Re: [obm-l] ajuda

[Fabrício Filho]

Saída sútil. Logicamente, para a soma S ser convergente é necessário impor
uma condição sobre o número real *a* que aparece em S. Concorda!!!

2009/11/10 Marcos Martinelli 

> Repare que cos (kx) = [e^(ikx) + e^(-ikx)]/2 = (w^k + 1/w^k)/2, onde w =
> e^(ix).
>
> Assim nosso somatório será: 1 + soma(1 <= k <= n) [(aw)^k + (a/w)^k]/2.
>
> Repare agora que este somatório é na realidade a soma de duas PG's.
>
> Espero ter ajudado.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Help!!!

[Diogo FN]

E aí amigos, tudo bem?
podem me ajudar em mais essaS?!

01. Mostrar que 11 dividi infinitos números da forma 3636363636.36.

02. Existem 83 casas em uma rua. As casas são numeradas com números entre 100 e 
262, inclusive. mostre que pelo menos 2 casas têm números consecutivos.

03. Uma escola possui 46 classes com uma média de 38 alunos por classe. o que 
se pode dizer a respeito do número de alunos na maior?

Agradeço antecipadamente a quem dispôr de tempo para me ajudar com tais 
questões.



  

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Re: [obm-l] ajuda

[Marcos Martinelli]

Repare que cos (kx) = [e^(ikx) + e^(-ikx)]/2 = (w^k + 1/w^k)/2, onde w = e^(ix).

Assim nosso somatório será: 1 + soma(1 <= k <= n) [(aw)^k + (a/w)^k]/2.

Repare agora que este somatório é na realidade a soma de duas PG's.

Espero ter ajudado.

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=

[obm-l] ajuda

[Fabrício Filho]

Como encontrar o valor das soma: S= 1+a.cosx+a^2.cos2x+   ?

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2009/11/10 luiz silva 
>
> Ola Bernardo,
>
> Esta questão surgiu por acaso.
Legal ! Essa é uma questão muito importante !

> Deixa eu esclarecer então :
>
> O que quero dizer é se f(x) = g(x) para todo x em [a,b], então f(x)=g(x) para 
> todo x  .Qto ao segundo questionamento, creio que pode ser "composta" 
> como vc sugeriu.
Ok, isso mesmo... agora, precisamos formalizar um pouco mais o que
será o seu "funções algébricas" e "funções trigonométricas", para a
gente poder dar uma resposta correta!

> Acho que agora a minha dúvida ficou mais clara, com a sua ajuda.
>
> Abs
> Felipe

Se f e g forem polinômios, acho que você consegue provar que realmente
f=g o tempo todo se f=g num intervalo. Se você já estudou funções
complexas, você sabe também que isso vale para quaisquer duas funções
holomorfas. Senão, é exatamente isso que você tem que estudar!! Com um
pouco mais de análise, você pode conseguir demonstrar um resultado
análogo para funções meromorfas, o que permite usar frações. Mas, por
enquanto, nada de raízes, nem logaritmos, só polinômios, exponenciais,
e outras funções regulares (e compostas, portanto seno, cosseno, etc
ok, tangente é mais complicado, mas dá pra incorporar...)

Bom, eu vou ficando por aqui, mas sugiro que você dê uma boa estudada
nisso, ou, se já estudou, continue propondo mais funções que você
gostaria de ver na lista da "unicidade"!

Um grande abraço,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] IME - 2009 - Probabilidade

[Sergio Lima Netto]

Similarmente,

(i) os tres dados nao podem dar o mesmo resultado
(pois a soma de dois nao seria igual ao terceiro);

(ii) se dois resultados sao iguais, estes tem que
ser as parcelas e o terceiro dado seria a soma destes.

Neste caso, temos tres possiveis combinacoes de resultados:
(1,1,2), (2,2,4) e (3,3,6)
sendo que para cada combinacao hah 3 arranjos possiveis.
Por exemplo: (1,1,2), (1,2,1) ou (2,1,1)

(iii) se os tres resultados sao distintos,
temos, por inspecao, as 6 combinacoes:
(1,2,3), (1,3,4), (1,4,5), (1,5,6), (2,3,5), (2,4,6)
cada uma com 6 arranjos possiveis.
Por exemplo: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)

Logo, a probabilidade total eh
(3x3 + 6x6)/316 = 45/316 = 5/24

Note que este eh um problema de combinatoria disfarcado
de probabilidade.

