Re: [obm-l] HawKing tambem percebeu ...
Ola Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-l, Nao, o texto nao e meu. Eu o encontrei na Internet. Destaquei porque o Hawking sempre foi um cara que acreditou numa teoria global, nos moldes do SONHO DE EINSTEIN e a teoria M ( strings ), capitaneada sobretudo por Fisicos de Harvard, e a tentativa mais forte, atualmente, de se chegar a esta tao sonhadada unificacao. Agora parece que a turma da Teoria M perdeu o apoio do Hawking. Claramente que ninguem e pitonisa pra prever o futuro, e pode ser que o Green e seus colegas das strings estejam certos e tenham sucesso, mas eu avalio que uma tentativa como essa e, em verdade, um retrocesso e indubitavelmente ignora muitos fatos ( Como o Teorrema de Godel, o experimento de Aspect ) ja bem consolidados que sinalizam em outras direcoes ... Olhando a historia da Ciencia e da Matematica em particular, parece certo dizer que cada epoca tem suas ideias e suas conquistas ... Um exemplo evidente disso foi com o advento do calculo diferencial. Este calculo nao foi fruto do diletantismo de alguns. Ele era absolutamente necessario nao so para que a Matematica resolvesse muitos problemas propostos e insinuados, mas tambem fundamental para o progresso da Fisica e, por tabela, da Tecnologia e da Industria. Dele adveio as EDO, EDP, Geometria Diferencial, Calculo das Variacoes e, portanto, ele foi o modelador e substrato do progresso que nos presenciamos. Isso vale hoje, tambem ... Olhando o mundo a nossa volta, com os seus problemas e, portanto, com nossos desafios, podemos sentir que certas linhas de pensamento nao se coadunam adeguadamente com eles. Claramente que isso e altamente subjetivo e cada inteligencia tem uma forma particular de ver as coisa. Todavia, quando pessoas capazes e diferentes vao chegando a conclusoes parecidas, mesmo que so insinuadas, e prudente supor que a algo serio ai ... Um Abraco Paulo Santa Rita 6,0959,160104 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] HawKing tambem percebeu ... Date: Thu, 15 Jan 2004 19:05:08 -0200 MIME-Version: 1.0 Received: from mc6-f34.hotmail.com ([65.54.252.170]) by mc6-s10.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6824); Thu, 15 Jan 2004 13:13:31 -0800 Received: from saci.mat.puc-rio.br ([139.82.27.51]) by mc6-f34.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6824); Thu, 15 Jan 2004 13:13:30 -0800 Received: from saci.mat.puc-rio.br (localhost [127.0.0.1])by saci.mat.puc-rio.br (8.12.8/8.12.8) with ESMTP id i0FL4UxF030678for [EMAIL PROTECTED]; Thu, 15 Jan 2004 19:04:30 -0200 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by saci.mat.puc-rio.br (8.12.8/8.12.8/Submit) id i0FL4Tst030676for obm-l-MTTP; Thu, 15 Jan 2004 19:04:29 -0200 Received: from mat.puc-rio.br (IDENT:[EMAIL PROTECTED] [139.82.27.7])by saci.mat.puc-rio.br (8.12.8/8.12.8) with ESMTP id i0FL4TxF030673for [EMAIL PROTECTED]; Thu, 15 Jan 2004 19:04:29 -0200 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id TAA12201for [EMAIL PROTECTED]; Thu, 15 Jan 2004 19:05:08 -0200 X-Message-Info: oPbp7me323S5iFbX9fVTuZaDDbSlqixHaeQL77CLZKQ= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] References: [EMAIL PROTECTED] User-Agent: Mutt/1.2.5i In-Reply-To: [EMAIL PROTECTED]; from [EMAIL PROTECTED] on Thu, Jan 15, 2004 at 06:31:25PM + Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 15 Jan 2004 21:13:31.0030 (UTC) FILETIME=[6D406360:01C3DBAC] On Thu, Jan 15, 2004 at 06:31:25PM +, Paulo Santa Rita wrote: Vejam abaixo como o Stephen Hawking percebe as coisas ... Eu não entendi bem de onde saiu o texto. É de autoria do próprio Paulo Santa Rita? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Aula da Semana Olímpica - níveis 3 e U
