[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Grande Duda ! E ai maluco, tudo blz ? Realmente, eu nao recebi a mensagem do Fabio a que voce se refere. Aqui onde estou ha uma preocupacao muito grande com seguranca, mas o sub-sistema que cuida disso ta meio doido e as vezes passa sistematicamente a bloquear certas mensagens, que ele identifica por letras contidas no nome da pessoa que envia. Ele vai ser trocado, mas, ate la, sou obrigado a conviver com isso. O problema surgiu com o nosso colega Dirichlet, que perguntou : E POSSIVEL QUE AS RAIZES CUBICAS DE TRES NUMEROS PRIMOS, DOIS A DOIS DISTINTOS, SEJAM TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA ? Eu conjecturei algo mais amplo, a saber : SE A, B e C SAO NATURAIS, DOIS A DOIS DISTINTOS, NENHUM DELES POTENCIA N-ESIMA DE OUTRO NATURAL, ENTAO ELES NAO PODEM SER TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA. Claramente que a prova do fato acima responde a pergunta do Dirichlet. PRIMEIRO PASSO DA IDEIA Sem perda de generalidade podemos supor A B C. Evidentemente : RAIZ_N(A) RAIZ_N(B) RAIZ_N(C). Dizer que essas raizes sao termos de uma mesma PA significa dizer que existem naturais R, S e T tais que : X + YR = RAIZ_N(A) X + YS = RAIZ_N(B) X + YT = RAIZ_N(C) Para algum par (X,Y) de numeros reais ( que serao, respectivamente : X=primeiro termo da PA, Y=razao da PA ) Veja que eu nao estou impondo que R, S e T estejam em PA. Nao estou impondo tambem uma ordem qualquer sobre eles, isto e, nao estou impondo que, por exemplo, R S T. O certo e que haverao os ponto (R,RAIZ_N(A)) e (T,RAIZ_N(C)). Como a funcao X + Y*N - X e Y reais fixos e N percorrendo os naturais - e linear, se Y o ela sera crescente e, obrigatoriamente, R S T. Se Y 0 ela sera decrescente e R S T. Nos dois casos, a RAIZ_N(B) sera a ordenada de um ponto interior ao intervalo de extremos R e T. Vamos supor doravante, sem perda de generalidade, que R T. Queremos, pois, saber se pode existir um natural Z do conjunto R+1, R+2, ..., T-2,T-1 tal que X + YZ = RAIZ_N(B). SEGUNDO PASSO DA IDEIA. Imagine que voce esta no ponto (R,RAIZ_N(A)). Qual sera a ordenada do ponto que esta sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)) e que tem abscissa R+1 ? sera : RAIZ_N(A) + (RAIZ_N(C)-RAIZ_N(A))/(T-R) = [RAIZ_N(A)*(T-R-1) + RAIZ_N(C)]/(T-R) Se fosse no ponto de abscissa R+2, seria : [RAIZ_N(A)*(T-R-2) + 2RAIZ_N(C)]/(T-R) Os pesos sao sempre da forma : T-R-i e i, isto e, nos estamos diante de uma media ponderada da forma : (p*RAIZ_N(A)+ q*RAIZ_N(C))/(p+q) com p e q naturais e p+q=T-R. Essa e a forma das ordenadas dos pontos sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)). Ja vimos que a RAIZ_N(B) tem que estar entre estes dois pontos. Logo, devem existir p e q atendendo as condicoes que especificamos acima e tais que : RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q) Caro amigo Paulo, usando a sua notação. Suponhamos que existe três pontos a b c naturais (não potências n-ésimas) de forma que R_n(a), R_n(b) e R_n(c) pertencem a uma progressão aritmética. Essa progressão possui primeiro termo X e razão Y. E existem dois inteiros R e T tais que: X + Y*R = R_n(a) X + Y*T = R_n(c) Você mostrou que caso seja verdade que R_n(b) pertenca a essa mesma progressão aritmética então vai existir um natural S tal que: X + Y*S = R_n(b) E mais o S divide o segmento [R, T] na mesma proporção que o R_n(b) divide o segmento [R_n(a), R_n(c)]. Em outras palavras o ponto (S, R_n(b)) pertence à reta que liga os dois pontos (R, R_n(a)) e (T, R_n(c)). Mas repare que nenhum desses tres pontos pertence ao gráfico da função contínua f(x) = R_n(x). Os pontos que pertencem ao gráfico são os seguintes: (a, R_n(a)), (b, R_n(b)) e (c, R_n(c)) Ou ainda (a, X + Y*R), (b, X + Y*S) e (c, X + Y*T) E esses três pontos não precisam estar sobre uma reta. Por que os a, b e c não pertencem a uma mesma progressão aritmética, pelo menos isso você não demonstrou. E desse modo a convexidade da função f não contradisse a existência dos R_n(a), R_n(b) e R_n(c) dentro de uma progressão aritmética. Outro detalhe: onde na sua prova, você usa o fato de que R_n(a), R_n(b) e R_n(c) não são inteiros? Um abração! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. TERCEIRO PASSO DA IDEIA : A funcao Y=RAIZ_N(X) e CONTINUA, CRESCENTE e CONVEXA. Isto e, para quaisquer naturais A e C vale : RAIZ_N((A+C)/2) (RAIZ_N(A) + RAIZ_N(C))/2 O que me pareceu e que a contradicao vai surgir aqui, pois a expressao de convexidade acima pode ser trabalhada para incluir uma media ponderada tal como a que vimos no segundo passo. Mas, em verdade, EU NAO FIZ UMA DEMONSTRACAO, vale dizer, NAO PROVEI NADA, apenas dei uma sugestao de um caminho que me pareceu viavel. ALERTEI QUE AS RAIZES N-ESIMAS DE PONTENCIAS N-ESIMAS E UMA PA, EVIDENTEMENTE ! Um abraco Paulo Santa Rita 4,1247,220502 = Instruções para entrar
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
Grande Duda, Parece que agora, realmente, estamos fazendo jus ao titulo da lista : lista de DISCUSSAO de problemas de Matematica. Varias inteligencias pensando produzem muito mais que uma. A linguagem e um problema e fica dificil voce exprimir com precisao as coisas. Voce pensa que passou bem uma ideia e ai alguem, com toda justica, entende outra. O ideal seria que as pessoas se comunicassem pelo pensamento. Bom, vamos la. O que voce diz ai embaixo e precisamente o que eu falei ... Quando eu coloquei : RAIZ_N[ (A+B)/2 ] (RAIZ_N(A)+RAIZ_N(B))/2 DISSE ( ou penso que disse ! ) que o lado direito da desigualdade pode ser trabalhado para aparecer a media ponderada que eu havia falado no passo anterior e que dai e que vai surgir a contradicao, pois o fato das tres raizes estarem em PA implica que a raiz do meio deve, obrigatoriamente, ser uma media ponderada das raizes dos extremos. Sejam A e B dois numeros naturais com B A+1. tomando um natural qualquer C tal que A C B e sempre possivel exprimir C como uma media poderada entre A e B. Seja C=A+i [A*(B-A-i)+ B*i]/(B-A)=[(A+i)(B-A)]/(B-A)=A+i=C A primeira razao e uma media ponderada entre A e B. POR ESSA RAZAO EU DISSE QUE ERA POSSIVEL TRABALHAR A DEFINICAO HABITUAL DE CONVEXIDADE DE FORMA A APARECER A MEDIA PONDERADA, ou seja, EU FALEI EXATAMENTE O QUE VOCE OBSERVOU. A ideia imediata de quem olha uma primeira vez e trabalhar com : Existe p e q tais que p+q=T-R e RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q) ? Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal) Date: Thu, 23 May 2002 07:51:21 -0300 Caro amigo Paulo, Mas repare que nenhum desses tres pontos pertence ao gráfico da função contínua f(x) = R_n(x). Os pontos que pertencem ao gráfico são os seguintes: (a, R_n(a)), (b, R_n(b)) e (c, R_n(c)) Ou ainda (a, X + Y*R), (b, X + Y*S) e (c, X + Y*T) E esses três pontos não precisam estar sobre uma reta. Por que os a, b e c não pertencem a uma mesma progressão aritmética, pelo menos isso você não demonstrou. _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 Caro amigo Paulo, eu nao acordo todas as manhãs, torcendo o meu bigode, e maquinando para tentar destruir as tuas demonstrações. Eu apenas tinha achado, precipitadamente, que voce tinha achado que ja tinha apresentado uma solução completa para a questão. Erro meu. Você estava apresentando uma idéia que poderia levar a uma solução. Mas sei que você deve entender perfeitamente o meu mal entendido. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. PS. eu não possuo bigode. PS2. acho que essa mensagem bate o recorde de Re's concecutivos da lista :) Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa matemática fantasma? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
