[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Questão de Análise
Obrigadão pela sua ajuda, Artur!
A questão não era complicada, falou - como diria o Dirichlet - eu levar tudo
até as últimas conseqüências. Tive uma idéia. Considere A = conjunto dos
números reais e a função F tal que F(X) = { - x, para todo x fora de X } = -
Complementar X. Se X está contido em Y então Complementar Y está contido
Complementar X e também - Complementar X está contido no - Complementar Y. É
claro que F(F(X)) = X.
Esta é uma função diferente do complementar e que se enquadra nas
propriedades da questão.
Um abraço,
Duda.
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
Oi Duda!
Se X_1,... e X_n estao em P(A), entao cada X_i esta contido s em Uniao X_i.
Pelas condicoes dadas, segue-se que F(Uniao X_i) estah contido em cada um
dos F(X_i). Logo, F(Uniao X_i) estah contido em Interseccao F(X_i). Alem
disto, temos que Interseccao F(X_i) esta contido em cada um dos F(x_i), o
que acarreta que cada F(F(X_i)) = X_i esteja contido em F(Interseccao
F(X_i)). Prosseguindo, temos que Uniao X_i esta contido em F(Interseccao
F(X_i), o que implica que F(F(Interseccao F(X_i)) = Interseccao F(X_i)
esteja contido em F(Uniao X_i), Assim concluimos que F(União
X_i) = Interseção F(X_i) --Ufa! .Interessante observar que isto eh valido
mesmo para subcolecoes nao numeraveis de P(A).
Agora, temos que Interseccao X_i estah contido em cada X_i, de modo que cada
F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_i). Logo, Uniao F(X_i) esta contido
em F(Interseccao X_i). Alem disto, cada F(X_i) estah contido em Uniao
F(x_i), de modo que F(Uniao F(X_i)) esta contido em cada um dos F(F(X_i)) =
X_i. Segue-se que F(Uniao F(X_i)) esta contido em Interseccao (X_i), do que
concluimos que F(Interseccao X_i) esta contido em F(F(Uniao F(X_i))) = Uniao
F(X_i). E assim, segue-se que F(Interseção X_i) = União F(X_i), completando
a prova. Verificamos de novo que isto eh valido mesmo para subcolecoes nao
numeraveis de P(A).
Das condicoes dadas segue-se que F eh bijetora. Sendo 0 o conjunto vazio,
temos para todo X de P(A) que 0 estah contido em X e que, portanto, F(X)
esta contido em F(0). Mas como F eh bijetora, para algum X temos F(X) = A,
de modo que F(0) = A. Logo, F(A) = F(F(0)) = 0. Isto nao prova, mas
desconfio que F eh a funcao complemento.
Um abraco!
Artur
Olá Pessoal!
Estou resolvendo o livro do Elon de Análise e há um exercício que não
estou
conseguindo resolver.
Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma função
f:P(A)-P(A) que satisfaz as propriedades: se X está contido em Y (ambos
de
P(A)) então F(Y) está contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que F(União
X_i) = Interseção F(X_i) e também F(Interseção X_i) = União F(X_i).
Uma função que satisfaz essas condições é F(X) = Complementar X.
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[obm-l] Algebra Linera
Antes de mais nada gostaria de agradecer a ajuda que voces estão me dando.em especial ao Domingos Jr pela ajuda.valeu Domingos. Gostaria de perguntar o seguinte: Seja V um espaço vetorial de dimensão n. a)Um conjunto LI de vetores será necessariamente uma base desse espaço? ou ainda nem todo conjunto LI de n vetores gera esse espaço de dimensão n?. b)É possível termos um conjunto de m vetores LD ( mn) que gere um espaço de dimensão n? desde agradeço a colaboração de voces. joão Nakamura __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linera
On Tue, 16 Sep 2003 06:48:21 -0300, nakamuraj [EMAIL PROTECTED] wrote:
Antes de mais nada gostaria de agradecer a ajuda que voces estão me
dando.em especial ao Domingos Jr pela ajuda.valeu Domingos.
Gostaria de perguntar o seguinte:
Seja V um espaço vetorial de dimensão n.
a)Um conjunto LI de vetores será necessariamente uma base desse espaço?
ou ainda nem todo conjunto LI de n vetores gera esse espaço de dimensão
n?.