Abraco,
sergio






On Tue, 10 Nov 2009 11:50:16 -0500, Rafael Forte wrote
> A soma de dois dados quaisquer tem que ser igual a soma do terceiro. O
> terceiro dado tem 6 possíveis resultados:
> 
> 1, 2, 3, 4, 5, 6
> 
> Vamos analisar cada um dos resultados:
> 
> 1: A soma de dois dados nunca pode ser 1 (não existe dado com valor zero)
> 
> 2: A única possibilidade é termos os dois dados com o valor 1. Sendo assim
> quando lançamos os três dados o resultado deve ser {1, 1, 2}. Note que como
> os 1's são iguais temos C(3, 2) = 3 formas de obter esse resultado.
> 
> 3: Para esse resultado ocorrer ele deve ser da forma {1,2,3}. Como todos os
> números são diferentes, temos uma permutação simples P(3) = 3! = 6 possíveis
> formas de obter o resultado.
> 
> 4. Da mesma forma, {1,3,4} ou {2, 2, 4}. No primeiro caso temos P(3) = 3! =
> 6 (permutação) e no segundo temos C(3,2) = 3 (combinação). Somando-se temos
> 6 + 3 = 9
> 5. {1,4,5} ou {2,3,5} = 3! + 3! = 12
> 6. {1,5,6} ou {2,4,6} ou {3,3,6} = 3! + 3! + 3 = 15
> 
> Somando-se todos esses resultados, temos 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45. Note que
> lançamos três dados, portanto temos 6*6*6 possíveis resultados. Concluímos
> que a probabilidade procurada é de 45/6^3
> 
> Abraços,
> Rafael F.
> 
> 2009/11/9 Luiz Paulo 
> 
> > Vai no site do curso poliedro que a prova está toda resolvida.
> > Abraço.
> >
> > --- Em *seg, 9/11/09, arkon * escreveu:
> >
> >
> > De: arkon 
> > Assunto: [obm-l] IME - 2009 - Probabilidade
> >
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Data: Segunda-feira, 9 de Novembro de 2009, 12:51
> >
> >
> >  Alguém conseguiu resolver?
> >
> > Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um a seis são
> > lançados simultaneamente.
> >
> > Determine a probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer
> > deles ser igual ao resultado
> >
> > do terceiro
> > dado.=
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
> >
> >
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Sergio Lima Netto
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(+55 21) 2562-8164


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções

[luiz silva]

Ola Bernardo,
 
Esta questão surgiu por acaso.
 
Deixa eu esclarecer então :
 
O que quero dizer é se f(x) = g(x) para todo x em [a,b], então f(x)=g(x) para 
todo x  .Qto ao segundo questionamento, creio que pode ser "composta" como 
vc sugeriu.
 
Acho que agora a minha dúvida ficou mais clara, com a sua ajuda. 
 
Abs
Felipe

--- Em ter, 10/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa  
escreveu:


De: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 13:45


2009/11/10 luiz silva 
>
> Pessoal,
>
> Se duas funções algébricas ou trigonométricas f(x) e g(x), contínuas (não sei 
> se é necessário que sejam), possuem a mesma imagem em um intervalo 
> [a,b],  podemos afirmar que f(x)=g(x) ??
O que você quer dizer por "possuem a mesma imagem" ? f([a,b]) =
g([a,b]) ? ou f(x) = g(x) para todo x em [a,b] ? Veja que é MUITO
diferente, e que uma é bem mais forte do que a outra.

Segunda coisa, o que é uma "função trigonométrica" pra você ? sin,
cos, etc e tal ? Vale compor ? senão, vale fazer sin(4x + x^2) ? qual
justificativa para essas respostas (bom, pode ser "simplesmente um
exercício", mas seria mais legal ver claramente o que se quer fazer
com cada uma)

Terceiro: algumas das situações que eu proponho podem ser triviais
(contra-exemplos evidentes), portanto pense um pouco se não dá pra
achar um contra-exemplo rapidamente se for o caso. E senão, mande ver
!

> Abs
> Felipe

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ESSA É LEGAL

[Márcio Pinheiro]

Retificando, o  foco está em (-  b/(2a), (b^2 - 4ac)/(4a) + a/2).