O endereço disponibiliza 2 programas: O Ghostscript e o Gsvi ew. Eh necessario fazer download dos dois ? Sim... os dois são necessários. GSview: ftp://mirror.cs.wisc.edu/pub/mirrors/ghost/ghostgum/gsv46w32.e xe GhostScript: ftp://mirror.cs.wisc.edu/pub/mirrors/ghost/AFPL/gs813/gs813w32 .exe Ps: Tentei ha algumas semanas atras fazer o download, mas oc orreram problemas... Acredito que nao seje offi- topic esta minha duvida sobre um programa essencial para quem quer ler excelentes artigos matematicos. .. Em uma mensagem de 15/1/2004 16:30:32 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi! Eu coloquei a minha aula na Semana Olímpica 2004, para os níveis 3 e U, sobre Códigos Corretores de Erros, no link http://www.geocities.com/cyshine/codigos.ps Observe que este arquivo é .ps, assim quem quiser ler precisar baixar um visualizador de Post Script. As instruções de onde conseguir software podem ser encontradas, por exemplo, em http://www.teorema.mat.br/softwares.html E devo avisar para quem vai para a Semana Olímpica que não pretendo tirar cópias em papel desta aula. Seriam 1500 cópias (750 se fosse frente e verso) e eu prezo pela preservação das árvores daqui da minha região, que já são escassas. []'s Shine --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Existe um analogo da inercia a rotacao com o principio de Cavalieri?
Ola Drichlet e demais colegas desta lista ... OBM-L, Inercia da rotacao em relacao a um eixo e o que se chama MOMENTO DE INERCIA. Deve ser isso que voce busca. Se for, todo livro de Fisica Elementar mostra os valores para varias simetrias e a integral geral correspondente. Eu nao percebo relacao entre este conceito e o Principio de Cavalieri, afora o fato de que este principio tambem poder ser expresso por uma integral [ Integral(area)=volume ] Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1028,160104 From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Ola turma da lista Agora ha pouco eu estava pensando em uns problems classicos de fisica (mecanica newtoniana).Entao pensei se nao ha algum modo de determinar a inercia a rotaçao de um corpo em relaçao a um eixo de rotaçao, fazendo uma analogia entre isto e o principio de Cavalieri (aquele que ajuda a calcular a area da esfera sem muito esforço). O que voces me dizem? - Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
On Thu, Jan 15, 2004 at 11:31:57PM -0200, Rafael wrote:
Infelizmente, alguns autores não consideram o zero como sendo
um número positivo ou negativo.
Na França, 0 é considerado positivo *e* negativo.
Assim, para Bourbaki o conjunto dos inteiros positivos é {0,1,2,...}
Se você quer excluir o zero, você deve dizer 'estritamente positivo'
ou 'estritamente negativo'.
Para o resto do mundo, 0 não é nem positivo nem negativo.
Assim, para a maioria do mundo o conjunto dos inteiros positivos
é {1,2,3,...}. O conjunto {0,1,2,3,...} pode ser chamado de
conjunto dos inteiros não negativos.
Ou, mais rigorosamente, não o consideram como número algébrico.
Isto eu acho bem mais estranho.
Para mim um número algébrico é um número que é raiz de algum polinômio não nulo
com coeficientes inteiros. Assim, por exemplo, sqrt(2) + sqrt(3) é algébrico
pois é raiz do polinômio x^4 - 10 x^2 + 1 mas o número pi não é algébrico
pois não existe nenhum polinômio não nulo de coeficientes inteiros com a raiz
pi (mas isto não é tão fácil de demonstrar). Neste sentido é bem óbvio que
o número 0 é algébrico: é raiz do polinômio x.
