Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
> >Devemos encontrar "a" e "b" inteiros nao-negativos. > Como > >(10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 > >posso FATORAR o segundo membro assim : > >a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) > >colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica > : > >(10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) > >como a + b > 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois > digitos ) posso dividir > >tudo por a+b. Vai ficar : > > > >10a + b = a^2 - ab + b^2 > > > >reduzindo os termos semelhantes > > > >a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0 > > > >E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em "a". O > Discriminante e : > > > >(10 - b)^2 - 4*(b^2 - b) > > > >Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0 > > > >Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos > em que o discriminante e > >um quadrado perfeito e que implicam num "a" > inteiro positivo. Isso vai me > >fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o > problema. Oi Pessoal! Na curiosidade, vou achar os tais números e percebi que tinha um pequeno equívoco na resolução, só um sinalzinho de mais trocado por um de menos. Segue a correção e já aproveito para mandar as respostas: 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? Devemos encontrar "a" e "b" inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b > 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a² - ab + b² reduzindo os termos semelhantes a² - (10 + b).a + b² - b = 0 **(o sinal foi trocado aqui acima, no 10 + b)** E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em "a". O Discriminante e : (10 + b)² - 4*(b² - b) Simplificando fica : -3b² + 24b + 100 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num "a" inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. b = 1, 7, 8 b = 1 = -3b² + 24b + 100 = -3 + 24 + 100 = 121 a² - (10 + b).a + b² - b = 0 a² - (10 + 1).a + 1 - 1 = 0 a² - 11a = 0 a = 0, 11 b = 7 = -3b² + 24b + 100 = -3.7² + 24.7 + 100 = 121 a² - (10 + b).a + b² - b = 0 a² - (10 + 7).a + 7² - 7 = 0 a² - 17a + 42 = 0 a = 3, 14 b = 8 = -3b² + 24b + 100 = -3.8² + 24.8 + 100 = 100 a² - (10 + b).a + b² - b = 0 a² - (10 + 8).a + 8² - 8 = 0 a² - 18a + 56 = 0 a = 4, 14 Resposta: 37, 48 Um abraço, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience http://launch.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re:
As distancias vao ser iguais. Prova-se isso atraves da equacao: C=2*PI*R - Original Message - From: "Adherbal Rocha Filho" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, May 19, 2002 8:51 AM > > mais um probleminha: > suponha q a Terra eh uma esfera e que uma corda está amarrada ao redor da > linha do equador.Agora suponha que esta corda eh aumentada em um metro > ,formando uma circunferencia maior,qual será a distancia entre a superficie > da Terra e a corda? E se eu fizesse o mesmo pra uma bola de futebol,qual > seria a distancia? > > valeu! > []´s > Adherbal > > > _ > Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: > http://mobile.msn.com > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: Sob que condiçoes uma deformacao preserva medidas
: Caros Nicolau e demais membros,: : : : Faz um certo tempo o Nicolau mandou um e-mail que tinha o paragrafo: abaixo. Ocorre que eu li isso em uma superinteressante quando estava na: escola e ate hoje tenho isso na cabeca, nao sabia se tinha sonhado, ou se: era besteira, etc. Se alguem souber qual e a refererencia onde isso foi: provado, ou pelo menos quem provou, ia me ajudar muito. Pelo que eu me: lembro, na revista falava-se algo em torno de 2^50 pedacos...: : : Abraco a todos,: : : Salvador: : On Sun, 4 Feb 2001, Nicolau C. Saldanha wrote:: : : > Aliás um grande problema da matemática do século XX foi o da quadratura : > do círculo: não aquele proposto pelos gregos e cuja demostração foi: > concluída com a prova da transcendência de pi. O problema século XX: > da quadratura do círculo é: será possível decompor um círculo de área 1: > em um número finito de peças e rearrumá-las para formar um quadrado: > de área 1? A resposta é que sim, é possível.: > : > []s, N.: > : > : Isto foi provado por Miklos Laczkovich: M. Laczkovich, Equidecomposability and discrepancy; a solution of Tarski's circle-squaring problem, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 403 (1990) 77-117 Veja também, R. J. Gardner and S. Wagon, At long last, the circle has been squared, Notices of the American Mathematical Society, 36 (1989) - 1338-1343 ---esta mensagem não contém vírus!Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.351 / Virus Database: 197 - Release Date: 20/04/2002
[obm-l] esclarecimento
O que são as tritangentes?