Nao, pode existir algum vetor em V que não é combinação linear dos
vetores deste conjunto LI. Pense em R^3 com sendo V (sobre R) e em {(1,0,0)
,(0,1,0)} como sendo X. É claro que X é LI, mas X não gera R^3 pois não
existem coeficientes a,b pertencentes a R tais que a*(1,0,0) + b*(0,1,0) =
(0,0,1). A propriedade LI significa injetividade da função abaixo :
f : R^m (m-upla de coeficientes reais )- R^n (espaco vetorial)
f(r_1,r_2,...,r_m) = Somatorio( r_i * x_i, 1=i=m )onde m é a
cardinalidade de X (m=n senao X nao seria LI)
mas isto nao quer dizer que todo vetor em V pode ser escrito como CL
dos m vetores em X (isto seria a sobrejetividade da funcao f).
X é base = f é bijetora
b)É possível termos um conjunto de m vetores LD ( mn) que gere um espaço
de dimensão n?
Sim. Suponha que X seja uma base para V (sempre existe uma base). Entao X
tem n vetores e X gera V. Voce pode acrescentar mais vetores a X e este vai
continuar gerando V pois aqueles n que estavam lá antes já geravam V. O
único problema é que X não será mais uma base ( vc perde a injetividade
acima - X passa a ser LD ).
desde agradeço a colaboração de voces.
joão Nakamura
__
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Felipe Pina
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[obm-l] Kolmogorov
Alguem que entenda de complexidade computacional pode fazer um paralelo entre maquinas de Turing , Complexidade de Kolmogorov, Entropia.Em outras palavras explicar a relação desses conceitos entre si. Pelo que entendi de inicio,são diferentes formas de se encarar um dado problema. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Depois de muito tempo eu nao deveria mandar um comentario desse tipo,ja que o Dirichlet nunca mandou uma demonstraçao completa de qualquer problema proposto nesta lista,so manda referencias inuteis e dicas que nao levam a lugar nenhum...,entre muitos outros,mas eu nao resisto em te falar que a demonstraçao de que existem infinitos primos nas PAs de termo inicial 1 e razao qualquer pode ser achada no artigo polinomios ciclotomicos do Antonio Caminha Muniz Neto,do Ceara,no link Semana Olimpica da OBM,ou mesmo em www.teorema.mat.br/ciclotomico.pdf Espero que lhe seja menos inutil... --- Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal, como todos devem saber dada em toda progressão aritméticaem que a razão e o termo inicial são coprimos existe uma quantidade infinita de primos. Este é o conhecido Teorema de Dirichlet, cuja demonstração é bastante complexa. Alguns casos especiais são facilmente demonstrados como 4k+3 ou 6k+5 e já foram tratados nesta lista. Proponho então a demonstração dos seguintes casos: 10K +1e4k +1 , especialmente o primeiro deles, poias embora conheça as demonstrações gostaria de obter provas mais simples das de que tenho conhecimento. Se alguém tiver uma idéia, por favor escreva-me. Abraços, Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] F(F(x)) = x e combinatoria
Oi, Artur e Duda: Esse problema do livro do Elon me sugeriu dois problemas de combinatoria. 1) Seja A um conjunto qualquer e F: A - A uma funcao tal que, para todo x em A vale F(F(x)) = x. F eh chamada uma involucao em A. Eh facil ver que toda involucao em A eh uma bijecao. Se A for finito e |A| = n, entao existem n! bijecoes de A em A. Pergunta: Qual o numero de involucoes em A? * 2) Seja A um conjunto finito com |A| = n (e portanto |P(A)| = 2^n). Seja F: P(A) - P(A) uma funcao tal que, para todos X e Y em P(A): F(F(X)) = X e X contido em Y == F(Y) contido em F(X). Pergunta: Quantas funcoes de P(A) em P(A) existem com essas duas propriedades? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l]