Existem definições equivalentes: por exemplo, podemos dizer que x é algébrico
se existe um corpo K com x em K, Q um subcorpo de K e K de dimensão finita
se considerado como Q-espaço vetorial. Mas nunca vi a expressão 'número
algébrico' ser usada para um conceito realmente diferente e eu acharia
péssima idéia fazer isso.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Aula da Semana Olímpica - níveis 3 e U
On Thu, Jan 15, 2004 at 09:42:00PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: O endereço disponibiliza 2 programas: O Ghostscript e o Gsview. Eh necessario fazer download dos dois ? Ps: Tentei ha algumas semanas atras fazer o download, mas ocorreram problemas... Acredito que nao seje offi-topic esta minha duvida sobre um programa essencial para quem quer ler excelentes artigos matematicos... É off-topic mas é tolerável. Se você instalar Linux você terá tudo o que precisa já na instalação. Se você estiver usando Windows e não desejar instalar outro sistema operacional, uma opção é o GnuWin, um projeto que leva para Windows um monte de programas Gnu+Linux. O endereço da página em protuguês é: http://gnuwin.epfl.ch/pt/index.html Você pode baixar grátis a imagem do CD ou comprar o cd já pronto em vários lugaress (não é caro), por exemplo: http://cheapiso.com http://www.cheapbytes.com []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] mais limites...
lim x^[1/(x^2)] x- +infinito tipo, eu consigo perceber intuitivamente que dá 1, mas não consigo demonstrar um cálculo certo... alguém poderia me ajudar? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dados e equações
Tenho um problema não muito simples (pelo menos p/ mim...). E aí vai: Lançam-se n dados perfeitos. Determine a probabilidade de que a soma das faces voltadas p/ cima, ao cair em solo,de um número k. (n=k=6n). Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
[obm-l] +- e -+
Por curiosidade, eu gostaria de saber a diferença entre +- (O sinal de + em cima do sinal de -) e -+ (O sinal de - em cima do sinal de +). Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvidas !!!
Me chamo Leonardo e é a primeira vez que mando uma
mensagem para a lista. Se for possível uma ajuda,
agradeço desde já.
Um abraço e até a próxima.
Segue aí uns 10 probleminhas:
1) Seja uma função F:Z+*#8594;Z+, atendendo às seguintes
condições:
a) F(m*n) = F(m) + F(n);
b) F(n) = 0, se o último algarismo de n é 3;
c) F(10) = 0.
Demonstre que F(n) = 0 para todo inteiro positivo n.
2) Verifique que n^2 + 3n + 5 nunca é divisível por 121,
qualquer que seja n.
3) Seja D = {(x, y) #1028; R2 | 0 x 1, 0 y 1} e F:D#8594;R2
uma função tal que V(significa: para todo) (x, y) #1028; D
associa (X, Y) #1028; R2 onde X = y e Y = (1 y)x.
a) Sendo T = {(X, Y) | X 0, Y 0, X + Y 1}, mostre
que F é uma bijeção de D sobre T;
b) Esboce a imagem dos conjuntos da forma {(x, y) #1028; D |
y = #955;x} para os seguintes valores de #955;: #955; = ¼, #955;' = ½,
#955;'' = 1.
4) Ache os dois últimos algarismos de 2^1997.
Obs.: Neste exercício só consegui achar o último
algarismo (unidades) que é 2, mas o das dezenas não tenho
nem idéia.
5) Seja F:N#8594;N tal que F(1) = 1, F(2k +1) = F(2k) + 1, F
(2k) = 2F(k), k #1028; N. Determine F(n) em função de n.
6) rc(x + rc(1- x)) = 3/2.
Obs.: rc quer dizer raiz cúbica.
7) Prove que existem 2[2^(n-1) 1] maneiras distintas de
se distribuir n cartas para dois jogadores.