[obm-l] "german" triangle construction
Sauda,c~oes, Alguns membros da lista sabem que escrevi (e inclusive têm um exemplar) um livro em francês sobre construção de triângulos. Desde então fiz muitas descobertas que espero colocar numa possível edição em português. No momento, gostaria de mostrar a solução abaixo, que não aparece no livro. Infelizmente o arquivo .jpg que poderia acompanhá-la é muito grande. Posso enviá-lo para o email pessoal dos interessados O ponto importante da construção é o lugar geom (lg). dado pela parábola. Apreciaria se alguém pudesse dar uma outra prova para o lg ( seria possível uma prova sintética?) e também uma análise do lg e a figura feita (parábola) por um programa de geometria. Em palavras, o problema é: Qual o lg de O quando B se move na reta r, tal que BM_b = m_b, m_b (mediana) fixo? A ---||--- r BH_a Obrigado. []'s Luis -Mensagem Original- De: Barukh Ziv <[EMAIL PROTECTED]> Para: Luis Lopes <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: sexta-feira, 17 de maio de 2002 15:23 Assunto: Re: En: [EMHL] "german" triangle construction > Dear Luis, > > Thank you very much for your last messages, the > solution > in German book and Sketchpad figure reprodicing > Gilles's > construction. Your notion about the Portugese book > with > construction of conics is very intriguing; may I ask > you > to scan a page or two for me (if time permits)? > > The solution in German book is along the same lines as > two other solutions we discussed (a, m_a, s_a and m_a, > s_a, R). In what follows I present my solution of the > problem h_a, s_a, m_b. Please see the attached file, > that contains four figures: two upper are the > construction > steps; two lower are for the justification. My aim is > to > explain it as thoroughly as my skills permit. Please > remember that in my figures I use 'ta' for what you > use s_a. > > The basic idea is to construct the circumcemter O of > the sought triangle ABC. I use the method of intersection > of loci. So, this approach is essentially the same as > Gilles's, but the element constructed is different. > > The analysis goes as follows: > > 1. First, we know that O lies on a line which is > reflection of AHa in ATa (since angles HaATa and TaAO are > equal). > > 2. Second, assume the segment AHa is fixed; then the > vertex B may move (on a line BC, obviously), so that the > length of the median BMb is constant and equal m_b; what > is the locus of circumcenters O of triangles ABC (one of > such triangles is shown at the left lower figure > attached)? >It turns out that the locus is a parabola with the >following parameters: > >2a. Its axis is parallel to AHa. >2b. Its directrix d (perpendicular to AHa, > according to 2a), is m_b^2/(4*h_a) away from Ha. >2c. Its focus F is 9/8*h_a away from d, and m/4 > away from AHa, where m is defined as follows: in > a right triangle with hypotenuse m_b and > one side h_a/2, the other side is m (see the upper > left figure, triangle P1HaM). > > The proof of this assertion is given below, at the > end of explanation. > > The important outcomes of this analysis are: > > (*) The triangle ABC is constructible with ruler and > compass, as its circumcenter is an intersection of a > straight line and a parabola (cf. discussion of this in J. > Petersen's book on page 98, theorem 1). > > (**) the essential elements of the parabola - its > directix and focus - may be easily constructed from given > data. > > Actually, the upper left figure depicts the > construction of F and d. After the above explanations, > I hope the steps are clear. > > The second step - after F, d and also the line AE (the > reflection > of AHa in ATa) are constructed - is to find the > intersection of > the line with the parabola. Fortunately, this has a > very elegant > solution given in an excellent book "Ruler and > Compass" by H. P. > Hudson (page 85-86). It provides a construction