Agora sim... O primeiro fiz depois de horas(gastei a preova inteira nele!): 1233=12^2+33^2 1200-12^2=33^2-33 12*(100-12)=33^2-33 12*88=33^2-33 (100-88)*88=33^2-33 8800-88^2=33^2-33 8833=88^2+33^2 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: acho que ja dissemos varias vezes para nao mandara prova nem nada relacionado.Leia o e-mail daNelly--- luis-cu <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: acabei de voltar da olimpiada de mat, e gostaria de ajuda eem algumas questoes, grato 1- um numero biquadrado é um numero ABCD, onde ele é a soma de AB²+CD²=ABCD EX: 1233=12²+33² mostre outro numero biquadrado gostaria de uma resoluçao sem ser por tentativa, tentei por toria dos numeros,mas nao saiu 2-dado um quadrado de lado igual a tres. divide-se o quadrado em 9 outros quadrados, cujo sao pintados de azul ou vermelho, e a probabilidade é de 1/2 qual a probabilidade de se pintar um quadrado de uma so cor e de lado 2? a minha deu 1/8, mas acho que esta errado 3-de a soma obs: nao sei como bota elevado, por isso vou usar 'e', Xe2, e gostaria que aproveitassem e me dissessem. 2e1/(3e2 +1) + 2e2/(3e4 + 1) + 2e3/(3e8 + 1) +...+2eN/3e (2eN) + 1] 4- um conjunto de 15 numeros, o menor igual a 1, nao a tres numeros q formem um triangulo. diga quais os valores para o maior deles obs: nao lembro muito bem como era a questao grato ZANFORLIN __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= ___Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vaidar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muitomais! www.cade.com.br/antizona=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
[obm-l] dica
Olá amigos matemáticos, gostaria de saber onde posso obter na internet materiais de álgebra linear, manual de Latex e de matlab na internet. Se alguém saber por favor me dá um toque. Falou gente __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fatorial Quadrado
Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Mesma pergunta para este aqui: Se P(n) = n-esimo primo (P(1) = 2, P(2) = 3, P(3) = 5, ...), entao prove que para n = 5, P(n)^2 P(1)*P(2)*...*P(n-1). Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos
Pessoal, Algumas questões: 1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n) 2) Ache todos os triplos pitagóricos (primitivos e não-primitivos) com (20, y, z). Grato, Henrique. ___ Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Questão de Análise
Oi Artur,
Oi Duda!
Se X_1,... e X_n estao em P(A), entao cada X_i esta contido s em Uniao =
X_i.
Pelas condicoes dadas, segue-se que F(Uniao X_i) estah contido em cada =
um
dos F(X_i). Logo, F(Uniao X_i) estah contido em Interseccao F(X_i). Alem
disto, temos que Interseccao F(X_i) esta contido em cada um dos F(x_i), =
o
que acarreta que cada F(F(X_i)) =3D X_i esteja contido em F(Interseccao
F(X_i)). Prosseguindo, temos que Uniao X_i esta contido em F(Interseccao
F(X_i), o que implica que F(F(Interseccao F(X_i)) =3D Interseccao F(X_i)
esteja contido em F(Uniao X_i), Assim concluimos que F(Uni=E3o
X_i) =3D Interse=E7=E3o F(X_i) --Ufa! .Interessante observar que isto eh =
valido
mesmo para subcolecoes nao numeraveis de P(A).=20
Agora, temos que Interseccao X_i estah contido em cada X_i, de modo que =
cada
F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_i). Logo, Uniao F(X_i) esta =
contido
em F(Interseccao X_i). Alem disto, cada F(X_i) estah contido em Uniao
F(x_i), de modo que F(Uniao F(X_i)) esta contido em cada um dos =
F(F(X_i)) =3D
X_i. Segue-se que F(Uniao F(X_i)) esta contido em Interseccao (X_i), do =
que
concluimos que F(Interseccao X_i) esta contido em F(F(Uniao F(X_i))) =3D =
Uniao
F(X_i). E assim, segue-se que F(Interse=E7=E3o X_i) =3D Uni=E3o F(X_i), =
completando
a prova. Verificamos de novo que isto eh valido mesmo para subcolecoes =
nao
numeraveis de P(A).
Das condicoes dadas segue-se que F eh bijetora. Sendo 0 o conjunto =
vazio,
temos para todo X de P(A) que 0 estah contido em X e que, portanto, F(X)
esta contido em F(0). Mas como F eh bijetora, para algum X temos F(X) =
=3D A,
de modo que F(0) =3D A. Logo, F(A) =3D F(F(0)) =3D 0. Isto nao prova, =
mas
desconfio que F eh a funcao complemento.