Obs.: Os jogadores devem receber o mesmo número de cartas.
8) Se um quadrilátero cujos lados medem a, b, c e x está
inscrito num semi-círculo de diâmetro x, então:
x^3 (a^2 + b^2 +c^2)x 2abc = 0
9) Em um país, as distâncias entre todas as suas cidades
são distintas duas a duas. Certo dia, de cada cidade
parte um avião, com destino à cidade mais próxima.
Demonstre que em nenhuma cidade aterrissaram mais de 5
aviões.
10) Prove que log n k*log 2 , onde n é um número
natural e k é o número de primos distintos que dividem n.
Obs.: Log é a função logarítimica na base 10.
__
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Re: [obm-l] Dúvidas !!!
dasilvalg wrote: 10) Prove que log n k*log 2 , onde n é um número natural e k é o número de primos distintos que dividem n. Obs.: Log é a função logarítimica na base 10. Mas isso aqui não é verdade, né? Pegue por exemplo n=2, nesse caso k=1 e teríamos log 2 1.log 2 = log 2 log 2, que é falso. Se você consertar o enunciado pra log n = k*log 2, aí sim o problema tem solução. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] +- e -+
eu acho que assim, tipo, quando vc tem uma expressao: E = x^3 + x^2 - x em que x = +- a entao E = +-a^3 + a^2 -+a entende? se vc utilizar o mais no primeiro monomio, entao vc usa o - no terceiro monomio eu acho que deve ser isso... On Fri, Jan 16, 2004 at 02:30:58PM -0200, Victor Luiz wrote: Por curiosidade, eu gostaria de saber a diferença entre +- (O sinal de + em cima do sinal de -) e -+ (O sinal de - em cima do sinal de +). Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] +- e -+
um exemplo simples: suponha que as soluções para um sistema de duas váriáveis seja (1, -1) e (-1, 1), de maneira sucinta você pode escrever (+/-1,-/+1) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas !!!
Foi mal, eu copiei errado, faltava o sinal de =. Valeu. Ricardo respondeu: dasilvalg wrote: 10) Prove que log n k*log 2 , onde n é um número natural e k é o número de primos distintos que dividem n. Obs.: Log é a função logarítimica na base 10. Mas isso aqui não é verdade, né? Pegue por exemplo n=2, nesse caso k=1 e teríamos log 2 1.log 2 = log 2 log 2, que é falso. Se você consertar o enunciado pra log n = k*log 2, aí sim o pro blema tem solução. Ricardo Bittencourt http://www.mundobi zarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo sh imashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas !!!
dasilvalg wrote: Foi mal, eu copiei errado, faltava o sinal de =. Valeu. Ah, então agora dá pra continuar. Fatore n como: n=p1^a1 . p2^a2 . pn^an Sabemos que pj^aj = pj = 2, logo n=p1^a1 . p2^a2 . pn^an n= p1 . p2 . ... pn n= 2 . 2 . . 2 n= 2^k log n = k log 2 QED Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] mais limites...
lim x^[1/(x^2)] x- +infinito tipo, eu consigo perceber intuitivamente que dá 1, mas não consigo demonstrar um cálculo certo... alguém poderia me ajudar? Reescreva x^(1/x^2) como exp(ln(x)/x^2). Temos então exp(lim(ln(x)/x^2)). Agora é só usar L'Hopital aí dentro e ver que isso dá exp(0). Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] mais limites...