Querido Duda ... Querido nao, que isso e coisa de boiola ! Caro Duda, Mas de forma alguma eu ficaria chateado com voce ou com qualquer outra pessoa que porventura mostrasse uma falha ou varias falhas em meus raciocinios, pois se ate os Grandes Prof's desta lista falham e comentem erros, quanto mais eu, um simples estudante ainda lutando para aprender alguma coisa... Em verdade, so nao cometem erros e nao tem duvidas DEUS E OS IMBECIS. Como nao sou uma coisa e nem outra, eu cometi, cometo e cometerei muitos erros : e gostam de mim aqueles que me alertam para que eu me corrija ! Francamente, nao sou castelinho de areia ou estrelinha de papel que a qualquer toque (critica) se desmancha e fica emburradinho no canto guardando rancor. Sem essas viadagens e frescuras vou procurando ser util ao ideal olimpico. Para que essa mensagem nao fique fora de escopo, apresento um problema bacaninho que vi em um cartaz : NUM TRIANGULO ABC, AB=5 e BC=6. QUAL A AREA DO TRIANGULO ABC SE O ANGULO C E MAXIMO ? OBS : O problema e de nivel medio. Portanto, nao vale usar derivadas ou qualquer outro teorema ou raciocinio do CALCULO. Um Grande abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 5,1425,230502 PS : Po, Duda. Essa de acordar de manha, caminhando pra la e pra ca retorcendo o bigode foi genial. To rindo ate agora ! From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal) Date: Thu, 23 May 2002 13:16:33 -0300 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 Caro amigo Paulo, eu nao acordo todas as manhãs, torcendo o meu bigode, e maquinando para tentar destruir as tuas demonstrações. Eu apenas tinha achado, precipitadamente, que voce tinha achado que ja tinha apresentado uma solução completa para a questão. Erro meu. Você estava apresentando uma idéia que poderia levar a uma solução. Mas sei que você deve entender perfeitamente o meu mal entendido. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. PS. eu não possuo bigode. PS2. acho que essa mensagem bate o recorde de Re's concecutivos da lista :) Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa matemática fantasma? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:[obm-l]Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
ANSWER:quem comecou essa discussao esta aqui agora.E dizer que tudo isso foi um simples esfrega no moral de certas pessoas que nao pensam no que escrevem...Enfim,este trocitchoz comecou numa aula do Etapa com os professores Shine e Tengan(GRNDES Shine e Tengan).Eu naquela duvida com isso de uma aula de Divisibilidade,resolvi me inscrever nessa lista.So que demporei que so vendo...E ja tentei enviar essa mensagem pelo hotmail mas so dava html!E resolvi usar o Zipmail.Dai tive sucesso na de Eisenstein,enviei essa.Mas ai o Paulo resolveu de um jeito estranhissimo.O furo dessa e que como os reais sao densos nao da pra definir a divisao com perfeiçao(restos e etc.) Outra hora vou empentelhar-lhes a paciencia AT MAAAISPloft!!!Peterdirichlet -- Mensagem original -- From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 Caro amigo Paulo, eu nao acordo todas as manhãs, torcendo o meu bigode, e maquinando para tentar destruir as tuas demonstrações. Eu apenas tinha achado, precipitadamente, que voce tinha achado que ja tinha apresentado uma solução completa para a questão. Erro meu. Você estava apresentando uma idéia que poderia levar a uma solução. Mas sei que você deve entender perfeitamente o meu mal entendido. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. PS. eu não possuo bigode. PS2. acho que essa mensagem bate o recorde de Re's concecutivos da lista :) Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa matemática fantasma? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Uma soluçao bonitinha da IMO da India
