Re: [obm-l] dúvida 2
--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ah,ja contei como o Gauss construiu o poligono de 17 lados? Não. Por favor, satisfaça minha curiosidade. Rafael. __ Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora: http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajudem-me !!!
--- leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola amigos da lista, um amigo apresentou-me essas tres questoes q seguem abaixo e por enquanto nao consegui fz nenhum delas. Gostaria q vcs me ajudassem a resolve-las.Ai vao... 1) y^2 + 3(xy)^2 = 30x^2 + 517 . Determine o valor de 3(xy)^2 O enunciado que eu tenho diz: Se x e y são números inteiros... e depois vem o resto. COnsiderando x e y inteiros: y² + 3x²y² = 30x² + 517 y².(1 + 3x²) = 30x² + 517 y² = (30x² + 517)/(1 + 3x²) y² = 30x²/(1 + 3x²) + 517/(1 + 3x²) Como y é inteiro, y² também é então o segundo membro dessa equação tem que dar um número inteiro, então vamos separar um inteiro mais uma fração: y² = 30x²/(1 + 3x²) + 517/(1 + 3x²) y² = (30x² + 10)/(1 + 3x²) + (517 - 10)/(1 + 3x²) y² = 10.(3x² + 1)/(1 + 3x²) + (517 - 10)/(1 + 3x²) y² = 10 + (517 - 10)/(1 + 3x²) y² = 10 + 507/(1 + 3x²) Então 1 + 3x² tem que ser divisor de 507, que fatorando: 507 = 3.13² Que nos dá os seguintes divisores: 1, 3, 13, 39, 169, 507 Então 1 + 3x² tem que ser um desses números. Se você verificar verá que não há inteiro que satisfaça 1 + 3x² ser divisor de nenhum desses, a não ser do 13 e do 1. Mas para 1 + 3x² ser igual a 1, x teria que ser zero e não satisfaria nosso problema porque teríamos: y² + 3x²y² = 30x² + 517 y² = 517 Mas 517 não é um quadrado perfeito. Então temos: 1 + 3x² = 13 3x² = 12 x = +-2 Sendo assim temos o valor de y: y² = 10 + 507/(1 + 3x²) y² = 10 + 507/13 y² = 10 + 39 y = +-7 Como o problema pediu 3x²y²: = 3x²y² = 3.4.49 = 588 2) N=19^88 - 1 . Determine a soma dos divisores d de N da forma d=(2^a)(3^b) Isso foi o melhor que consegui: Temos que achar o primeiro a tal que 2^a não divide N e o primeiro b tal que 3^b não divide N. Vamos começar pelas potências de 2: Como 361 = 8*45 + 1 temos N = 1^44 - 1 = 0 (mod 8), então 8 divide N. Como 361 = 16*22 + 9 temos N = 9^44 - 1 = 81^22 - 1 = 1^22 - 1 = 0 (mod 16), então 16 divide N. Como 361 = 32*11 + 9 temos N = 9^44 - 1 = 81^22 - 1 = 17^22 - 1 = 289^11 - 1 = 0 (mod 32), 32 divide N. (Já que 289 = 9*32 + 1). Como 361 = 64*5 + 41 temos N = 41^44 - 1 = 1681^22 - 1 = 17^22 - 1 = 289^11 - 1 = 33^11 - 1 = 33*1089^5 - 1 = 33*1^5 - 1 = 32 (mod 64) (Já que 1681 = 64*26 + 17, 289 = 4*64 + 33 e 1089 = 64*17 + 1). Então 32 divide N, mas 64 não. Agora vamos às potências de 3: Como 19 = 2*9 + 1 N = 19^88 - 1 = 0 (mod 9) Como 361 = 27*13 + 10 temos N = 361^44 - 1 = 10^44 - 1 (mod 27) E temos 10^3 = 27*37 + 1 Daí N = 10^44 - 1 = 100*1^14 - 1 = 99 = 18 (mod 27) Então 27 não divide N, mas 9 sim. Agora sabemos que 19^88 é da forma 2^5 . 3² . K. Então a soma dos divisores de N é: (2 + 4 + 8 + 16 + 32)(3 + 9) = 62 . 