Re: [obm-l] Ajuda
Oi, Julio, No resisti a dar uma dica, emborao utros colegas j tenham resolvido o problema... Este tipo de exerccio, envolvendo circunferncias e retas so muito comuns e as pessoas tentam solues via Geometria Analtica, s vezes chatssimas. Entretanto, Geometria Analtica tambm Geometria e uma figurinha (mais um pitaggoras) geralmente resolvem o problema facilmente... Veja, na figura o tringulo retngulo tem lados bvios (1, 4, 2 2raiz2) e ento a tangente de alfa imediata...Dai as inclinaes das duas retas so imediatas... Abraos, Nehab Em 14/02/2012 16:33, Julio Teixeira escreveu: bom dia, estudando me deparei com este exercicio, onde encontrei certa dificuldade e nao consegui resolve-lo, assim peco ajuda em como prosseguir.. Determine a equao de todas as retas que so tangentes circunferncia x + y = 2y e passam pelo ponto (0,4). Agradecido desde ja, aguardando retorno.. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial de primos
Vamos tentar uma prova por absurdo, vamos supor (p-1)!=-1 (modp), mas que p não seja primo, então p deve ser igual a m.n , (p=m.n), com 1
[obm-l] Geometria
Olá , Poderiam me ajudar nesta questão ? Considere C1 ,C2 e C3 três circunferências concêntricas de centro O e de raios respectivamentes iguais a :1 , 2 e 3 . Sejam A , B e C pontos sobre C1 , C2 e C3 , respectivamente . Como deve estar o centro O para que a área do triângulo ABC seja máxima ? Agradeço qualquer resposta Bob
Re: [obm-l] Geometria
Vou supor que o triangulo ABC de area maxima existe (o que eh bem razoavel, e eh verdade, mas nao eh obvio usando soh geometria). Entao seja ABC esse triangulo de area maxima. Fixe o lado BC e pense nas possiveis posicoes de A. Como o triangulo ABC tem area maxima, entao A eh o ponto da circunferencia C1 mais longe de BC que voce puder arrumar. Em outras palavras, a tangente a C1 por A eh paralela a BC. Ou seja, a reta OA (que eh perpendicular aaquela tangente) eh perpendicular a BC. Em suma, AO eh (um pedaco da) altura do triangulo ABC. Analogamente, BO e CO sao perpendiculares aos lados AC e AB. Entao O eh o ortocentro de ABC. (O que a gente provou eh que O ser ortocentro eh condicao NECESSARIA para este triangulo ABC de area maxima, que me parece ser o que a questao queria.) Abraco, Ralph 2012/2/20 Bob Roy bob...@globo.com Olá , Poderiam me ajudar nesta questão ? Considere C1 ,C2 e C3 três circunferências concêntricas de centro O e de raios respectivamentes iguais a :1 , 2 e 3 . Sejam A , B e C pontos sobre C1 , C2 e C3 , respectivamente . Como deve estar o centro O para que a área do triângulo ABC seja máxima ? Agradeço qualquer resposta Bob
RE: [obm-l] Fatorial de primos
Olá Douglas, Na verdade essa prova eu consegui, mas note que isso só prova que não existe p composto tal que (p-1)! = -1 (mod. p), mas não prova que para os primos isso vale (só prova que para os não-primos não vale). Seguindo a idéia Tiago do fiz assim:Basta provar o seguinte 1) Sendo p primo, sendo 1 x p-1 e 1 y p-1, x != y, temos que escolhendo 1 x sempre vai existir um y inverso de x mod p, ou seja, y tal que x.y = 1 mod p 2) y é único A segunda é fácil provar:Se existisse um outro número (digamos z) y tal que x.z = 1 (mod p), sendo z = y+m, temos x(y+m) = 1 (mod p ) - xm = 0 (mod p) - m = pk, Logo m = 0 ou m=p, absurdoLogo não existe z A primeira ainda não consegui provarAlguém me dá uma ajuda? []'sJoão Date: Mon, 20 Feb 2012 09:09:31 -0200 From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Fatorial de primos Vamos tentar uma prova por absurdo, vamos supor (p-1)!=-1 (modp), mas que p não seja primo, então p deve ser igual a m.n , (p=m.n), com 1mp e 1np , como pI(p-1)!+1 , logo mI(p-1)!+1 pois mIp, e como mp, mI(p-1)!, conclui-se que m divide a diferença (p-1)!+1-(p-1)!=1, o que é absurdo, logo m deve ser primo!! On Sun, 19 Feb 2012 23:44:53 -0300, João Maldonado wrote: Prove que sendo p um primo, (p-1)! = -1 (mod. p) Como posso provar isso? []'s João