mm, valeu! preciso aprender L'Hopital... parece ser a solução de todos os meus problemas... =) On Fri, Jan 16, 2004 at 07:55:33PM -0200, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote: lim x^[1/(x^2)] x- +infinito tipo, eu consigo perceber intuitivamente que dá 1, mas não consigo demonstrar um cálculo certo... alguém poderia me ajudar? Reescreva x^(1/x^2) como exp(ln(x)/x^2). Temos então exp(lim(ln(x)/x^2)). Agora é só usar L'Hopital aí dentro e ver que isso dá exp(0). Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PARADOXO DE SÃO PETERSBURGO
Turma! a título de curiosidade, vale salientar que no século XVIII, os mais eminentes probabilistas franceses, numa correspondência trocada entre S. Petersburgo e Paris, enunciaram e estudaram de forma aprofundada o problema: Pedro e Paulo combinam disputar, com as convenções abaixo, uma série de partidas de cara ou coroa ou de um jogo análogo em que ambos os parceiros possuem iguais possibilidades. Se Pedro ganhar a primeira partida, Paulo lhe pagará 2 francos e o jogo acabará. Se Pedro perder a primeira e vencer a segunda, Paulo lhe pagará 4 francos e o jogo terminará...; se Pedro perder as n-1 primeiras partidas e ganhar a n-ésima, Paulo lhe dará em francos 2 elevado a n-ésima potência e o jogo acabará. O problema consiste em determinar qual deve ser a parada de Pedro, isto é, a soma que ele terá de pagar a Paulo, antes de começar o jogo,em troca das promessas que lhe são feitas. NOTA: O resultado paradoxal é que esta parada deverá ser infinita; em outros termos, qualquer que seja a parada fixa que lhe fôr exigida, o partido de Pedro é vantajoso, isto é, Pedro poderá revender mais caro, antes de iniciar o jogo, as promessas que recebeu. WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dados e equações
On Fri, Jan 16, 2004 at 01:32:45PM -0300, Erasmo de Souza Dias wrote: Tenho um problema não muito simples (pelo menos p/ mim...). E aí vai: Lançam-se n dados perfeitos. Determine a probabilidade de que a soma das faces voltadas p/ cima, ao cair em solo, de um número k. (n=k=6n). O número total de maneiras é 6^n, você precisa calcular o número de maneiras de obter a soma k, ou seja, o número de soluções (inteiras) de x1 + x2 + ... + xn = k, 1 = x1, x2, ..., xn = 6. Vamos primeiro calcular o número de soluções de x1 + x2 + ... + xn = k, 1 = x1, x2, ..., xn. (*) Este problema você deve conhecer, a resposta é binomial(k-1,n-1). Agora precisamos jogar fora as soluções grandes demais, ou seja x1 + x2 + ... + xn = k, 1 = x1, x2, ..., xn, 7 = xi para algum i, 1 = i = k. Ora, tomando xi' = xi - 6 isto equivale a contar as soluções de x1 + x2 + ... + xi' + ... + xn = k - 6, 1 = x1, x2, ..., xi', ... xn o que é um problema exatamente análogo a (*), trocando apenas o valor de k, e tem portanto binomial(k-7,n-1) soluções. Para cada valor de i precisamos jogar isto fora então nossa estimativa para o número de soluções está em binomial(k-1,n-1) - n*binomial(k-7,n-1). Mas esta ainda não é a resposta certa: afinal se existirem duas variáveis i1 e i2 que são = 7, esta solução (que não deveria ser contada) entrou uma vez mas saiu duas vezes! Precisamos contar estas soluções para somá-las de volta uma vez e acertar a conta (este método que estamos usando chama-se o método da união e interseção). Para cada par i1, i2 com i1 i2 podemos repetir o truque e fazer xi1' = xi1 - 6, xi2' = xi2 - 6 e temos binomial(k-13,n-1) soluções. Como existem binomial(n,2) pares i1, i2, nossa estimativa atual é binomial(k-1,n-1) - n*binomial(k-7,n-1) + binomial(n,2)*binomial(k-13,n-1) que eu prefiro escrever como SOMATÓRIO (-1)^a