--- Em ter, 10/11/09, Márcio Pinheiro  escreveu:


De: Márcio Pinheiro 
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] ESSA É LEGAL
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 10:14







Completando os quadrados, tem-se que y = a[x + b/(2a)]^2 - (b^2 - 4ac)/(4a), 
que equivale a y + (b^2 - 4ac)/(4a) = 2.a/2.[x + b/(2a)]^2. Comparando com as 
formas tradicionais de equações de parábolas com eixos de simetria verticais 
(paralelos ao eixo y), (x - x0)^2 = 2p(y - y0) ou (x - x0)^2 = - 2p(y - y0), em 
que (x0, y0) são as coordenadas do vértice e p é o parâmetro (distância do foco 
à diretriz), conclui-se que a equação dada, y = ax^2 + bx + c, representa, de 
fato, uma parábola, de vértice em (- b/(2a), - (b^2 - 4ac)/(4a)), foco em - 
(b^2 - 4ac)/(4a) + a/2 e com diretriz y = - (b^2 - 4ac)/(4a) - a/2.
Até mais.


--- Em ter, 10/11/09, Robério Alves  escreveu:


De: Robério Alves 
Assunto: [obm-l] ESSA É LEGAL
Para: "OBM Matemática Matemática" 
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 7:09















Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola y = ax^2+bx+c




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Re: [obm-l] IME - 2009 - Probabilidade

[Rafael Forte]

A soma de dois dados quaisquer tem que ser igual a soma do terceiro. O
terceiro dado tem 6 possíveis resultados:

1, 2, 3, 4, 5, 6

Vamos analisar cada um dos resultados:

1: A soma de dois dados nunca pode ser 1 (não existe dado com valor zero)

2: A única possibilidade é termos os dois dados com o valor 1. Sendo assim
quando lançamos os três dados o resultado deve ser {1, 1, 2}. Note que como
os 1's são iguais temos C(3, 2) = 3 formas de obter esse resultado.

3: Para esse resultado ocorrer ele deve ser da forma {1,2,3}. Como todos os
números são diferentes, temos uma permutação simples P(3) = 3! = 6 possíveis
formas de obter o resultado.

4. Da mesma forma, {1,3,4} ou {2, 2, 4}. No primeiro caso temos P(3) = 3! =
6 (permutação) e no segundo temos C(3,2) = 3 (combinação). Somando-se temos
6 + 3 = 9
5. {1,4,5} ou {2,3,5} = 3! + 3! = 12
6. {1,5,6} ou {2,4,6} ou {3,3,6} = 3! + 3! + 3 = 15

Somando-se todos esses resultados, temos 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45. Note que
lançamos três dados, portanto temos 6*6*6 possíveis resultados. Concluímos
que a probabilidade procurada é de 45/6^3

Abraços,
Rafael F.

2009/11/9 Luiz Paulo 

> Vai no site do curso poliedro que a prova está toda resolvida.
> Abraço.
>
> --- Em *seg, 9/11/09, arkon * escreveu:
>
>
> De: arkon 
> Assunto: [obm-l] IME - 2009 - Probabilidade
>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Segunda-feira, 9 de Novembro de 2009, 12:51
>
>
>  Alguém conseguiu resolver?
>
> Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um a seis são
> lançados simultaneamente.
>
> Determine a probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer
> deles ser igual ao resultado
>
> do terceiro
> dado.=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
>
>
> --
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
> 10-
> Celebridades-
> Música-
> Esportes
>

[obm-l] Aplicativos de Matematica

[Thais Oliveira]

Olá pessoal.
 
Sou professora e mestranda.  
 
Tenho produzido alguns aplicativos de matemático e consegui postar no site: 
http://www.objetivomogi.com.br/Thais/index.asp
 
Se puderem... deem uma olhada. Aceito sugestoes para melhorar os objetos
 
Obrigada
 
Thais


  

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[obm-l] Re: [obm-l] Funções

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2009/11/10 luiz silva 
>
> Pessoal,
>
> Se duas funções algébricas ou trigonométricas f(x) e g(x), contínuas (não sei 
> se é necessário que sejam), possuem a mesma imagem em um intervalo 
> [a,b],  podemos afirmar que f(x)=g(x) ??
O que você quer dizer por "possuem a mesma imagem" ? f([a,b]) =
g([a,b]) ? ou f(x) = g(x) para todo x em [a,b] ? Veja que é MUITO
diferente, e que uma é bem mais forte do que a outra.