for > ANY conic, but the case of parabola is particularly > simple. Let me guide you through the > construction (upper right figure): > >C.1. Construct AE, the reflection of AHa in ATa. >C.2. Draw line FE. >C.3. Take any point on a line AE, eg. D. >C.4. Draw a circle centered at D and tangent to > directrix d. >C.5. Let G, G' be points of intersect of FE and the > circle. >C.6. Draw FO||DG, FO'||DG' (only the first is > shown). O, O' > are the circumcenters of the 2 solutions. > > To prove the construction, notice that (see lower > right figure) > triangles OFE and DGE, ORE and DQE are similar, > therefore: > >OE OF OR OF DG > = = , or - = = 1, >DE DG DQ OR DQ > > or OF = OR. Thus, O is equidistant from the focus F > and the directrix of the parabola, that is, lies on it > (see T4 below)! > Beautiful, isn't it?! > > Once we construct O, two vertices B and C are e
[obm-l] (nenhum assunto)
(IMO-1963) PROVE QUE COS(PI/7)-COS(2PI/7)+COS(3PI/7)=1/2.COMECEI A FAZER E FOI FICANDO GRANDE...CADA VEZ MAIOR...RISOS...ALGUEM CONSEGUE ACHAR UM TRUQUIINHO AI?? VALEU! CROM
[obm-l] valor mínimo
Olá, É possível determinar para que valor de a,tem-se y= sqrt( 1+ (1-a)²) + sqrt(1+ a²) mínimo?
[obm-l] Re: Sob que condiçoes uma deformacao preserva medidas
Caros Nicolau e demais membros, Faz um certo tempo o Nicolau mandou um e-mail que tinha o paragrafo abaixo. Ocorre que eu li isso em uma superinteressante quando estava na escola e ate hoje tenho isso na cabeca, nao sabia se tinha sonhado, ou se era besteira, etc. Se alguem souber qual e a refererencia onde isso foi provado, ou pelo menos quem provou, ia me ajudar muito. Pelo que eu me lembro, na revista falava-se algo em torno de 2^50 pedacos... Abraco a todos, Salvador On Sun, 4 Feb 2001, Nicolau C. Saldanha wrote: > Aliás um grande problema da matemática do século XX foi o da quadratura > do círculo: não aquele proposto pelos gregos e cuja demostração foi > concluída com a prova da transcendência de pi. O problema século XX > da quadratura do círculo é: será possível decompor um círculo de área 1 > em um número finito de peças e rearrumá-las para formar um quadrado > de área 1? A resposta é que sim, é possível. > > []s, N. > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] permutações circulares com repetição
Estou com problemas para resolver esse exercício: "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16 bolas verdes e 24 bolas amarelas?" O círculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para serem rotacionadas como em uma catraca de bicicleta. Pra mim, entendi como sendo uma permutação circular com repetição. Nunca estudei isso e o que pensei que seria mais lógico não deu muito certo. Pensei que faríamos as permutações com repetições e dividiríamos pelo total de bolas por causa de ser circular. Em alguns casos até que conferiu com a resposta, mas aí coloquei um teste com apenas 4 bolas, duas brancas e duas azuis. Se eu fosse fazer como pensei, seria: PC4(2,2) = 4!/4.2!.2! = 3/2 Nem inteiro dá!!! Ao fazer escrevendo mesmo, vejo que só temos 6 permutações: 1 - AABB 2 - ABAB 3 - ABBA 4 - BAAB 5 - BABA 6 - BBAA E destas, se considerarmos como circulares, vemos que 1 = 3 = 4 = 6 e 2 = 5. O que nos dá apenas 2 permutações. Alguém sabe como resolvo esse tipo de problema? O único livro que tenho aqui sobre análise combinatória (Introdução à Análise Combinatória; Santos, J. P. O.; Mello, M. P.; Murari, I. T. C.; 2ª edição; Campinas, SP; Ed. da Unicamp, 1988) que aliás é muito bom, não fala sobre permutações circulares com combinação. Agradeço qualquer dica. Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience http://launch.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[no subject]