Acho que nao e' sempre assim nao: seja f uma involucao de A e F(X)={f(x),
x no complementar de A}. Entao F satisfaz as condicoes do enunciado.
Abracos,
Gugu
Um abraco!
Artur=20
Ol=E1 Pessoal!
=20
Estou resolvendo o livro do Elon de An=E1lise e h=E1 um exerc=EDcio =
que n=E3o
estou
conseguindo resolver.
=20
Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma =
fun=E7=E3o
f:P(A)-P(A) que satisfaz as propriedades: se X est=E1 contido em Y =
(ambos
de
P(A)) ent=E3o F(Y) est=E1 contido em F(X); e F(F(X)) =3D X. Mostrar =
que F(Uni=E3o
X_i) =3D Interse=E7=E3o F(X_i) e tamb=E9m F(Interse=E7=E3o X_i) =3D =
Uni=E3o F(X_i).
=20
Uma fun=E7=E3o que satisfaz essas condi=E7=F5es =E9 F(X) =3D =
Complementar X.
=20
--=_NextPart_000_0006_01C37BF4.472A5860
Content-Type: application/ms-tnef;
name=winmail.dat
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[obm-l] Numero de involucoes em A
Seja A um conjunto finito com n elementos e F uma involucao em A (ou seja,
uma funcao F:A - A que obedece a F(F(x)) = x para todo x em A).
Para cada x em A existem duas hipoteses:
1) F(x) = x (x eh um ponto fixo de F)
ou
2) F(x) = y x e F(y) = x.
Assim, dada F, podemos particionar A em subconjuntos de 1 ou 2 elementos
tais que, se B eh um desses subconjuntos, entao F(B) = B.
Por outro lado, dada uma particao de A em subconjuntos de 1 ou 2 elementos,
podemos definir F:A - A tal que:
se {x} eh um subconjunto da particao, entao F(x) = x
e
se {x,y} eh um subconjunto da particao, entao F(x) = y e F(y) = x.
Conclusao: o numero de involucoes em A eh igual ao numero de maneiras de se
particionar A em subconjuntos de 1 ou 2 elementos.
*
Consideremos uma particao de A em p conjuntos unitarios e q conjuntos de 2
elementos (binarios?). Claro que n = p + 2q.
Os p conjuntos unitarios podem ser escolhidos de Binom(n,p) = Binom(n,2q)
maneiras.
Uma vez escolhidos os unitarios, ficamos com n - p = 2q elementos de A para
formar q pares, o que pode ser feito de (2q)!/(2^q*q!) maneiras.
Logo, o numero de particoes de A em p conjuntos unitarios e q conjuntos
binarios eh igual a Binom(n,2q)*(2q)!/(2^q*q!) = n!/(q!*(n-2q)!*2^q)
Agora eh soh somar estes numeros, com q variando de 0 ateh [n/2]:
No. de Involucoes em A = SOMA(0=q=[n/2]) n!/(q!*(n-2q)!*2^q).
Alguem sabe determinar uma formula fechada para esta soma?
Com uma planilha eu achei o seguinte:
|A| No. de Involucoes em A
11
22
34
410
526
676
7232
8764
92620
109496
1135696
12140152
13568504
142390480
1510349536
1646206736
17211799312
18962854399
194154972365
2016556644271
2160372347071
Tambem vale conferir o site:
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eismum.cgi
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos
Title: Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos on 16.09.03 17:48, Henrique P. Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Algumas questões: 1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n) Sabemos que: Soma(1=k=m) k^3 = (1/4)*m^2*(m+1)^2 Assim: Soma(n=k=2n) k^3 = = Soma(1=k=2n) k^3 - Soma(1=k=n-1) k^3 = = (1/4)*(2n)^2*(2n+1)^2 - (1/4)*(n-1)^2*n^2 = = (1/4)*[4n^2*(4n^2 + 4n + 1) - (n^2 - 2n + 1)*n^2] = = (1/4)*[16n^4 + 16n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^3 - n^2] = = (1/4)*(15n^2 + 18n + 3) = = (3/4)*n^2*(n+1)*(5n+1) (se eu nao errei nenhuma conta) * 2) Ache todos os triplos pitagóricos (primitivos e não-primitivos) com (20, y, z). Esse eh meio sacal. A fim de gerar triplos primitivos, use as formulas: a = m^2 + n^2 b = m^2 - n^2 c = 2mn onde m e n sao inteiros positivos de paridades distintas e primos entre si. Com essa formula, gere todos os triplos primitivos onde a, b ou c eh um divisor de 20. Depois, multiplique a, b e c pelo fator apropriado a fim de fazer um deles igual a 20. Isso vai gerar todos os triplos pitagoricos (primitivos e nao primitivos) que tem uma das coordenadas iguais a 20. Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] F(F(x)) = x e combinatoria
Oi Claudio,
Vamos la':
Oi, Artur e Duda:
Esse problema do livro do Elon me sugeriu dois problemas de combinatoria.