Segunda coisa, o que é uma "função trigonométrica" pra você ? sin,
cos, etc e tal ? Vale compor ? senão, vale fazer sin(4x + x^2) ? qual
justificativa para essas respostas (bom, pode ser "simplesmente um
exercício", mas seria mais legal ver claramente o que se quer fazer
com cada uma)

Terceiro: algumas das situações que eu proponho podem ser triviais
(contra-exemplos evidentes), portanto pense um pouco se não dá pra
achar um contra-exemplo rapidamente se for o caso. E senão, mande ver
!

> Abs
> Felipe

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Teoria dos Números - Ajuda

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Rhilbert: você já ouviu falar do Pequeno Teorema de Fermat ?

Estas questões são praticamente aplicações direta dele, então se não
for o caso, acho que você pode brigar com o seu professor por ele ter
feito você resolver isso, e segundo corra pra Eureka (acho que é a n°
2) que tem um artigo do Gugu de aritmética com "tudo o que você um dia
quis saber de aritmética para olimpíadas" !

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

2009/11/10 Rhilbert Rivera :
> Uma correção:
> 1) Sejam a, k naturais não nulos. Mostra que 7|a^6k  -1, se (a,7)=1
>
>
> 
> From: rhilbert1...@hotmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Teoria dos Números - Ajuda
> Date: Tue, 10 Nov 2009 14:25:27 +
>
> Obrigado por qualquer ajuda nas questões abaixo:
>
> 1) Sejam a, k naturais não nulos. Mostra que 7|a^(6k-1), se (a,7)=1
>
> 2)Mostre que, para todo n natural, 6|n^3 + 11n
>
> Valeu!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Lucro Máximo

[Rafael Forte]

Olá Pessoal,

Esse problema é do livro de cálculo do Simmons. Eu resolvi assim:

Modelando a função lucro, temos:

L( x ) = ( 100 - 5x - 40 ) * ( 180 + 30x )
L( x ) = ( 60 - 5x ) * (180 + 30x )

Calculando a derivada, temos:

L'( x ) = 900 - 300x

Fazendo a derivada ser igual a zero:

L'( x ) = 0
   900 = 300x
  3 = x

Substituindo na expressão em L, concluímos que o preço do produto deve ser
100 - 5 * 3 = 85.

Curiosamente, a resposta na minha edição do Simmons é 8.5 (aliás a resposta
é em Cruzeiros... estou ficando velho) ao invés de 85. Acredito que seja um
erro de tradução ou impressão. Por favor, me avisem se alguém achar uma
resposta diferente.

OBS.: Notem que a segunda derivada é < 0, portanto o ponto é de máximo.

Abraços,
Rafael F.

2009/11/10 Paulo Santa Rita 

> Ola Gustavo e demais
> colegas desta lista ... OBM,
>
> Eu vejo as coisas assim :
>
> Se cada exemplar for vendido ao preco unitario de 100 - 5X as vendas
> subirao para 180+30X o que implicara numa receita bruta de
> (180+30X)*(100-5X). Como cada exemplar custa 40, o lucro obtido sera
> L(X) = (180+30X)(100-5X) - 40(180+30X)= (180+30X)*(60-5X). O objetivo
> e maximizar L(X) com a condicao de que 100-5x > 40  => X < 12.
>
> Se eu nao errei nenhum calculo acima, a parabola L(X) tem maximo em
> X=3, o que atende a condicao X < 12. Logo, cada exemplar deve ser
> vendido a 100-3*5= 85
>
> Esse e um tipico problema elementar de pesquisa operacional. Para mais
> variaveis, existe um metodo charmoso chamado de Metodo Vogel. Eis aqui
> uma questao que pode ser equacionada
> com os metodos da pesquisa operacional:
>
> PROBLEMA : Vai comecar um campeonato de futebol com um unico turno (
> cada clube joga com todos os outros uma unica vez ) no qual participam
> 2N clubes. Uma vitoria vale 3 pontos, o empate vale um ponto e derrota
> nao confere pontos. Ao final, os P melhores classificados ( P < N )
> passarao para a proxima fase. ANTES DE COMECAR O CAMPEONATO, qual sera
> a quantidade minima de pontos que um clube devera fazer para ter
> certeza de estara entre os P primeiros classificados.
>
> OBS1 : note que conforme o campeonato vai avancando o minimo de pontos
> para estar entre os P primeiro muda, ou seja, ele e funcao da
> "rodada".
>
> OBS2 : Pense numa classificacao em termos de pontos perdidos que tudo
> fica mais facil
>
> um abraco a todos
> PSR,3101109083A
>
>
> 09/11/9 Gustavo Duarte :
> > É uma questão básica de ponto máximo/ mínimo,  mas nem tanto 
> >
> >
> >  "Ao preço de $ 100,00 cada exemplar, um vendedor ambulante vende 180
> > exemplares de um uma mercadoria com um custo unitário de $ 40,00 o
> exemplar.
> > Este vendedor estima que, para cada $ 5,00 de desconto no preço unitário,
> > fará aumentar 30 exemplares nas vendas. O preço da mercadotia para
> maximizar
> > O LUCRO desse vendeor é :  "
> >
> > Dúvida : na função da venda :V (X) = (100 - 5x).( 180 + 30x) , Xv = 7
> logo
> > preço = $ 65
> >
> >na função do lucro : L (X)  = ( 60 - 5x) . ( 180 + 30x) , Xv =
> 3
> > , logo lucro = 45, assim prço ( venda) = 45 + 40 = $85.
> >
> > Em qual preço (de venda) terei um lucro máximo ???  Quem puder ajudar
> ,desde
> > já agredeço .
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Funções