Esse problema foi considerado O Imortal(o menos respondido de toda a historia da IMO).apenas 2 romenos e 4 armenios resolveram-no.TODA A EQUIPE CHINESA ZEROU ESSE.IMO 1996 Problem 5 Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB is parallel to DE, BC is parallel to EF, and CD is parallel to FA. Let RA, RC, RE denote the circumradii of triangles FAB, BCD, DEF respectively, and let p denote the perimeter of the hexagon. Prove that: RA + RC + RE = p/2. Solution The starting point is the formula for the circumradius R of a triangle ABC: 2R = a/sin A = b/sin B = c/sin C. [Proof: the side a subtends an angle 2A at the center, so a = 2R sin A.] This gives that 2RA = BF/sin A, 2RC = BD/sin C, 2RE = FD/sin E. It is clearly not true in general that BF/sin A BA + AF, although it is true if angle FAB = 120, so we need some argument that involves the hexagon as a whole. Extend sides BC and FE and take lines perpendicular to them through A and D, thus forming a rectangle. Then BF is greater than or equal to the side through A and the side through D. We may find the length of the side through A by taking the projections of BA and AF giving AB sin B + AF sin F. Similarly the side through D is CD sin C + DE sin E. Hence: 2BF = AB sin B + AF sin F + CD sin C + DE sin E. Similarly: 2BD = BC sin B + CD sin D + AF sin A + EF sin E, and 2FD = AB sin A + BC sin C + DE sin D + EF sin F. Hence 2BF/sin A + 2BD/sin C + 2FD/sin E = AB(sin A/sin E + sin B/sin A) + BC(sin B/sin C + sin C/sin E) + CD(sin C/sin A + sin D/sin C) + DE(sin E/sin A + sin D/sin E) + EF(sin E/sin C + sin F/sin E) + AF(sin F/sin A + sin A/sin C). We now use the fact that opposite sides are parallel, which implies that opposite angles are equal: A = E, B = E, C = F. Each of the factors multiplying the sides in the last expression now has the form x + 1/x which has minimum value 2 when x = 1. Hence 2(BF/sin A + BD/sin C + FD/sin E) = 2p and the result is proved. Essa soluçao e a oficial.A mais bonita e a de Ciprian Manolescu,o unico Perfect Score da prova.Ele usou a famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Depois eu envio a resposta dele.ATE.Peterdirichlet TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] A Intuicao Matematica
Ola Duda e demais colegas desta lista, Eu nao sei responder a pergunta que voce fez abaixo, mas acredito que a intuicao matematica esta para a mente de um matematico assim como a intuicao sensivel esta para a mente humana ... Quando voce olha para um objeto voce IMEDIATAMENTE deduz varias propriedades SEM USAR NENHUM RACIOCINIO MEDIADOR. Por exemplo, voce tem uma IDEIA INSTANTANEA ( INTUICAO SENSIVEL ) do tamanho, da cor, da forma, da proximidade dele para com outros objetos, etc. Todos esses conhecimentos sao validos e foram obtidos por INTUICAO SENSIVEL 9PERCEPCAO INSTANTANEA ), isto e, sem que fosse necessario usar um RACIOCINIO LOGICO OU DISCURSSIVO para se chegar a eles. Me parece que a intuicao matematica se aproxima disso. Voce olha ( com o olhar da mente matematica ) os objetos do mundo matematico E SENTE que eles devem ter ou manter determinadas relacoes, sem que voce consiga, de imediato, forjar uma demonstracao para estas relacoes ou propriedades. Veja como Gauss fala em dois momentos : 1) Encontrei um maravilhoso teorema, mas, infelizmente, ainda nao consigo demonstrar Ele fala sobre a lei da reciprocidade quadratica. Veja bem. Ele estava convencido da correcao do teorema ANTES DE DEMONSTRA-LO. E comum voce aprender em algumas escolas o seguinte : Voce so pode ter certeza de um teorema depois de demonstra-lo ! 