".
Tomemos, então, o Impa 37999 (correspondente a 1905). O seguinte é o 39111.
Há:
- 25 números começando com 391 (39111 a 39199): 1905+25 = 1930
- 25 começando com 393: 1930+25 = 1955
- 25 começando com 395: 1955+25 = 1980
- 25 começando com 397: 1980+25 = 2005 ==> 2005 corresponde ao Impa 39799
==> 2006 é 39911
E, por fim, há:
- 5 números começando com 3991: 2005+5 = 2010
- 5 começando com 3993: 2010+5 = 2015 ==> 2015 corresponde ao Impa 39939
==> 2016 é 39951 ==> 2017 é 39953.
[]s,
Claudio.
On Thu, Nov 7, 2019 at 12:36 PM Cauã DSR <cauazinho...@gmail.com> wrote:
>
> Tenho um pequeno problema, eu fiz o item C) do problema 3 da prova da OBM
> de 2017, mas não tenho certeza sobre seu resultado, então achei uma boa
> fazer minha primeira aparição no grupo perguntando se o que fiz está certo.
>
> 3. Na Terra dos Impas, somente os algarismos ímpares são utilizados para
> contar e escrever números. Assim, em vez dos numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
> 8, 9, 10, 11, 12,. . . os Impas tem os números correspondentes 1, 3, 5, 7,
> 9, 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, . . . (note que os números dos Impas tem
> somente algarismos ímpares). Por exemplo, se
> uma criança tem 11 anos, os Impas diriam que ela tem 31 anos.
>
> c) Escreva, na linguagem dos Impas, o numero que na nossa representação
> decimal é escrito como 2017.
>
> Minha solução:
> Como no problema só temos Ímpares para usar como algarismo {1,3,5,7,9},
> temos um sistema de numeração de base 5, porém com os algarismos ímpares ao
> invés da base 5 comumente usada {0,1,2,3,4}. Ao analisar isso decidi
> transformar 2017 em um número de Base 5 {1,2,3,4,5}, ao usar esta base,
> percebi que para transformar um número de Base Decimal em um de Base 5
> {1,2,3,4,5} é quase o mesmo processo para transformá-lo em um número de
> Base 5 {0,1,2,3,4}, onde a única diferença é que podemos usar 5x5^n e que
> quando tivermos 0x5^n apenas basta ignorá-lo e partir para a próxima
> potência de 5 (5^n-1).
> Ao fazer isto obtive o seguinte:
>
> 2017= 3x5^4+1x5^3+3x5^1+2x5^0
> 2017= 3132
>
> Agora, saibam que tem como transformar um número n de base 5 {1,2,3,4,5}
> em um número x de base 5 {1,3,5,7,9} apenas mudando os algarismos
> correspondentes, uma vez que os dois tem base 5.
> então temos os seguinte correspondentes das Bases 5 {1,2,3,4,5} e
> {1,3,5,7,9} respectivamente
> 1=1
> 2=3
> 3=5
> 4=7
> 5=9
>
> Portanto o número 3132 da Base 5 {1,2,3,4,5} vira 5153 da Base 5
> {1,3,5,7,9}
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