[luiz silva]

Pessoal,
 
Se duas funções algébricas ou trigonométricas f(x) e g(x), contínuas (não sei 
se é necessário que sejam), possuem a mesma imagem em um intervalo 
[a,b],  podemos afirmar que f(x)=g(x) ??
 
Abs
Felipe


  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

[obm-l] RE: [obm-l] Teoria d os Números - Ajuda

[Rhilbert Rivera]

Uma correção:

1) Sejam a, k naturais não nulos. Mostra que 7|a^6k  -1, se (a,7)=1

 


From: rhilbert1...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Teoria dos Números - Ajuda
Date: Tue, 10 Nov 2009 14:25:27 +



Obrigado por qualquer ajuda nas questões abaixo:
 
1) Sejam a, k naturais não nulos. Mostra que 7|a^(6k-1), se (a,7)=1
 
2)Mostre que, para todo n natural, 6|n^3 + 11n
 
Valeu!



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[obm-l] Teoria dos Números - Ajuda

[Rhilbert Rivera]

Obrigado por qualquer ajuda nas questões abaixo:

 

1) Sejam a, k naturais não nulos. Mostra que 7|a^(6k-1), se (a,7)=1

 

2)Mostre que, para todo n natural, 6|n^3 + 11n

 

Valeu!
  
_
Você já ama o Messenger? Conheça ainda mais sobre ele no Novo site de Windows 
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http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09

[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO COMPLICADA

[Márcio Pinheiro]

Basta notar que, sendo AB uma dessas cordas, de ponto médio M, e O o centro da 
circunferência, o triângulo retângulo BOM, em que OB = 5 (raio) e MB = 4, 
fornece, qualquer que seja a posição da corda, OM = 3.
Portanto, para toda corda de comprimento 8, seu ponto médio estará a uma 
distância constante (3) de um ponto fixo, O, ou seja, sobre a circunferência C 
de centro O e de raio 3. É fácil ver, enfim, que todo ponto dessa 
circunferência também serve de ponto médio para uma corda de comprimento 8 da 
circunferência original (tais cordas tangenciam a circunferência de raio 3).
Assim, o lugar geométrico procurado é a circunferência C.
Espero ter ajudado.
Márcio.
P.S.: a solução acima, sintética, é uma alternativa à solução analítica. 
Eventualmente, uma é mais facilmente obtida que a outra. Para a solução 
analítica, um caminho é fazer M (xm, ym), notando que A (xa, ya) e B (xb, yb) 
são tais que (xa)^2 + (ya)^2 = 25 e (xb)^2 + (yb)^2 = 25, pois A e B estão na 
circunferência. Logo, como M = (A + B)/2, tem-se que xm = (xa + xb)/2 e ym = 
(ya + yb)/2. Então, (xm)^2 + (ym)^2 = [(xa)^2 + (ya)^2
+ (xb)^2 + (yb)^2 + 2(xa.xb + ya.yb)]/4 = [50 + 2(xa.xb + ya.yb)]/4. Dependendo 
do nível de conhecimento com que se está trabalhando, obter xa.xb + ya.yb pode 
ser mais ou menos complicado. Caso se disponham de ferramentas vetoriais, 
acabou: trata-se do produto escalar dos vetores OA e OB, que pode ser obtido 
por (módulo de OA).(módulo de OB).cos(BÔA) = 5.5.(- 7/25) = - 7. O valor desse 
cosseno pode ser obtido, por exemplo, aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo 
BOA. Consequentemente, (xm)^2 + (ym)^2  = 9, que é a circunferência C obtida na 
solução sintética.