2) Durante este outono, preocupei-me largamente COM AS CONSIDERACOES GERAIS sobre as superficies curvas, o que conduz a um campo ilimitado ... Essas pesquisas se ligam fortemente com a metafisica da geometria e nao e sem ingentes esforcos que consigo me arracar das consequencias que dai advem. Qual seria o verdadeiro sentido da raiz quadrada de -1 ? Nestes momentos, sinto vibrar vivamente em mim o verdadeiro significado destas coisas mas creio que sera terrivelmente dificil exprimir este significado em palavras Ve-se aqui que Gauss PRIMEIRO, SENTE A REALIDADE DO MUNDO MATEMATICO. E SO DEPOIS ele vai exprimir o que sente atraves das teorias e formulas matematicas. Esses exemplos reforcam o que eu suspeito. A verdadeira inteligencia esta na SENSIBILIDADE ou CAPACIDADE DE VIVENCIAR INTERNAMENTE E EMOTIVAMENTE os objetos matematicos. Logica, demonstracao e teorias sao coisas que vem depois. Primeiro voce pensa, vale dizer, vivenciar internamente e emotivamente, atraves da imaginacao, os objetos e fatos matematicos, depois, quanto mais viva for essa vivencia, mais profundas serao suas conclusoes e mais facil ficara a posterior e necessaria demonstacao. Ainda a esse respeito e interessante destacar que, conforme relata Voltaire, uma vez perguntaram a Newton como ele havia descoberto a lei de gravitacao. Newton respondeu : pensando continuamente sobre ela ! Quer dizer, imaginando e vivenciando os objetos voce desvela os misterios que os encombrem ... Os exemplos acima mostram que e fundamental que o lado emocional esteja presente : se o cara nao conseguir apreciar a beleza destas coisas, nao tiver, por alguma razao, entusiasmo por elas, dificilmente ele vai trocar os prazeres imediatos e efemeros da vida por elas ... Como ultimo exemplo para reforcar minha tese, cito um exemplo contemporaneo. Ha poucos meses atras eu assisti uma exposicao de um Matematico da area de equacoes diferenciais. Em verdade, de um Grande Matematico, com varios premios internacionais e conhecido no mundo inteiro. Ele explicava a ideia de DECOMPOSICAO FOCAL. Seja dada uma equacao diferencial F(X, DX, ...)=0. A cada ponto (X,Y) do plano ele associava a quantidade de solucoes desta equacao que passam por aquele ponto. Isso implicava em dividir o plano em regioes : O conjunto de pontos onde nao passam solucoes e a regiao R0, o conjunto de pontos onde ha uma unica solucao e a regiao R1, o conjunto de pontos onde ha duas solucoes e a Regiao R2 e dai sucessivamente. Dai o termo DECOMPOSICAO : O R^2 fica decomposto na uniao disjunta R0 U R1 U R2 U R3 O termo Focal e porque ele partia, para facilitar, sempre do valor inicial Dx(0)=0. Este era o foco. Equacoes simples tem decomposicao focal simples (poucas regioes), equacoes mais complexas tem uma decomposicao mais complexa. Este matematico foi a Princeton falar com o Smale. Smale disse que esta ideia se encaixava como uma luva com o problema de Feynam das trajetorias. Em certo ponto apareceram algumas perguntas complicadas ... Mas o Ilustre Matematico respondeu que nao se poderia se perder em detalhes ... A Beleza e aplicacoes daquelas ideias eram o maior sustentaculo para se continuar a pesquisa ! Era incrivel a emocao e o entusiasmo que o Ilustre Prof Demonstrava enquanto expunha as suas ideias, mesmo sendo uma pessoa ja de provecta idade( possivelmente 70 anos ). Um Sr verdadeiramente Genial ! Eu conclui duas coisas : 1) Que a decomposicao focal tambem pode ser usada para classificar as equacoes diferencias ! 2) Pesquisa e EMOCAO PURA ! E ENTUSIASMO ! E INTUICAO ! E MAGICA ! e isso nao depende de
[obm-l] Raizes cubicas em P.A.
Problema: Mostre que, se a, b e c são primos entre si (não todos cubos perfeitos), então suas raízes cúbicas não estão em P.A. Solução: Suponha que, de fato, que as raizes cubicas (vou chama-las de x, y e z repectivamente) estao em P.A.: 2y=x+z Entao: 8y^3=x^3+z^3+3xz(x+z)=x^3+z^3+3xz(2y) (8b-a-c)/6 = xyz [(8b-a-c)/6]^3=abc Como o lado esquerdo é um racional ao cubo e o lado direito é um inteiro, concluímos que ambos são um cubo perfeito. Como a,b e c são primos entre si e abc é cubo perfeito, cada um deles (a,b e c) tem de ser cubo perfeito, contradizendo o enunciado. Abraço, Ralph Que tal? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Raizes cubicas em P.A.