1) Seja A um conjunto qualquer e F: A - A uma funcao tal que, para todo x
em A vale F(F(x)) = x. F eh chamada uma involucao em A. Eh facil ver que
toda involucao em A eh uma bijecao.
Se A for finito e |A| = n, entao existem n! bijecoes de A em A.
Pergunta: Qual o numero de involucoes em A?
Seja a_n esse numero. Entao a_(n+1)=a_n+n.a_(n-1) (veja para onde vai o
n+1: se fica fixo caimos no caso anterior, senao escolhemos um dos outros n
elementos para permutar com ele e caimos no caso n-1 para o resto).
Considerando f(x)=serie(a_n.x^n/n!), isso da' f'(x)=f(x)+x.f(x), e olhando
para os primeiros valores, temos f(x)=e^(x+x^2/2). Se eu nao errei as
contas, f(n) deve ser assintoticamente algo como raiz(2).(n/e)^(n/2).
Veja A85 na encyclopedia of integer sequences, ou, mais diretamente,
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eismum.cgi
*
2) Seja A um conjunto finito com |A| = n (e portanto |P(A)| = 2^n).
Seja F: P(A) - P(A) uma funcao tal que, para todos X e Y em P(A):
F(F(X)) = X
e
X contido em Y == F(Y) contido em F(X).
Pergunta: Quantas funcoes de P(A) em P(A) existem com essas duas
propriedades?
Primeiro vou caracterizar tais f. Elas devem ser do tipo que eu descrevi
na minha mnensagem anterior (mesmo no caso infinito): deve existir uma
involucao f de X tal que F(X)={f(y), y nao esta' em X}. Assim, a resposta e'
o mesmo a_n do item anterior. Para provar isso, note primeiro que dado a em
A existe f(a) em A com F({a})=A\{f(a)}. De fato, se F({a}) esta' contido em
A\{c,d}, {a} contem F(A\{c,d}), que contem estritamente F(A\{c}), que contem
estritamente F(A)=vazio (de fato F e' bijecao), absurdo. Como F({a}) esta'
contido estritamente em F({}), segue nossa afirmacao. Como F(X) e' a
intersecao dos F({x}) para x em X, basta provar que f e' involucao, mas se
f(f(a)) nao e' a, como F({f(a)})=A\{f(f(a))}, temos que a pertence a
F({f(a)}), mas entao A\{f(a)}=F({a}) conteria F(F({f(a)}))={f(a)}, absurdo.
Abracos,
Gugu
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Sequencias convergentes
Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
converge a a e b(b) a b com a=1=b. Para n grande trocamos um par perto de
(a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
e b1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
caso (a1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
Abracos,
Gugu
Oi, pessoal:
Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
positivos} eh denso em R.
A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
Sejam a, b reais tais que 0 a 1 b e a^m*b^n 1, para quaisquer m, n
inteiros positivos.
Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
a(1) = a; b(1) = b
Para n = 1:
a(n)*b(n) 1 == a(n+1) = a(n)*b(n) e b(n+1) = b(n);
a(n)*b(n) 1 == a(n+1) = a(n) e b(n+1) = a(n)*b(n).
Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
Levando em conta que a^m*b^n 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
acabou...
Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
Qulquer dica serah bem-vinda.