--- Em ter, 10/11/09, Robério Alves  escreveu:


De: Robério Alves 
Assunto: [obm-l] QUESTÃO COMPLICADA
Para: "OBM Matemática Matemática" 
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 7:08














Chamaremos de lugar geométrico todo conjunto de pontos que gozam de uma certa 
propriedade geométrica. Considere a circunferencia x^2 + y^2 = 25. Determine o 
lugar geométrico dos pontos médios de todas as cordas, de comprimento 8, desta 
circunferencia.




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[obm-l] Re: [obm-l] Duvida nessa questão

[Márcio Pinheiro]

Sem perda de generalidade, adote-se um sistema de coordenadas de tal sorte que 
uma equação para a hipérbole possa ser escrita sob a forma (x/a)^2 - (y/b)^2 = 
1, em que a e b são os semieixos real e imaginário. Nessas condições, as 
assíntotas da hipérbole podem ter suas equações escritas como y = (b/a)x ou y 
= - (b/a)x.
Dessa forma, uma reta paralela a uma assíntota tem sua equação reduzida como y 
= (b/a)x + k ou y = - (b/a)x + k, sendo k uma constante real.
Para obter os pontos de interseção, basta resolver o sistema formado pelas 
equações reduzidas da hipérbole e da reta em questão. Conclui-se facilmente 
que, em qualquer caso, tal sistema tem uma única solução, o que demonstra a 
tese pedida.
Falou.
Márcio Pinheiro.

--- Em ter, 10/11/09, Robério Alves  escreveu:


De: Robério Alves 
Assunto: [obm-l] Duvida nessa questão
Para: "OBM Matemática Matemática" 
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 7:09














Como se resolve essa ?

mostre que se uma rela r é paralela a uma assintota de uma hipérbole, então r 
intercepta a hiperbole em apenas um ponto.









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[obm-l] Re: [obm-l] ESSA É LEGAL

[Márcio Pinheiro]

Completando os quadrados, tem-se que y = a[x + b/(2a)]^2 - (b^2 - 4ac)/(4a), 
que equivale a y + (b^2 - 4ac)/(4a) = 2.a/2.[x + b/(2a)]^2. Comparando com as 
formas tradicionais de equações de parábolas com eixos de simetria verticais 
(paralelos ao eixo y), (x - x0)^2 = 2p(y - y0) ou (x - x0)^2 = - 2p(y - y0), em 
que (x0, y0) são as coordenadas do vértice e p é o parâmetro (distância do foco 
à diretriz), conclui-se que a equação dada, y = ax^2 + bx + c, representa, de 
fato, uma parábola, de vértice em (- b/(2a), - (b^2 - 4ac)/(4a)), foco em - 
(b^2 - 4ac)/(4a) + a/2 e com diretriz y = - (b^2 - 4ac)/(4a) - a/2.
Até mais.


--- Em ter, 10/11/09, Robério Alves  escreveu:


De: Robério Alves 
Assunto: [obm-l] ESSA É LEGAL
Para: "OBM Matemática Matemática" 
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 7:09















Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola y = ax^2+bx+c




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[obm-l] Re: [obm-l] Lucro Máximo

[Paulo Santa Rita]

Ola Gustavo e demais
colegas desta lista ... OBM,

Eu vejo as coisas assim :

Se cada exemplar for vendido ao preco unitario de 100 - 5X as vendas
subirao para 180+30X o que implicara numa receita bruta de
(180+30X)*(100-5X). Como cada exemplar custa 40, o lucro obtido sera
L(X) = (180+30X)(100-5X) - 40(180+30X)= (180+30X)*(60-5X). O objetivo
e maximizar L(X) com a condicao de que 100-5x > 40  => X < 12.