Ola Prof Ralph, Que tal? Em minha opiniao, muito bom ! As restricoes em relacao ao problema original que nos estavamos discutindo sao : 1) No problema original as raizes sao N-esimas. O Sr restringiu a raizes cubicas. 2) No problemas original as raizes N-esimas devem ser termos de uma mesma PA. O Sr restringiu a TERMOS CONSECUTIVOS de uma mesma PA. Bom, mas e evidentemente melhor dar pequenos passos viaveis, um por vez, que querer dar um grande passo inviavel de uma vez ... Que tal considerar agora o problema : Problema: Mostre que, se a, b e c são primos entre si (não todos cubos perfeitos), então suas raízes cúbicas não estão em UMA P.A. Um Abracao Paulo Santa Rita 5,1916,230502 From: Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: '[EMAIL PROTECTED]' [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Raizes cubicas em P.A. Date: Thu, 23 May 2002 18:21:12 -0300 Problema: Mostre que, se a, b e c são primos entre si (não todos cubos perfeitos), então suas raízes cúbicas não estão em P.A. Solução: Suponha que, de fato, que as raizes cubicas (vou chama-las de x, y e z repectivamente) estao em P.A.: 2y=x+z Entao: 8y^3=x^3+z^3+3xz(x+z)=x^3+z^3+3xz(2y) (8b-a-c)/6 = xyz [(8b-a-c)/6]^3=abc Como o lado esquerdo é um racional ao cubo e o lado direito é um inteiro, concluímos que ambos são um cubo perfeito. Como a,b e c são primos entre si e abc é cubo perfeito, cada um deles (a,b e c) tem de ser cubo perfeito, contradizendo o enunciado. Abraço, Ralph Que tal? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Raizes cubicas (e n-ésimas) em P.A.
A solução do Ralph pode ser perfeitamente adaptada para o problema de haver três raízes cúbicas em uma PA (não necessariamente três termos consecutivos). Vou, inclusive, aproveitar o email dele: --- Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED] wrote: Problema: Mostre que, se a, b e c são primos entre si (não todos cubos perfeitos), então suas raízes cúbicas não estão em P.A. Solução: Suponha que, de fato, que as raizes cubicas (vou chama-las de x, y e z repectivamente) estao em P.A.: 2y=x+z --- Aqui, em vez de 2y = x + z, considere y = qx + rz, onde q e r são racionais (se x, y e z estão em PA, então existem esses racionais). Agora, elevando ao cubo: y^3=q^3x^3+r^3z^3+3qxrz(ax+bz)=q^3x^3+r^3z^3+3qrxzy = b = q^3*a + r^3*c + 3qrxyz = [(b - q^3*a - r^3*c)/(3qr)]^3=abc Repetindo o argumento do Ralph: Como o lado esquerdo é um racional ao cubo e o lado direito é um inteiro, concluímos que ambos são um cubo perfeito. Como a,b e c são primos entre si e abc é cubo perfeito, cada um deles (a,b e c) tem de ser cubo perfeito, contradizendo o enunciado. --- Agora, vou tentar (não sei se vai dar certo) para o caso das raízes n-ésimas: vou usar a mesma notação acima, sendo x^n = a, y^n = b e z^n = c, a, b e c primos dois a dois, nenhum deles n-ésima potência perfeita. Suponha, por absurdo, que existem racionais q e r tais que y = qx + rz = 1 = q(x/y) + r(z/y) (*) Sejam S = q(x/y) + r(z/y) e P = q(x/y)*r(z/y) = qr(xz/y^2). Veja que x/y e z/y são raízes n-ésimas de racionais e P também, pois x, y e z são primos dois a dois. Elevando a n, obtemos um polinômio em S e P, com coeficientes racionais. Como sei disso? Sejam t = q(x/y) e u = r(z/y). Podemos calcular S(k) = t^k + u^k, k natural, da seguinte forma: |t^2 = St - P = |t^(m+2) = St^(m+1) - Pt^m |u^2 = Su - P|u^(m+2) = Su^(m+1) - Pu^m = (t^(m+2)+u^(m+2)) = S(t^(m+1)+u^(m+1)) - P(t^m+u^m) = S(m+2) = S*S(m+1) - P*S(m) Como S(0) = 2 e S(1) = S, indutivamente temos que S(n) é um polinômio em S e P, com coeficientes inteiros. Mas S(n) = [q(x/y)]^n + [r(z/y)]^n = q^n(a/b) + r^n(c/b) é racional. Logo ao elevarmos os dois lados de (*) a n obtemos uma equação em S e P. Substituindo S = 1, temos uma equação polinomial em P, de grau no máximo n/2 (Veja que se k n/2, P^k = (tu)^k seria o produto de k t's e k u's, totalizando 2k n fatores, o que não é possível pois há no máximo n fatores). Mas P = qr(xz/y^2) é um número algébrico de grau n (a, b e c são primos dois a dois), contradição. Não sei se o que fiz está certo... Talvez eu esteja viajando forte, agora são 20 para a meia-noite e estou bem cansado... []'s Shine __ Do You Yahoo!? LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience http://launch.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