Re: [obm-l] Fatorial de primos
A primeira é consequência do teorema de Bézout: Se 0xp, então (x,p)=1 e logo existem y, z tais que xy+pz=1, logo xy==1 (mod p), logo y mod p é inverso de x. Lucas Colucci 2012/2/20 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Olá Douglas, Na verdade essa prova eu consegui, mas note que isso só prova que não existe p composto tal que (p-1)! = -1 (mod. p), mas não prova que para os primos isso vale (só prova que para os não-primos não vale). Seguindo a idéia Tiago do fiz assim: Basta provar o seguinte 1) Sendo p primo, sendo 1 x p-1 e 1 y p-1, x != y, temos que escolhendo 1 x sempre vai existir um y inverso de x mod p, ou seja, y tal que x.y = 1 mod p 2) y é único A segunda é fácil provar: Se existisse um outro número (digamos z) y tal que x.z = 1 (mod p), sendo z = y+m, temos x(y+m) = 1 (mod p ) - xm = 0 (mod p) - m = pk, Logo m = 0 ou m=p, absurdo Logo não existe z A primeira ainda não consegui provar Alguém me dá uma ajuda? []'s João -- Date: Mon, 20 Feb 2012 09:09:31 -0200 From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Fatorial de primos Vamos tentar uma prova por absurdo, vamos supor (p-1)!=-1 (modp), mas que p não seja primo, então p deve ser igual a m.n , (p=m.n), com 1mp e 1np , como pI(p-1)!+1 , logo mI(p-1)!+1 pois mIp, e como mp, mI(p-1)!, conclui-se que m divide a diferença (p-1)!+1-(p-1)!=1, o que é absurdo, logo m deve ser primo!! On Sun, 19 Feb 2012 23:44:53 -0300, João Maldonado wrote: Prove que sendo p um primo, (p-1)! = -1 (mod. p) Como posso provar isso? []'s João
Re: [obm-l] Fatorial de primos
2012/2/20 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Olá Douglas, Na verdade essa prova eu consegui, mas note que isso só prova que não existe p composto tal que (p-1)! = -1 (mod. p), mas não prova que para os primos isso vale (só prova que para os não-primos não vale). Seguindo a idéia Tiago do fiz assim: Basta provar o seguinte 1) Sendo p primo, sendo 1 x p-1 e 1 y p-1, x != y, temos que escolhendo 1 x sempre vai existir um y inverso de x mod p, ou seja, y tal que x.y = 1 mod p Vamos ver. Queremos que para todo a (que não seja múltiplo de p) exista um X tal que p seja divisor de aX-1 Vamos usar PCP. Testamos todos os valores de X de 0 até p-1 (testar acima de p é supérfluo: X=p+Y, a*(p+Y)-1 = ap+(aY-1), e reduzimos o problema). Se tivermos sorte, algum zera! E se der o azar? Bem, podemos calcular o resto de aX-1 por p. Os valores possíveis, dado a ausência de um zero, vão de 1 até p-1. Temos um cara a mais - existem X1 e X2 tais que aX1-1 e aX2-1 deixam o mesmo resto. Logo, p é divisor de aX1-1-aX2+1 =a(X1-X2). Como a não é múltiplo, p é divisor de X1-X2. E agora? Não eram os Xzes diferentes? Pois, por esse absurdo, sabemos que não vai dar azar de não zerar. 2) y é único A segunda é fácil provar: Se existisse um outro número (digamos z) y tal que x.z = 1 (mod p), sendo z = y+m, temos x(y+m) = 1 (mod p ) - xm = 0 (mod p) - m = pk, Logo m = 0 ou m=p, absurdo Logo não existe z A primeira ainda não consegui provar Alguém me dá uma ajuda? []'s João Date: Mon, 20 Feb 2012 09:09:31 -0200 From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Fatorial de primos Vamos tentar uma prova por absurdo, vamos supor (p-1)!=-1 (modp), mas que p não seja primo, então p deve ser igual a m.n , (p=m.n), com 1mp e 1np , como pI(p-1)!+1 , logo mI(p-1)!+1 pois mIp, e como mp, mI(p-1)!, conclui-se que m divide a diferença (p-1)!+1-(p-1)!=1, o que é absurdo, logo m deve ser primo!! On Sun, 19 Feb 2012 23:44:53 -0300, João Maldonado wrote: Prove que sendo p um primo, (p-1)! = -1 (mod. p) Como posso provar isso? []'s João -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria
Ou, de outra forma, se existir máximo então O é ortocentro. Boa pergunta: existe máximo? Outra questão é: e se quisermos minimizar o perímetro? Em 20 de fevereiro de 2012 11:31, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Vou supor que o triangulo ABC de area maxima existe (o que eh bem razoavel, e eh verdade, mas nao eh obvio usando soh geometria). Entao seja ABC esse triangulo de area maxima. Fixe o lado BC e pense nas possiveis posicoes de A. Como o triangulo ABC tem area maxima, entao A eh o ponto da circunferencia C1 mais longe de BC que voce puder arrumar. Em outras palavras, a tangente a C1 por A eh paralela a BC. Ou seja, a reta OA (que eh perpendicular aaquela tangente) eh perpendicular a BC. Em suma, AO eh (um pedaco da) altura do triangulo ABC. Analogamente, BO e CO sao perpendiculares aos lados AC e AB. Entao O eh o ortocentro de ABC. (O que a gente provou eh que O ser ortocentro eh condicao NECESSARIA para este triangulo ABC de area maxima, que me parece ser o que a questao queria.) Abraco, Ralph 2012/2/20 Bob Roy bob...@globo.com Olá , Poderiam me ajudar nesta questão ? Considere C1 ,C2 e C3 três circunferências concêntricas de centro O e de raios respectivamentes iguais a :1 , 2 e 3 . Sejam A , B e C pontos sobre C1 , C2 e C3 , respectivamente . Como deve estar o centro O para que a área do triângulo ABC seja máxima ? Agradeço qualquer resposta Bob -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria
Olá Ralph , Obrigado pela atenção , mas tenho uma dúvida : No momento em que foi fixado o lado BC ( por exemplo) e foi feita a análise de que AO tem como reta suporte a altura relativa a BC , para que tenhamos a área máxima ; como posso garantir que BO e CO ( perpendiculares aos lados AC e BC) farão partes do mesmo triângulo ? É possível existir um triângulo de área máxima com apenas AO um pedaço da altura ? ou seja , sem o ponto O como ortocentro ? Foi isto que vc quis observar com NECESSÁRIA ? Abraços Bob Em 20 de fevereiro de 2012 10:31, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu: Vou supor que o triangulo ABC de area maxima existe (o que eh bem razoavel, e eh verdade, mas nao eh obvio usando soh geometria). Entao seja ABC esse triangulo de area maxima. Fixe o lado BC e pense nas possiveis posicoes de A. Como o triangulo ABC tem area maxima, entao A eh o ponto da circunferencia C1 mais longe de BC que voce puder arrumar. Em outras palavras, a tangente a C1 por A eh paralela a BC. Ou seja, a reta OA (que eh perpendicular aaquela tangente) eh perpendicular a BC. Em suma, AO eh (um pedaco da) altura do triangulo ABC. Analogamente, BO e CO sao perpendiculares aos lados AC e AB. Entao O eh o ortocentro de ABC. (O que a gente provou eh que O ser ortocentro eh condicao NECESSARIA para este triangulo ABC de area maxima, que me parece ser o que a questao queria.) Abraco, Ralph 2012/2/20 Bob Roy bob...@globo.com Olá , Poderiam me ajudar nesta questão ? Considere C1 ,C2 e C3 três circunferências concêntricas de centro O e de raios respectivamentes iguais a :1 , 2 e 3 . Sejam A , B e C pontos sobre C1 , C2 e C3 , respectivamente . Como deve estar o centro O para que a área do triângulo ABC seja máxima ? Agradeço qualquer resposta Bob
Re: [obm-l] Ajuda
Safado! Rancou a graça da minha resposta por Cálculo 1! Em 20 de fevereiro de 2012 08:00, Carlos Nehab carlos.ne...@gmail.comescreveu: Oi, Julio, Não resisti a dar uma dica, emborao utros colegas já tenham resolvido o problema... Este tipo de exercício, envolvendo circunferências e retas são muito comuns e as pessoas tentam soluções via Geometria Analítica, às vezes chatíssimas. Entretanto, Geometria Analítica também é *Geometria* e uma figurinha (mais um pitagágoras) geralmente resolvem o problema facilmente... Veja, na figura o triângulo retângulo tem lados óbvios (1, 4, 2 2raiz2) e então a tangente de alfa é imediata...Dai as inclinações das duas retas são imediatas... Abraços, Nehab Em 14/02/2012 16:33, Julio Teixeira escreveu: bom dia, estudando me deparei com este exercicio, onde encontrei certa dificuldade e nao consegui resolve-lo, assim peco ajuda em como prosseguir.. Determine a equação de todas as retas que são tangentes à circunferência x² + y² = 2y e passam pelo ponto (0,4). Agradecido desde ja, aguardando retorno.. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres djcfedej.png