Se eu nao errei nenhum calculo acima, a parabola L(X) tem maximo em
X=3, o que atende a condicao X < 12. Logo, cada exemplar deve ser
vendido a 100-3*5= 85

Esse e um tipico problema elementar de pesquisa operacional. Para mais
variaveis, existe um metodo charmoso chamado de Metodo Vogel. Eis aqui
uma questao que pode ser equacionada
com os metodos da pesquisa operacional:

PROBLEMA : Vai comecar um campeonato de futebol com um unico turno (
cada clube joga com todos os outros uma unica vez ) no qual participam
2N clubes. Uma vitoria vale 3 pontos, o empate vale um ponto e derrota
nao confere pontos. Ao final, os P melhores classificados ( P < N )
passarao para a proxima fase. ANTES DE COMECAR O CAMPEONATO, qual sera
a quantidade minima de pontos que um clube devera fazer para ter
certeza de estara entre os P primeiros classificados.

OBS1 : note que conforme o campeonato vai avancando o minimo de pontos
para estar entre os P primeiro muda, ou seja, ele e funcao da
"rodada".

OBS2 : Pense numa classificacao em termos de pontos perdidos que tudo
fica mais facil

um abraco a todos
PSR,3101109083A


09/11/9 Gustavo Duarte :
> É uma questão básica de ponto máximo/ mínimo,  mas nem tanto 
>
>
>  "Ao preço de $ 100,00 cada exemplar, um vendedor ambulante vende 180
> exemplares de um uma mercadoria com um custo unitário de $ 40,00 o exemplar.
> Este vendedor estima que, para cada $ 5,00 de desconto no preço unitário,
> fará aumentar 30 exemplares nas vendas. O preço da mercadotia para maximizar
> O LUCRO desse vendeor é :  "
>
> Dúvida : na função da venda :V (X) = (100 - 5x).( 180 + 30x) , Xv = 7  logo
> preço = $ 65
>
>    na função do lucro : L (X)  = ( 60 - 5x) . ( 180 + 30x) , Xv = 3
> , logo lucro = 45, assim prço ( venda) = 45 + 40 = $85.
>
> Em qual preço (de venda) terei um lucro máximo ???  Quem puder ajudar ,desde
> já agredeço .

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] geometria

[luiz silva]

Oi Pessoal,
 
O email q enviei não chegou para mim, nem vi nos arquivos da lista, então estou 
reenviando.
 
Abs
Felipe
--- Em seg, 9/11/09, luiz silva  escreveu:


De: luiz silva 
Assunto: Re: [obm-l] geometria
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 9 de Novembro de 2009, 8:42







Ola Ralph,
 
Acho q o problema é mais simples que parece :
 
Qdo ligamos DM, temos que o angulo DMB=20 e ADM=50. Com isso, MAD=50 ( o 
triangulo ABC é retângulo)..se não errei em alguma coisa, acho q é só isso 
 
Abvs
Felipe


--- Em dom, 8/11/09, Ralph Teixeira  escreveu:


De: Ralph Teixeira 
Assunto: Re: [obm-l] geometria
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 8 de Novembro de 2009, 11:28



Acho que o buraco eh mais embaixo -- aa primeira vista, o problema me parece 
ser "sobredeterminado"...
 
Explico: chamando BD=x, temos AB=x/cos50 e AD=x.tan50. Pitagoras em ACD tira 
CD=x.blahblah. Entao, a menos de uma semelhanca, o triangulo ABC estah 
determinado, incluindo o angulo A pedido.
 
O problema eh que eu nao usei a divisao 20/30 neste raciocinio acima! Entao, a 
menos que o problema seja cuidadosamente planejado, o triangulo ABC determinado 
acima nao vai ter aquele 20/30
 
Fiz numericamente sem usar a informacao do 20/30 (tomando x=1). Achei 
o triangulo de lados a=2.6062, b=2 e c=1.5556 (a altura seria h=1.198, a 
mediana m=1.8990). O angulo A seria 93.426 graus, o que certamente eh estranho. 
Enfim, com estas medidas, numericamente aqueles dois angulos sao 31.713 e 
18.287 graus -- **perto** de 30/20, mas nao deu certo nao.
 
Entao, como enunciado, o problema eh impossivel (ou eu errei alguma coisa). :)
 
Abraco,
 Ralph


2009/11/8 Eduardo Wilner 





Não entendí esta de ligar D a M  ? Poderia explicar ?

Achei o problema bizarro e parece que, para ângulos menores que 90°, dá 53,4° 
???

--- Em sáb, 7/11/09, Marcelo Costa  escreveu:


De: Marcelo Costa 
Assunto: Re: [obm-l] geometria
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 7 de Novembro de 2009, 1:10


Me veio algo, como posso afirmar que  DM é paralelo à AB?
 