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] penbadu
Olá, Alguém sabe o que aconteceu com o site do Penbadu?? http://www.penbadu.hpg.com.br/ Tá dando 404... Thiago = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] COMO PERDER AMIGOS E ENGANAR PESSOAS
Oi Turma! Mais uma vez, gostaria que elucidassem o problema abaixo que aborda o controvertido assunto bayesiano, mas não esqueçam do problema do camelo. Ok Certa noite, um motorista de táxi envolveu-se em um acidente, atropelando e fugindo do local. Duas companhias de táxi, a Verde e a Azul, operam na cidade. Você recebe os seguintes dados: 85% dos táxis na cidade são verdes, e 15% são azuis, e no julgamento, uma testemunha identificou o táxi como sendo um táxi da companhia Azul. Entretanto, a corte testou a capacidade da testemunha em identificar táxis sob condições de visibilidade adequadas. Quando apresentada a uma série de táxis, metade dos quais eram azuis e metade dos quais eram verdes, a testemunha realizou identificações corretas em 80% dos casos e errou em 20% dos casos. Qual foi a probabilidade de o táxi envolvido no acidente ter sido o azul ao invés do verde? Se alterarmos a informação para: apesar das duas companhias serem aproximadamente do mesmo tamanho, 85% dos acidentes com táxis nesta cidade envolvem os táxis verdes, e 15% envolvem táxis azuis. Qual seria a resposta se a testemunha permaneceu a mesma? Um abraço e não esqueçam da minha Caloi WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos
1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n) Sabendo que f(n) := soma(k^2,k=1 ate n) = (1/4)*(n^4 + 2*n^3 + n^2) Obs : Posso dar uma contrução explícita deste expressão, caso queira. e que g(n) := soma(k^3,k=n até 2n) = soma(k^3,k=1 ate 2n) - soma(k^2,k=1 ate n-1) temos que g(n) = f(2n) - f(n-1) = (1/4)*(15*n^4 + 18*n^3 + 3*n^2) -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias convergentes
Nossa! Eu estava tao fixado em logaritmos, irracionais, fracoes continuas e
casas de pombos que acabei nao vendo o obvio == acabei desobedecendo o
axioma numero 2...
Obrigado, Gugu!
Um abraco,
Claudio.
on 16.09.03 20:19, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
converge a a e b(b) a b com a=1=b. Para n grande trocamos um par perto de
(a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
e b1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
caso (a1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
Abracos,
Gugu
Oi, pessoal:
Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
positivos} eh denso em R.
A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
Sejam a, b reais tais que 0 a 1 b e a^m*b^n 1, para quaisquer m, n
inteiros positivos.
Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
a(1) = a; b(1) = b
Para n = 1:
a(n)*b(n) 1 == a(n+1) = a(n)*b(n) e b(n+1) = b(n);
a(n)*b(n) 1 == a(n+1) = a(n) e b(n+1) = a(n)*b(n).
Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
Levando em conta que a^m*b^n 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
acabou...
Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
Qulquer dica serah bem-vinda.
Um abraco,
Claudio.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Sim, uma demonstração bem simples. Sejam f(n) := n^2 g(n) := n! = (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 (DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! = n*(n!) Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1 n =4 = n! = 24 = n*(n! - 2) = 4*(24 - 2) = 4*22 = 88 Ou seja, para n =4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n) Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16 g(4) f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais. Resta apenas checar os pontos antes de 4... g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3) g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2) Então f(n) e g(n) são diferentes para todo n 1. -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Oi Felipe, a pergunta é mais geral do que esta: será que para n 1 existe m tal que f(m) = g(n)? Duda. From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED] Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Sim, uma demonstração bem simples. Sejam f(n) := n^2 g(n) := n! = (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 (DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! = n*(n!) Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1 n =4 = n! = 24 = n*(n! - 2) = 4*(24 - 2) = 4*22 = 88 Ou seja, para n =4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n) Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16 g(4) f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais. Resta apenas checar os pontos antes de 4... g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3) g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2) Então f(n) e g(n) são diferentes para todo n 1. -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Valores de aderencia de cos(n)
E pra completar a serie de problemas sobre conjuntos densos em R, aqui vai
mais um problema do livro Curso de Analise - vol. 1 do Elon (cap. IV - ex.
46 da 6a. edicao):
Prove que o conjunto dos valores de aderencia da sequencia x(n) = cos(n) eh
o intervalo fechado [-1,1].
OBS: a eh valor de aderencia de x(n) == a eh limite de alguma subsequencia
de x(n).
Sugestao: Use o fato de que se b eh irracional, entao o conjunto {m + n*b;
m,n: inteiros} eh denso em R (o que uma coisa tem a ver com a outra???)
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Como resolvê-las???
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