mais um probleminha: suponha q a Terra eh uma esfera e que uma corda está amarrada ao redor da linha do equador.Agora suponha que esta corda eh aumentada em um metro ,formando uma circunferencia maior,qual será a distancia entre a superficie da Terra e a corda? E se eu fizesse o mesmo pra uma bola de futebol,qual seria a distancia? valeu! []´s Adherbal _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] inversão/desigualdades/cone sul
Oi pessoal, alguém poderia me ajudar nessas 2 questões? Bem,aé vão: 1.Sejam a,c,d e d os lados consecutivos de um quadrilátero ABCD e x e y as suas diagonais.Suponha que os círculos circunscritos aos triangulos ABC e ACD são ortogonais.Mostre que (x^2)(y^2)=(a^2)(c^2) + (b^2)(d^2) 2.Seja P um ponto no interior de um triangulo e sejam ha,hb e hc as distancias de P aos lados a,b e c,respectivamente.Mostre q o valor mínimo de a/ha +b/hb +c/hc ocorre quando P é o incentro de ABC. 3.Seja p um real positivo dado.Achar o mínimo valor de x^3 +y^3 sabendo que x e y são reais positivos tais que xy(x+y)=p Obrigada! []´s Fê _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] triângulos
Pessoal, ontem mandei uma dúvida sobre contar o total de triângulos de todos os tamanhos de uma figura como a que enviei abaixo novamente. Pensei muito sobre esse problema e cheguei a uma fórmula não muito amigável, mas até que não é ruim. Já dá até pra escrever um algoritmo pra rodar no computador se quiser. Primeiro, eu chamei de x o número de lados de triângulos que temos na base. Por exemplo, se tivermos um triângulo só x = 1. /_\ Se tivermos uma figura com quatro triângulos de menor tamanho, temos: /_\ /_\ /_\ x = 2 Na figura que mandei, temos x = 4. Com isso, já que você tem triângulos de diferentes tamanhos, você deve contar separadamente os triângulos que têm como lado 1 traço, 2 traços, 3 traços...E depois tem que contar os triângulos que estão de cabeça pra baixo com esses mesmos tamanhos. Se você fizer isso em função dos traços da base não fica muito ruim. Todas as linhas vou escrever a soma de várias parcelas de x menos alguma coisa. Quando você for calcular para algum x, você vai fazer as subtrações até encontrar o valor zero, aí você para. Por exemplo, na primeira linha temos: x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... Se você tiver x = 2, você irá somar até x + (x - 1), porque o próximo dará zero e aí você deve parar. Bom, no final você encontra isso: triângulos de lado 1: cabeça pra cima = x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... cabeça pra baixo = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... total = x + 2.[(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...] É como se o triângulo maior de todos fosse dividido em várias linhas, aí você vai contando de cada linha. triângulos de lado 2: cabeça pra cima = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + ... cabeça pra baixo = (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) + ... total = (x - 1) + (x - 2) + 2.[(x - 3) + (x - 4) + ...] Por que aqui começamos a ter de cabeça pra baixo só com (x - 3)? Porque para termos um triângulo de cabeça pra baixo, o triângulo maior tem que ter o dobro de traços na base do que o tamanho do triângulo. Como esse tem lado 2, precisamos ter x = 4, que se fizermos (x - 3) dará 1. Enquanto x for menor que 4 esse número será negativo ou zero e aí não vamos contar. triângulos de lado 3: cabeça pra cima = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) + ... cabeça pra baixo = (x - 5) + (x - 6) + (x - 7) + ... total = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + 2.[(x - 5) + ...] E assim teremos sempre esse padrão. Os triângulos de cabeça pra cima começam sempre com (x - a), onde "a" é o número anterior ao tamanho do triângulo. E os triângulos de cabeça pra baixo começam sempre com x - (2a - 1). Depois os outros termos você vai tirando sempre 1. No final das contas você pode somar tudo isso. Soma os triângulo de cabeça pra cima com os de cabeça pra baixo de todos os tamanhos. O problema é que não pode desenvolver muita coisa, porque não pode misturar x - 3 com x - 4, porque se você tiver x = 4, você não terá o termo x - 4. Mas somando apenas x - 1 com x - 1 e x - 2 com x -2, você terá: total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3) + 7.