2009/11/6 Marcelo Costa 

valeu, obrigado, lamentavelmente não enxerguei o trapézio, arg que raiva!
Mas valeu de coração.


2009/11/5 luiz silva  







Ola Marcelo,
 
Ligue os pontos D e M e corra para o abraço ::))
 
Abs
Felipe

--- Em qui, 5/11/09, Marcelo Costa  escreveu:


De: Marcelo Costa 
Assunto: [obm-l] geometria
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 5 de Novembro de 2009, 18:52 



Num triângulo ABC, temos AD como altura relativa ao vértice A e o ponto M como 
ponto médio do lado AC. Sabe-se que ABM = 30º, e MBC = 20º, e que AM = MC = BD. 
Qual o valor do ângulo CAD?
 

-- 
"Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo"
Galileu Galilei




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[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO COMPLICADA

[luiz silva]

Ola Robério,
 
É a circunferência de raio três (x2+y2=9)
 
Abs
Felipe

--- Em ter, 10/11/09, Robério Alves  escreveu:


De: Robério Alves 
Assunto: [obm-l] QUESTÃO COMPLICADA
Para: "OBM Matemática Matemática" 
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 7:08














Chamaremos de lugar geométrico todo conjunto de pontos que gozam de uma certa 
propriedade geométrica. Considere a circunferencia x^2 + y^2 = 25. Determine o 
lugar geométrico dos pontos médios de todas as cordas, de comprimento 8, desta 
circunferencia.




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[obm-l] questão de analítica legal

[Robério Alves]

Atenção como faz essa ?

Demonstre que o produto das distancias a uma assintota de uma hiperbole, então 
r intercepta às suas assintotas é igual a ( a^2 b^2) / ( a^2 + b^2 )

http://br.messenger.yahoo.com/ 


  

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[obm-l] ESSA É LEGAL

[Robério Alves]

Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola y = ax^2+bx+c




  

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[obm-l] Questão de Análitica

[Robério Alves]

Se as ordenadas de todos os pontos da circuferencia x^2 + y^2 = 36
são reduzidas a um terço, determine a equação e esboce o gráficoda
curva resultante.



  



  

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[obm-l] geometria analítica

[Robério Alves]

Como é que resolve essa questão ?


Encontre o foco da parábola y = x^2 + 2x + i





  

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[obm-l] QUESTÃO COMPLICADA

[Robério Alves]

Chamaremos de lugar geométrico todo conjunto de pontos que gozam de uma certa 
propriedade geométrica. Considere a circunferencia x^2 + y^2 = 25. Determine o 
lugar geométrico dos pontos médios de todas as cordas, de comprimento 8, desta 
circunferencia.




  

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Re: [obm-l] Algebra Linear II

[warley ferreira]

Obrigadoo

Warley

--- Em ter, 10/11/09, Carlos Gomes  escreveu:


De: Carlos Gomes 
Assunto: Re: [obm-l] Algebra Linear II
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 3:14





lembrando que detM=detM^t  temos:
 
Os autovalores de A são as raízes do polinômio p(x)=det(A-x.I)
 
e os de A^t são as raízes do polinômio q(x)=det(A^t-x.I) = det[A^t-x.I^t] = 
det[(A-x.I)^t] = det(A-x.I)=p(x)
 
assim A e A^t possuem os mesmos autovalores.
 
 
valew, cgomes

- Original Message - 
From: warley ferreira 
To: Lista de Discussão 
Sent: Monday, November 09, 2009 3:34 PM
Subject: [obm-l] Algebra Linear II






Olá pessoal, td bom?
Queria uma ajuda nesta questão:
Prove que uma matriz A e sua transposta AT possuem os mesmos valores próprios.
Desde já agradeço,
Obrigado!
Otávio Souza


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07:39:00



  

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[obm-l] Duvida nessa questão

[Robério Alves]

Como se resolve essa ?

mostre que se uma rela r é paralela a uma assintota de uma hipérbole, então r 
intercepta a hiperbole em apenas um ponto.

 




  



  

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[obm-l] resolvam por favor

[Robério Alves]

Definimos a distancia entre um ponto e uma circunferencia como sendo o valor 
absoluto da diferença entre a distancia do ponto ao centro e o raio da 
circunferencia. Determine o lugar geométrico dos pontos do plano que são 
equidistantes das circunferencias ( x+3)^2 + y^2 = 1 e ( x-3)^2+y^2 = 81.



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