12 = 744 3) Seja n^5= 133^5 + 110^5 + 84^5 + 27^5 sendo n inteiro. Determine o valor de n Vamos usar a propriedade: a^p = a (mod p) Que quer dizer que a^p deixa resto a quando dividido por p. Assim: 133^5 = 133 (mod 5) = 3 (mod 5) 110^5 = 110 (mod 5) = 0 (mod 5) 84^5 = 84 (mod 5) = 4 (mod 5) 27^5 = 27 (mod 5) = 2 (mod 5) Assim, como n^5 é a soma desses alagarismos e n^5 = n (mod p): n^5 = 133^5 + 110 ^5 + 84^5 + 27^5 n = 3 + 0 + 4 + 2 (mod 5) n = 9 (mod 5) n = 4 (mod 5) E isso quer dizer que quando dividido por 5, n deixa resto 4. Agora vamos fazer módulo 3 e módulo 2, pois n².n³ = n^5: n^3 = n (mod 3) 133^3 = 133 (mod 3) = 1 (mod 3) 110^3 = 110 (mod 3) = 2 (mod 3) 84^3 = 84 (mod 3) = 0 (mod 3) 27^3 = 27 (mod 3) = 0 (mod 3) n = 1 + 2 + 0 + 0 (mod 3) n = 3 (mod 3) n = 0 (mod 3) E agora módulo 2: 133^2 = 133 (mod 2) = 1 (mod 2) 110^2 = 110 (mod 2) = 0 (mod 2) 84^2 = 84 (mod 2) = 0 (mod 2) 27^2 = 27 (mod 2) = 1 (mod 2) n = 1 + 0 + 0 + 1 (mod 2) n = 2 (mod 2) n = 0 (mod 2) [Teorema o resto chinês] Sejam m e n inteiros positivos, com mdc(m,n) = 1. Então o sistema de congruência: x = a (mod n) x = b (mod m) tem solução. Além disso, quaisquer duas soluções são congruentes módulo mn. n = 5x + 4 n = 3y n = 2z n = 6a = 3y = 2z 6a = 5x + 4 x = 2b 6a = 10x + 4 3a = 5b + 2 Resp.: a = 4, b = 2 x = 4, n = 24 Como n é da forma 5.3.2.k + 24 = 30k + 24, e como n tem que ser maior que 133, k pode ser 4, o que nos dá n = 144. Se k for maior que 4, teremos um número muito grande (174). Resposta: n = 144 Abraços, Rafael. PS.: Desculpe-me a demora. __ Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora: http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Demonstração
Olá pessoal, Estou tendo problemas na resolução da seguinte demonstração: Preciso demonstrar que cos(x) sen(x)/x 1 A demonstração de que o cos(x) e o sen(x)/x são menor do que 1 eu consegui fazer, o problema é quando preciso provar que cos(x) sen(x)/x. Desde já agradeço qualquer ajuda. Abraços Cloves Jr
[obm-l] resultado
E o resultado da OBM sai quando?
[obm-l] duvida/matriz
Olá Tenho a seguinte dúvida: Como provo o seguinte teorema? A . adj (A) = det (A) . I Grato Douglas -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida/matriz
on 05.12.03 09:54, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Tenho a seguinte dúvida: Como provo o seguinte teorema? A . adj (A) = det (A) . I Grato Douglas Oi, Douglas: A demonstracao precisa de alguns pre-requisitos. Na minha opiniao, a melhor exposicao on-line sobre este topico estah em: http://www.millersv.edu/~bikenaga/linalg/linanote.html Em especial os arquivos inverse.ps e det.ps. Se voce nao tiver um leitor de arquivos PostScript, esta pagina tambem vai te dizer como conseguir um (de graca!). Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] sen 18 e sen 54 [Re: [obm-l] dúvida 2]
Sauda,c~oes,
Essa solução é praticamente igual à
que apresento num livro de Trigonometria
que escrevi. Só que o problema pedia
o sen 18.
Lá como aqui encontramos duas soluções
e precisamos decidir qual é a verdadeira.
Vemos que sen 18 = [raiz(5) - 1]/4 e
a outra solução era x = [raiz(5) + 1]/4. Não
fui até as últimas conseqüências e não
percebi que x = sen 54.
Isso eu só percebi recentemente quando
resolvi (no braço) a equação
x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 5 = 0.
Mas outra solução interessante para cos 36
(cos 18 e sen 18 seguem facilmente) encontra-se
no The Art of Computer Programming do Knuth.