Re: [obm-l] Geometria
Oi, Bob. Eu fiz uma hipotese pesada: de que o triangulo ABC de area maxima existe. Entao a primeira frase eh importante: eu supus que ABC JAH EH o triangulo pedido, o de area maxima apoiado nos 3 circulos (bom, para ser exato, UM DOS triangulos de area maxima, eu nunca supus que ele eh unico). Como ele tem area maxima, se voce fixar B e C, o ponto A JAH TEM DE ESTAR na posicao maximizante; analogamente, se voce fixar A e C, o ponto B jah tem que estar na posicao maximizante. Analogamente para C. Ou seja, para este triangulo ABC de area maxima, AO, BO e CO tem de ser alturas. Este foi o raciocinio que eu usei, que depende fundamentalmente do triangulo existir. Ou seja, o que provamos foi: SE ABC eh um triangulo de area maxima, ENTAO O eh o seu ortocentro. ou seja O ser ortocentro eh NECESSARIO para que ABC tenha area maxima. Agora, com meu raciocinio, nao sabemos a veracidade da reciproca, ou seja, nao sabemos a veracidade de: -- SE O eh ortocentro de ABC, ENTAO ABC tem area maxima (serah ???) ou equivalentemente -- O ser ortocentro de ABC eh SUFICIENTE para concluir que ABC tem area maxima (serah ???). Melhorou? Abraco, Ralph Lembrete: dizer que p == q (SE p ENTAO q), eh o mesmo que dizer: p eh SUFICIENTE para q (ou seja, se p acontece, eh garantido que q acontece tambem) que tambem eh o mesmo que dizer: q eh NECESSARIO para p (ou seja, se q nao acontece, nao ha maneira de p ocorrer) 2012/2/20 Bob Roy bob...@globo.com Olá Ralph , Obrigado pela atenção , mas tenho uma dúvida : No momento em que foi fixado o lado BC ( por exemplo) e foi feita a análise de que AO tem como reta suporte a altura relativa a BC , para que tenhamos a área máxima ; como posso garantir que BO e CO ( perpendiculares aos lados AC e BC) farão partes do mesmo triângulo ? É possível existir um triângulo de área máxima com apenas AO um pedaço da altura ? ou seja , sem o ponto O como ortocentro ? Foi isto que vc quis observar com NECESSÁRIA ? Abraços Bob Em 20 de fevereiro de 2012 10:31, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu: Vou supor que o triangulo ABC de area maxima existe (o que eh bem razoavel, e eh verdade, mas nao eh obvio usando soh geometria). Entao seja ABC esse triangulo de area maxima. Fixe o lado BC e pense nas possiveis posicoes de A. Como o triangulo ABC tem area maxima, entao A eh o ponto da circunferencia C1 mais longe de BC que voce puder arrumar. Em outras palavras, a tangente a C1 por A eh paralela a BC. Ou seja, a reta OA (que eh perpendicular aaquela tangente) eh perpendicular a BC. Em suma, AO eh (um pedaco da) altura do triangulo ABC. Analogamente, BO e CO sao perpendiculares aos lados AC e AB. Entao O eh o ortocentro de ABC. (O que a gente provou eh que O ser ortocentro eh condicao NECESSARIA para este triangulo ABC de area maxima, que me parece ser o que a questao queria.) Abraco, Ralph 2012/2/20 Bob Roy bob...@globo.com Olá , Poderiam me ajudar nesta questão ? Considere C1 ,C2 e C3 três circunferências concêntricas de centro O e de raios respectivamentes iguais a :1 , 2 e 3 . Sejam A , B e C pontos sobre C1 , C2 e C3 , respectivamente . Como deve estar o centro O para que a área do triângulo ABC seja máxima ? Agradeço qualquer resposta Bob
Re: [obm-l] Geometria