(x - 4) + 9.(x - 5) + 10.(x - 6) + 12.(x - 7) + 13.(x - 8) + ... No final você tem então todos os fatores x, x - 1, x - 2, x - 3, ... e os coeficientes de cada um têm uma ordem até boazinha: 1, (pula o 2), 3, 4, (pula o 5), 6, 7, (pula o 8), 9, 10, (pula o 11), 12, 13, (pula o 14), ... E você vai usar a fórmula até o termo em que quando fizer a diferença de x com alguma coisa dê zero. Ou você pode até fazer a seguinte regra: considere que desse valor total você vai pegar apenas os x primeiros termos. Por exemplo, vamos pegar o triângulo da figura que tem 4 traços na base, ou seja x = 4. Então vamos pegar até o quarto termo dessa fórmula e fazer x = 4: total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3) total = 4 + 3.(4 - 1) + 4.(4 - 2) + 6.(4 - 3) total = 4 + 3.3 + 4.2 + 6.1 total = 4 + 9 + 8 + 6 total = 27 E aí você pode fazer pra qualquer x. Aquele menor que tinha x = 2, só pegamos os 2 primeiros termos: total = x + 3.(x - 1) total = 2 + 3.(2 - 1) total = 2 + 3.1 total = 2 + 3 total = 5 De qualquer jeito você não precisa ficar contando um por um e correr o risco de se perder mais facilmente. Mas o meu problema agora é o seguinte. Suspeito que ainda dê para simplificar a fórmula, considerando duas fórmulas, uma para quando x é par e outra para quando x é ímpar. Talvez simplifique, mas aí você tem duas fórmulas, não sei. Ainda não consegui. Será que alguém consegue melhorar daqui pra frente. O pior acho que já passou. Um abraço, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience http://launch.yahoo.com
Re: [obm-l] Re: [obm-l] a. basica
Oi,
Ae,ainda não consegui terminar naum...cheguei a uma soma de quadrados q naum
ajudou muito...
>
>ANSWER:Eu tenho o livrito da Iberoamericana.A dica e tentar completar o
>quadrado.Ai se resolvem os dois trechos.Se nao entender me avise!
>Um abraço.Peterdirichlet
>
>-- Mensagem original --
>
> >
> >Ae, olha este problema:
> >Seja P(x,y)=5x^2 -6xy +2y^2.
> >a)determine qnts elementos de {1,2...,100} são valores de P.
> >b)Prove q o produto de valores de P é um valor de P.
> >Será que alguém pode me dar uma ajuda?
> >Valeu!
> > []´s
> > Adherbal
> >
> >
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>TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
>CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
>Medalha Fields(John Charles Fields)
>
>
>--
>Use o melhor sistema de busca da Internet
>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] dificuldades
- Original Message - From: "Adherbal Rocha Filho" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, May 15, 2002 1:08 AM Subject: [obm-l] dificuldades > 2.Em uma ilha plana existem 11 cidades numeradas de 1 a 11.Estradas retas > ligam 1 a 2,2 a 3,3 a 4,...,10 a 11 e 11 a 1.É possível que uma reta corte > todas as estradas? Se a reta corta a estrada 1-2, então um está de um lado (digamos, A) da reta, e 2 está do lado B. Se 2 está do lado B, 3 está em A. Se 3 está em A, 4 está em B. ... Se 10 está em B, 11 está em A. Como a reta corta 11-1, e 11 está em A, 1 está em B, *absurdo*. []s, Fábio Dias = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: RES: [obm-l] ..........
>Que tal essa estratégia ? Será que compliquei muito ? > A equação é x=sqrt(5-sqrt(5-x)) ; se x vale sqrt (5-sqrt(5-x)), podemos > substituir tendo x = sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5- x. Se fizermos isso > infinitas vezes, teremos um problema clássico que resumimos para x = > sqrt(5-x), isto é, x^2 = 5 - x. Sendo a resposta a raiz positiva : > (sqrt(21)-1)/2. > Valeu Raul, caiu na OBM 2001 um questão desse tipo...vejo que é decisivo fazer as questões das olimpiadas pra treinar pro IME.. > __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