Sejam u = cos 72 , v = cos 36. Temos u = 2v^2 - 1;
v = 1 - 2 sen^2 18 = 1 - 2u^2. Logo,
u+v = 2(v^2 - u^2), ou seja, 1 = 2(v - u). Assim,
4v^2 - 2v - 1 = 0. v = phi/2, onde phi = [raiz(5) + 1]/2
tem a ver com a seqüência de Fibonacci.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Rafael [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sexta-feira, 5 de dezembro de 2003 08:11
Assunto: Re: [obm-l] dúvida 2
Achei a minha resolução:
Sabendo que:
cos 3x = 4cos³ x - 3cos x
sen 3x = 3sen x - 4sen³ x
Podemos fazer:
= cos 5x
= cos (3x + 2x)
= (cos 3x).(cos 2x) - (sen 3x).(sen 2x)
= (4cos³ x - 3cos x).(cos² x - sen² x) - (3sen x -
4sen³ x).[2.(sen x).(cos x)]
= 4.(cos x)^5 - 4.(cos³ x).(sen² x) - 3cos³ x + 3.(cos
x).(sen² x) - [6.(sen² x).(cos x) - 8.(cos x).(sen
x)^4]
= 4.(cos x)^5 - 4cos³ x + 4.(cos x)^5 - 3cos³ x + 3cos
x - 3cos³ x - [6cos x - 6cos³ x - 8.(cos x).(1 - cos²
x)²]
= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - {6cos x - 6cos³ x
- 8.(cos x).[1 - 2cos² x + (cos x)^4]}
= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [6cos x - 6cos³ x
- 8cos x + 16cos³ x - 8.(cos x)^5]
= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [10cos³ x - 2cos x
- 8.(cos x)^5]
= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - 10cos³ x + 2cos x
+ 8.(cos x)^5
= 16.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x
E resolvemos a equação:
x = 18°
cos 5x = cos 90°
cos 5x = 0
16.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x = 0
(cos x).[16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5] = 0
Ou cos x = 0, que é falso no caso de 18°, ou:
16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5 = 0
cos² x = [10 +- raiz(20)]/16
cos x = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4
Precisamos descobrir o sinal dentro da raiz. Como 18
está próximo de 15° e o cosseno de 15° é:
cos 15 = [raiz(2) + raiz(6)]/4
cos 15 = 0,966
O valor de cos 18 tem que estar próximo disso:
cos 18 = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4
raiz[10 + 2raiz(5)]/4 = 0,951
raiz[10 - 2raiz(5)]/4 = 0,588
Daí concluímos que:
cos 18 = raiz[10 + 2raiz(5)]/4
E podemos achar o seno de 18° também:
sen² 18° = 1 - cos² 18°
sen² 18° = 1 - [10 + 2raiz(5)]/16
sen² 18° = [6 - 2raiz(5)]/16
sen 18° = raiz[6 - 2raiz(5)]/4
sen 18° = raiz{[raiz(5) - 1]²}/4
sen 18° = [raiz(5) - 1]/4
Abraços,
Rafael.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] resultado
On Fri, Dec 05, 2003 at 09:10:31AM -0200, Eduardo Soares wrote: E o resultado da OBM sai quando? Provavelmente ainda hoje para os níveis 1-2-3. O nível U deve sair semana que vem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Outros primos [Foi descoberto um novo primo de Mersenne]
Sauda,c~oes, Quando foi descoberto e qual é o último primo que NÃO é de Mersenne? Os primos de Fermat 2^n + 1 (note que n tem que ser uma potência de 2) também são procurados? []'s Luís -Mensagem Original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quarta-feira, 3 de dezembro de 2003 13:24 Assunto: [obm-l] Foi descoberto um novo primo de Mersenne: 2^20996011-1. Foi descoberto um novo primo de Mersenne: 2^20996011-1. Vejam a notícia abaixo e o link para a home page do projeto que descobriu este e os últimos 5 maiores números primos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outros primos [Foi descoberto um novo primo de Mersenne]
On Fri, Dec 05, 2003 at 11:49:21AM -0200, Luis Lopes wrote: Sauda,c~oes, Quando foi descoberto e qual é o último primo que NÃO é de Mersenne? Eu suponho que você queira dizer o maior primo conhecido que não é Mersenne: 1372930^131072+1, com 804474 algarismos, descoberto em 2003. É um Fermat generalizado. Os primos de Fermat 2^n + 1 (note que n tem que ser uma potência de 2) também são procurados? Não se conhece nenhum (além dos que Fermat conhecia). Há um monte de listas de primos em http://www.utm.edu/research/primes/lists/ []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida/matriz
O jeito e demonstrar na porrada mesmo!Tente ver o caso 2*2 pra se habituar, veja no caso 3*3n e depois tente generalizar. Da pra usar algelin mais pesada mas nao e necessario[EMAIL PROTECTED] wrote: OláTenho a seguinte dúvida:Como provo o seguinte teorema?A . adj (A) = det (A) . IGratoDouglas--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.comm.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] duvida/matriz