Tem um argumento rapido para mostrar que o maximo existe, mas usa Analise: as circunferencias C1, C2 e C3 sao conjuntos compactos; a funcao Area: C1xC2xC3-R (que leva os pontos A, B e C na area do triangulo ABC, incluindo area 0 para triangulos degenerados) eh continua. Toda funcao continua definida num compacto tem de assumir maximo e minimo neste conjunto. Acabou... :) ...mas eu concordo que este raciocinio nao deve ser muito satisfatorio para quem estah no ensino medio... :( :( :( Abraco, Ralph 2012/2/20 terence thirteen peterdirich...@gmail.com Ou, de outra forma, se existir máximo então O é ortocentro. Boa pergunta: existe máximo? Outra questão é: e se quisermos minimizar o perímetro? Em 20 de fevereiro de 2012 11:31, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Vou supor que o triangulo ABC de area maxima existe (o que eh bem razoavel, e eh verdade, mas nao eh obvio usando soh geometria). Entao seja ABC esse triangulo de area maxima. Fixe o lado BC e pense nas possiveis posicoes de A. Como o triangulo ABC tem area maxima, entao A eh o ponto da circunferencia C1 mais longe de BC que voce puder arrumar. Em outras palavras, a tangente a C1 por A eh paralela a BC. Ou seja, a reta OA (que eh perpendicular aaquela tangente) eh perpendicular a BC. Em suma, AO eh (um pedaco da) altura do triangulo ABC. Analogamente, BO e CO sao perpendiculares aos lados AC e AB. Entao O eh o ortocentro de ABC. (O que a gente provou eh que O ser ortocentro eh condicao NECESSARIA para este triangulo ABC de area maxima, que me parece ser o que a questao queria.) Abraco, Ralph 2012/2/20 Bob Roy bob...@globo.com Olá , Poderiam me ajudar nesta questão ? Considere C1 ,C2 e C3 três circunferências concêntricas de centro O e de raios respectivamentes iguais a :1 , 2 e 3 . Sejam A , B e C pontos sobre C1 , C2 e C3 , respectivamente . Como deve estar o centro O para que a área do triângulo ABC seja máxima ? Agradeço qualquer resposta Bob -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Soma de frações
Seja y = 1/(sqrt(x+1) + sqrt(x+3)) + 1/(sqrt(x+3) + sqrt(x+5)) + ...+ 1/(sqrt(x+2003) + sqrt(x+2005)) A soma dos algarismos da solução (em x) da equação y = 1 é a) 41 b) 42c) 43 d) 44 e)45
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de frações
Multiplique o numerador e o denominador de cada termo da soma, que são do tipo 1/(sqrt(x+k)+sqrt(x+k+2)) com k ímpar, por (sqrt(x+k)-sqrt(x+k+2)). Assim você racionaliza os termos, deixando eles nesta forma: (sqrt(x+k) - sqrt(x+k+2))/(-2). Então: y = [sqrt(x+1) - sqrt(x+3) + sqrt(x+3) - sqrt(x+5) + ...+ sqrt(x+2003) - sqrt(x+2005)]/(-2) Cancelando os termos iguais no numerador da soma, temos: y = (sqrt(x+2005) - sqrt(x+1))/2 E resolvendo y=1, obtemos x=24. Em 20 de fevereiro de 2012 20:19, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Seja y = 1/(sqrt(x+1) + sqrt(x+3)) + 1/(sqrt(x+3) + sqrt(x+5)) + ...+ 1/(sqrt(x+2003) + sqrt(x+2005)) A soma dos algarismos da solução (em x) da equação y = 1 é a) 41 b) 42 c) 43 d) 44 e)45
[obm-l] Valor máximo e mínimo
Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10)c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14)
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10) c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) Mais um problema de retas tangentes! Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do segundo grau (tem k^2 tanto no A quanto no B) e a soma das raízes você nem precisa resolver a equação! P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: quando você substitui, dá 40, que é 0, logo está do lado de fora. Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é importante é que o sinal na frente do coeficiente de segundo grau (homogêneo) seja positivo (como no caso do círculo) para você poder usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 0, nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - 4*3*40 = 4*(100 - 120) 0. Assim, a elipse está contida em um único quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