O jeito e demonstrar na porrada mesmo!Tente ver o caso 2*2 pra se habituar, veja no caso 3*3 e depois tente generalizar. Da pra usar algelin mais pesada mas nao e necessario[EMAIL PROTECTED] wrote: OláTenho a seguinte dúvida:Como provo o seguinte teorema?A . adj (A) = det (A) . IGratoDouglas--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.comm.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Outros primos [Foi descoberto um novo primo de Mersenne]
Sauda,c~oes, Obrigado pela resposta. === Eu suponho que você queira dizer o maior primo conhecido que não é Mersenne: === Isso. === 1372930^131072+1, com 804474 algarismos, descoberto em 2003. É um Fermat generalizado. === Não sabia o que era isso. Entrei na página oficial do projeto dos primos de Mersenne (dada numa outra msg) e surfando nela encontrei o seguinte: Any generalized Fermat number Fb,n =b^2^n + 1 (with b an integer greater than one) which is prime is called a generalized Fermat prime (because they are Fermat primes in the special case b=2). Why is the exponent a power of two? Because if m is an odd divisor of n, then bn/m+1 divides bn+1, so for the latter to be prime, m must be one. Because the exponent is a power of two, it seems reasonable to conjecture that the number of Generalized Fermat primes is finite for every fixed b. Record Primes of this Type rank prime digits who when comment 1 1372930^131072+1 804474 g236 2003 Generalized Fermat Pelo lido acima as buscas por primos de Fermat continuam mas com b=2 será difícil de encontrar outros que Fermat não conhecia. []'s Luis -Mensagem Original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 5 de dezembro de 2003 12:02 Assunto: Re: [obm-l] Outros primos [Foi descoberto um novo primo de Mersenne] On Fri, Dec 05, 2003 at 11:49:21AM -0200, Luis Lopes wrote: Sauda,c~oes, Quando foi descoberto e qual é o último primo que NÃO é de Mersenne? Eu suponho que você queira dizer o maior primo conhecido que não é Mersenne: 1372930^131072+1, com 804474 algarismos, descoberto em 2003. É um Fermat generalizado. Os primos de Fermat 2^n + 1 (note que n tem que ser uma potência de 2) também são procurados? Não se conhece nenhum (além dos que Fermat conhecia). Há um monte de listas de primos em http://www.utm.edu/research/primes/lists/ []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mais sobre Primos
Soh pra complementar: Procurar primos eh uma coisa que, a principio, qualquer um pode fazer. Por exemplo tem um projeto chamado GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search que conta com a participacao de centenas (milhares?) de pessoas em todo mundo e cujo objetivo eh achar primos de Mersenne (aqueles da forma 2^p - 1, onde p eh primo). Pra quem estiver interessado, o site eh esse aqui: http://www.mersenne.org/prime.htm Alias, um exercicio simples eh provar que se 2^n - 1 eh primo, entao n eh primo e tambem dar um exemplo de que a reciproca nao vale (ou seja, exibir um numero composto da forma 2^p - 1, com p primo) - alias, uma prova matematicamente inaceitavel disso mas que talvez fosse aceita num tribunal seria justamente a existencia do GIMPS. Ano passado tres matematicos indianos descobriram um algoritmo que testa se um dado numero eh primo em tempo polinomial (bem informalmente, isso quer dizer que, se implementado num computador, o algoritmo dah a resposta em pouco tempo). O artigo deles a respeito (relativamente curto, mas sofisticado) estah aqui: http://www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html Testar se um dado numero eh primo eh uma coisa. Fatorar um numero sabidamente composto eh outra bem mais dificil. Ha quem diga que um algoritmo que faz isso de forma eficiente jah existe, mas estah guardado atras de sete chaves pela NSA (National Security Agency dos EUA) e por outras agencias de inteligencia. Se voce tentar descobrir por que uma agencia de inteligencia iria querer censurar certos resultados de pesquisas em teoria dos numeros, voce vai ver que matematica pura tem aplicacoes bem praticas... No mais, se voce quiser fatorar e faturar, de uma olhada aqui: http://www.rsasecurity.com/rsalabs/challenges/factoring/numbers.html Um abraco, Claudio. on 05.12.03 12:02, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Fri, Dec 05, 2003 at 11:49:21AM -0200, Luis Lopes wrote: Sauda,c~oes, Quando foi descoberto e qual é o último primo que NÃO é de Mersenne? Eu suponho que você queira dizer o maior primo conhecido que não é Mersenne: 1372930^131072+1, com 804474 algarismos, descoberto em 2003. É um Fermat generalizado. Os primos de Fermat 2^n + 1 (note que n tem que ser uma potência de 2) também são procurados? Não se conhece nenhum (além dos que Fermat conhecia). Há um monte de listas de primos em http://www.utm.edu/research/primes/lists/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstração
Bem,primeiro provar que (sen x)/x1 e facil,olhe o ciclo trigonometrico com sen xx A outra parte nao parece tao cabulosa...cos x/sen x1/x ou tg xx que e obvio no cicloCloves Jr [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Estou tendo problemas na resolução da seguinte demonstração: Preciso demonstrar que cos(x) sen(x)/x 1 A demonstração de que o cos(x) e o sen(x)/x são menor do que 1 eu consegui fazer, o problema é quando preciso provar que cos(x) sen(x)/x. Desde já agradeço qualquer ajuda. Abraços Cloves JrYahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] Resultado OBM-2003
Caros amigos(as) das listas: Níveis 1, 2 e 3 o resultado está no ar. Confiram! O Nível Universitário deverá roer as unhas por um pouco mais de tempo... Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvida 2
Bem,quem ta a fim de calcular cos pi/17?Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote:
Achei a minha resolução:Sabendo que:cos 3x = 4cos³ x - 3cos xsen 3x = 3sen x - 4sen³ xPodemos fazer:= cos 5x= cos (3x + 2x)= (cos 3x).(cos 2x) - (sen 3x).(sen 2x)= (4cos³ x - 3cos x).(cos² x - sen² x) - (3sen x -4sen³ x).[2.(sen x).(cos x)]= 4.(cos x)^5 - 4.(cos³ x).(sen² x) - 3cos³ x + 3.(cosx).(sen² x) - [6.(sen² x).(cos x) - 8.(cos x).(senx)^4]= 4.(cos x)^5 - 4cos³ x + 4.(cos x)^5 - 3cos³ x + 3cosx - 3cos³ x - [6cos x - 6cos³ x - 8.(cos x).(1 - cos²x)²]= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - {6cos x - 6cos³ x- 8.(cos x).[1 - 2cos² x + (cos x)^4]}= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [6cos x - 6cos³ x- 8cos x + 16cos³ x - 8.(cos x)^5]= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [10cos³ x - 2cos x- 8.(cos x)^5]= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - 10cos³ x + 2cos x+ 8.(cos x)^5= 16.(cos x)^5 -
20cos³ x + 5cos xE resolvemos a equação:x = 18°cos 5x = cos 90°cos 5x = 016.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x = 0(cos x).[16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5] = 0Ou cos x = 0, que é falso no caso de 18°, ou:16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5 = 0cos² x = [10 +- raiz(20)]/16cos x = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4Precisamos descobrir o sinal dentro da raiz. Como 18está próximo de 15° e o cosseno de 15° é:cos 15 = [raiz(2) + raiz(6)]/4cos 15 = 0,966O valor de cos 18 tem que estar próximo disso:cos 18 = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4raiz[10 + 2raiz(5)]/4 = 0,951raiz[10 - 2raiz(5)]/4 = 0,588Daí concluímos que:cos 18 = raiz[10 + 2raiz(5)]/4E podemos achar o seno de 18° também:sen² 18° = 1 - cos² 18°sen² 18° = 1 - [10 + 2raiz(5)]/16sen² 18° = [6 - 2raiz(5)]/16sen 18° = raiz[6 - 2raiz(5)]/4sen 18° = raiz{[raiz(5) - 1]²}/4sen 18° = [raiz(5) - 1]/4Abraços,Rafael.---
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet<[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Verdade...E bem mais fazcil do que eu imaginava... Mas a ideia e de que quase sempre e possivel ver um poligono regular...E eu estava tentando uma resposta cearense Rafael <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Peter, Você que gosta, uma vez eu achei esse valor usando trigonometria assim: Ache o cos 5x em função do cos x cos 5x = (cos 2x).(cos 3x) - (sen 3x).(sen 2x) E quando chegar numa expressão só em função de cos x você iguala cos 5x = cos 90° Não foi tão difícil... Abraços, Rafael. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet escreveu: Nao faço muita ideia mas acho que usa o fatoo de que o angulo central e o angulo externo de um 20-agono e de dezoito
graus.Isto tem a ver com o problema que Gauss resolveu com Galois Talvez usando trigonometria saia...Tente assim:faça um desenho e calcule o lado de um 20-agono de raio 1.Talvez seja facil ver que para construir esta coisa e mais facil ver um pentagono ou um decagono...[EMAIL PROTECTED] wrote: quanto vale o sen18º como calculo __Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora:http://mail.yahoo.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] urgente!/matrizes semelhantes
Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B=P^-1AP. Como mostro que detA=detB se A e B são semelhantes? Alguém poderia me ajudar? Grato Douglas -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] urgente!/matrizes semelhantes
B = (P^-1)A(P) det(B) = det((P^-1)A(P)) det(B) = det(P^-1)det(A)det(P) det(B) = (1/det(P))det(A)det(P) det(B) = det(A) [EMAIL PROTECTED] wrote: Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B=P^-1AP. Como mostro que detA=detB se A e B são semelhantes? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvida 2
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Bem,quem ta a fim de calcular cos pi/17? Aqui tem o seno de pi/17, pra tirar o cos é só fazer sqrt(1-sin*sin): http://www.jimloy.com/geometry/17-gon0.gif Eu queria mesmo é ver sen 1 por extenso... Só precisa fazer cos3=cos18-cos15 e depois usar uma formula de cos3x pra tirar cos1... Mas a conteira é muito grande e nunca tive coragem de fazer hehe Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED]Vitrum edere possum, mihi non nocet -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Analise em R
Nao estou conseguindo resolvero exercicio 15 da pag 194 do livro Curso de Analise Vol 1 do Elon. Segue o problema: 15. Defina uma bijecao f: R - R que seja descontinua em todos os pontos. Nao visualizei nada. Pensei em construir uma funcao que tivesse em todos os pontos x limites laterais diferentes, mas nao consegui avancar. Alguem tem alguma ideia? -Marcus Alexandre Nunes[EMAIL PROTECTED]http://grandeabobora.blogspot.comUIN 114153703
Re: [obm-l] Analise em R
hmm tente o seguinte... f(x) = x se x é racional -x se x é irracional On Fri, 5 Dec 2003 20:00:41 -0200, Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] wrote: Nao estou conseguindo resolvero exercicio 15 da pag 194 do livro Curso de Analise Vol 1 do Elon. Segue o problema: 15. Defina uma bijecao f: R - R que seja descontinua em todos os pontos. Nao visualizei nada. Pensei em construir uma funcao que tivesse em todos os pontos x limites laterais diferentes, mas nao consegui avancar. Alguem tem alguma ideia? - Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] http://grandeabobora.blogspot.com UIN 114153703 -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas - Vestibular
Oi pessoal, sou novo na lista e gostaria da ajuda de vocês com alguns problemas de vestibular que não consegui resolver. Tenho certeza que vcs podem me ajudar. :-) 1) 1 = A + B*cbrt(2) + C*cbrt(4) 1 + 3cbrt(2) + cbrt(4) Determinar 41(A + 2B + C) cbrt(x) = raiz cubica de x --//-- 2) Sendo A e B naturais definidos pela igualdade A + Bsqrt(2) = (1 + sqrt(2))^1999 Sqrt(x) = raiz quadrada de x 0-0) A - Bsqrt(2) = (1 - sqrt(2))^1999 1-1) A^2 - 2B^2 = 1 2-2) 2A = (1 + sqrt(2))^1999 + (1-sqrt(2))^1999 3-3) 2A é o maior inteiro menor que (1 + sqrt(2))^1999 4-4) B é par. --//-- 3) Analisar as afirmações: 0-0) Os primos que dividem 2.3.5.7.11.13.17 + 1 são = 19 1-1) Os numeros consecutivos 11!+2, 11!+3, 11!+4, 11!+5, ..., 11!+11 são compostos. 2-2) O dígito das dezenas de 11^10 + 1 é 1 3-3) 2^98 divide 100! 4-4) 2^1999 + 1 é multiplo de 3 Bem... vou parar por aqui, não quero abusar da boa vontade da turma. David M. Cardoso [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PROBLEMA DOS BODES!
Boa Noite! Pessoal! Valeu! Nicolau, pela sugestão do livro, pois em breve fará parte da minha biblioteca. Quanto a referência duvidosa, retirei da seção livros da RPM/52 e por pura comodidade, não citei a fonte correta, Perdão!. Com relação ao problema dos bodes, nunca será demais discuti-lo, pois além de forte candidato ao GUINNESS, deveríamos enviá-lo na CÁPSULA DO TEMPO como testemunho da engenhosidade humana. Vale salientar que além da excelente abordagem do Prof. Nicolau na revista Eureka, dispomos de uma boa discussão na revista RPM, tendo à frente o Prof. Morgado. Destaque para o problema dos três prisioneiros proposto pelo Rogério, que aliás, está muito bem na história após sua estréia em grande estilo. Vale lembrar que os problemas de análise combinatória propostos recentemente pelo Cláudio merecem toda nossa atenção e gostaria muito de ajudá-lo na elucidação dos mesmos, mas infelizmente não tenho Know how para tanto. Aproveitando a boa vontade dos colegas, vamos nos divertir um pouco, pois nem só de cálulo vetorial se ocupa um bom matemático. Somente a título de curiosidade, este tal cálculo III é o campeão de reprovações durante décadas em nossa universidade ao lado de Econometria e Otimização Combinatória! Um barco sobe a corrente, depois desce, e finalmente sobe de novo, até seu ponto de partida. Nesta ocasião, o rio está fluindo mais depressa que o usual. Isto fará alguma diferença no tempo exigido por toda a jornada? Um abraço à todos e bom final de semana! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Analise em R
Boa, mas eu acho que f eh continua em x = 0. Que tal definir g: R - R como sendo: g(0) = 1, g(1) = 0, g(x) = f(x) se x 0 e x 1 ? on 05.12.03 20:36, Felipe Pina at [EMAIL PROTECTED] wrote: hmm tente o seguinte... f(x) = x se x é racional -x se x é irracional On Fri, 5 Dec 2003 20:00:41 -0200, Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] wrote: Nao estou conseguindo resolvero exercicio 15 da pag 194 do livro Curso de Analise Vol 1 do Elon. Segue o problema: 15. Defina uma bijecao f: R - R que seja descontinua em todos os pontos. Nao visualizei nada. Pensei em construir uma funcao que tivesse em todos os pontos x limites laterais diferentes, mas nao consegui avancar. Alguem tem alguma ideia? - Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] http://grandeabobora.blogspot.com UIN 114153703 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Analise em R
Esta funcao eh continua em x =0...Para todo eps0, basta fazermos d=eps e, para todo x tal que |x| delta, temos |f(x) - f(0)| = |f(x)| eps. Para x0 a funcao eh de fato descontinua. Mas um classico exemplo eh a famosa funcao de Dirichlet: f(x) =1 se x eh racional e f(x) = 0 se x for irracional. Como entre dois reais distintos hah uma infinidade de racionais e de irracionais, torna-se impossivel satisfazer aa condicao eps- delta de continuidade qualquer que seja o real x. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Felipe Pina Sent: Friday, December 05, 2003 8:37 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Analise em R hmm tente o seguinte... f(x) = x se x é racional -x se x é irracional On Fri, 5 Dec 2003 20:00:41 -0200, Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] wrote: Nao estou conseguindo resolvero exercicio 15 da pag 194 do livro Curso de Analise Vol 1 do Elon. Segue o problema: 15. Defina uma bijecao f: R - R que seja descontinua em todos os pontos. Nao visualizei nada. Pensei em construir uma funcao que tivesse em todos os pontos x limites laterais diferentes, mas nao consegui avancar. Alguem tem alguma ideia? - Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] http://grandeabobora.blogspot.com UIN 114153703 -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] FME - V8, GI
Gostaria de saber tambem a opiniao sobre esse volume se alguem puder comentar algo... eh bom? ou perda de tempo? []s Ariel *** MENSAGEM ORIGINAL *** As 13:26 de 4/12/2003 Eduardo Henrique Leitner escreveu: Olá caros amigos, O que vocês acham do livro: Fundamentos de Matemática Elementar, vol 8 - Limites, Derivadas e Noções de Integral, de Gelson Iezzi? é um bom livro pra se começar o estudo de derivadas e integrais ou eh melhor começar por um livro de ensino superior mesmo? grato = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração
Na realidade eh |cos(x)| |sen(x)/x| 1, para x0 Trace um circulo trigonometrico. Para facilitar, considere um arco do 1o quadrante. Trace o raio correspondente a este arco. Prolongue o segmento deste arco ateh que ele encontre a tangente ao circulo tracada pelo ponto (1,0), originando um segmento t. sen(x) eh entao a perpendicular tracada ada extremidade do arco ao eixo X; x eh o comprimento do arco; e t eh a tangente trigonometrica de x. Da Geometria Euclidiana, temos entao que sen(x) x tan(x)= sen(x)/cos(x). Como estamos no 1o quadrante, todos este numeros sao positivos, o que nos leva a 1 x/sen(x) 1/cos(x) e a cos(x) sen(x)/x 1. Nos outros quadrantes, igual raciocinuo nos mostra que estas desigualdades valem para os valores absolutos. Logo, para todo real x0, |cos(x)| |sen(x)/x| 1. Isto nos permite concluir o famosos limite lim x-0 sen(x)/x =1. Sob o ponto de vista de rigor matematico, esta demonstracao, baseada em geometria, eh um tanto imprecisa. Mas ela dah uma excelente visao do que estah acontecendo. Artur Olá pessoal, Estou tendo problemas na resolução da seguinte demonstração: Preciso demonstrar que cos(x) sen(x)/x 1 A demonstração de que o cos(x) e o sen(x)/x são menor do que 1 eu consegui fazer, o problema é quando preciso provar que cos(x) sen(x)/x. Desde já agradeço qualquer ajuda. Abraços Cloves Jr attachment: winmail.dat
Re: [obm-l] Ajuda!
desculpem-me . . errei na definição da integral de linha! isto :int(1 . . 2) || r (x ) || deve ser substituido por :int(1 . . 2) || r'(x ) || Guilherme Carlos Moreira e Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Sharon Guedes [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, será que alguém poderia me ajudarnessas questões? 1) Ache o comprimento do arco suave ( y - 3 )² = 4( x + 2)³ de ( 1, 5) à ( 2,19) . Devemos resolver para y-30. Temos que y = 3 + 2( x + 2 )^3/2. Logo r (x ) = ( x , 3 + ( x + 2 )^3/2 )descreve a curva. Assim , comp.arc = int(curva)dr = int(1 . . 2) || r (x ) || dx. À partir daqui, é fácil. Espero ter ajudado. valeu . . fui! 2) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x = 4 da região plana delimitada pelas curvas y = x² e y = 8 - x². 3)A base de certo sólido é a região do plano xy delimitada pelas parábolas y = x² e x = y². Ache o volume do sólido, se cada seção transversa perpendicular ao eixo x é um qudrado com base no plano xy. At. Sharon. Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora! Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re[2]: [obm-l] FME - V8, GI
Em 5/12/2003, 23:18, Ariel ([EMAIL PROTECTED]) disse: Gostaria de saber tambem a opiniao sobre esse volume se alguem puder comentar algo... eh bom? ou perda de tempo? Fiz exatamente isso no período após passar no vestibular e antes de entrar em sala de aula. O que vi depois de terminar Cálculo I (com o Thomas) eh que o Iezzi não acrescenta praticamente nada. Apenas observo que os exercícios de limites são superiores aos do Thomas e e tão bons quanto o do Apostol. Ateh Igor GomeZZ MirandaIM: ICQ# 29249895 / MSN [EMAIL PROTECTED] Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 6/12/2003 (01:14) # Pare para pensar: Se as pessoas são boas só por temerem o castigo e almejarem uma recompensa, então realmente somos um grupo muito desprezível. (Albert Einstein) # = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvida 2
legal!
mas a parte que você usa o angulo de 15° . .
não há outro jeito de escolhermos um dos dois?Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote:
Achei a minha resolução:Sabendo que:cos 3x = 4cos³ x - 3cos xsen 3x = 3sen x - 4sen³ xPodemos fazer:= cos 5x= cos (3x + 2x)= (cos 3x).(cos 2x) - (sen 3x).(sen 2x)= (4cos³ x - 3cos x).(cos² x - sen² x) - (3sen x -4sen³ x).[2.(sen x).(cos x)]= 4.(cos x)^5 - 4.(cos³ x).(sen² x) - 3cos³ x + 3.(cosx).(sen² x) - [6.(sen² x).(cos x) - 8.(cos x).(senx)^4]= 4.(cos x)^5 - 4cos³ x + 4.(cos x)^5 - 3cos³ x + 3cosx - 3cos³ x - [6cos x - 6cos³ x - 8.(cos x).(1 - cos²x)²]= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - {6cos x - 6cos³ x- 8.(cos x).[1 - 2cos² x + (cos x)^4]}= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [6cos x - 6cos³ x- 8cos x + 16cos³ x - 8.(cos x)^5]= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [10cos³ x - 2cos x- 8.(cos x)^5]= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - 10cos³ x + 2cos x+ 8.(cos x)^5= 16.(cos x)^5 -
20cos³ x + 5cos xE resolvemos a equação:x = 18°cos 5x = cos 90°cos 5x = 016.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x = 0(cos x).[16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5] = 0Ou cos x = 0, que é falso no caso de 18°, ou:16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5 = 0cos² x = [10 +- raiz(20)]/16cos x = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4Precisamos descobrir o sinal dentro da raiz. Como 18está próximo de 15° e o cosseno de 15° é:cos 15 = [raiz(2) + raiz(6)]/4cos 15 = 0,966O valor de cos 18 tem que estar próximo disso:cos 18 = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4raiz[10 + 2raiz(5)]/4 = 0,951raiz[10 - 2raiz(5)]/4 = 0,588Daí concluímos que:cos 18 = raiz[10 + 2raiz(5)]/4E podemos achar o seno de 18° também:sen² 18° = 1 - cos² 18°sen² 18° = 1 - [10 + 2raiz(5)]/16sen² 18° = [6 - 2raiz(5)]/16sen 18° = raiz[6 - 2raiz(5)]/4sen 18° = raiz{[raiz(5) - 1]²}/4sen 18° = [raiz(5) - 1]/4Abraços,Rafael.---
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet<[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Verdade...E bem mais fazcil do que eu imaginava... Mas a ideia e de que quase sempre e possivel ver um poligono regular...E eu estava tentando uma resposta cearense Rafael <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Peter, Você que gosta, uma vez eu achei esse valor usando trigonometria assim: Ache o cos 5x em função do cos x cos 5x = (cos 2x).(cos 3x) - (sen 3x).(sen 2x) E quando chegar numa expressão só em função de cos x você iguala cos 5x = cos 90° Não foi tão difícil... Abraços, Rafael. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet escreveu: Nao faço muita ideia mas acho que usa o fatoo de que o angulo central e o angulo externo de um 20-agono e de dezoito
graus.Isto tem a ver com o problema que Gauss resolveu com Galois Talvez usando trigonometria saia...Tente assim:faça um desenho e calcule o lado de um 20-agono de raio 1.Talvez seja facil ver que para construir esta coisa e mais facil ver um pentagono ou um decagono...[EMAIL PROTECTED] wrote: quanto vale o sen18º como calculo __Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora:http://mail.yahoo.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