binomial(n,a) binomial(k-1-6a,n-1) 0 = a = 2 É claro que ainda não acabou: se existirem três variáveis i1, i2, i3 = 7, a solução entrou uma vez, saiu três, entrou três e está sendo contada quando não deveria estar: precisamos tirá-la (uma vez): SOMATÓRIO (-1)^a binomial(n,a) binomial(k-1-6a,n-1) 0 = a = 3 Acho que você já adivinhou que para acertar tudo basta fazer SOMATÓRIO (-1)^a binomial(n,a) binomial(k-1-6a,n-1) 0 = a e a resposta do seu problema é isto aí dividido por 6^n. === Outra forma de fazer a conta é usar funções geradoras. Para um dado a função geradora é f(x) = (1/6) x + (1/6) x^2 + ... + (1/6) x^6 = x(x^6 - 1)/(6(x-1)) O significado disso é o seguinte: o coeficiente de x^k é a probabilidade de obtermos a resposta k. Para n dados a função geradora é (f(x))^n = x^n(x^6 - 1)^n/(6^n(x-1)^n) e o que você quer é o coeficiente de x^k neste polinômio. Com um pouco de álgebra dá para chegar à mesma fórmula que nós vimos acima. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] PARADOXO DE SÃO PETERSBURGO
On Fri, Jan 16, 2004 at 08:13:41PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Turma! a título de curiosidade, vale salientar que no século XVIII, os mais eminentes probabilistas franceses, numa correspondência trocada entre S. Petersburgo e Paris, enunciaram e estudaram de forma aprofundada o problema: Pedro e Paulo combinam disputar, com as convenções abaixo, uma série de partidas de cara ou coroa ou de um jogo análogo em que ambos os parceiros possuem iguais possibilidades. Se Pedro ganhar a primeira partida, Paulo lhe pagará 2 francos e o jogo acabará. Se Pedro perder a primeira e vencer a segunda, Paulo lhe pagará 4 francos e o jogo terminará...; se Pedro perder as n-1 primeiras partidas e ganhar a n-ésima, Paulo lhe dará em francos 2 elevado a n-ésima potência e o jogo acabará. O problema consiste em determinar qual deve ser a parada de Pedro, isto é, a soma que ele terá de pagar a Paulo, antes de começar o jogo,em troca das promessas que lhe são feitas. NOTA: O resultado paradoxal é que esta parada deverá ser infinita; em outros termos, qualquer que seja a parada fixa que lhe fôr exigida, o partido de Pedro é vantajoso, isto é, Pedro poderá revender mais caro, antes de iniciar o jogo, as promessas que recebeu. Eu pelo menos não acho isso tão paradoxal assim. Pedro estaria sendo ingênuo se ele acreditasse que uma promessa destas iria ser honrada. Será que ele acha mesmo que se ele perder 50 partidas e ganhar a de número 51 ele algum dia vai ver a cor dos 2^51 francos que Paulo deveria pagar?! Se você colocar um prêmio máximo que o Paulo *vai* pagar (ou seja, que ele tem como pagar) e reconhecer que acima disso melou tudo, o Paulo paga apenas o valor máximo mesmo, o valor fica sendo finito e o paradoxo desaparece. Por exemplo, se Paulo pagar no máximo 2^20 francos o valor esperado do pagamento de Paulo será 2/2 + 4/4 + ... + 2^20/2^20 + 2^20/2^20 = 21 francos. Note que 2^20 é aproximadamente um milhão. Se Paulo puder pagar até 2^30 francos (pouco mais de um bilhão), o valor esperado fica sendo 31 francos. Acima disso fica muito irreal (e note que o valor esperado sobe como o log do valor máximo que Paulo paga, ou seja, muito devagar). Ou seja, eu não recomendaria que Pedro pagasse mais do que 20 ou estourando 30 francos por esta aposta. Provavelmente até 20 é acreditar demais na palavra do Paulo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Apresentação Conjectura sobre DNA
Olá Pessoal.
Primeiramente deixe-me apresentar.
Meu nome é Ronaldo L. Alonso e sou aluno de doutorado do ICMC-USP São
Carlos. Participei de algumas olimpíadas de matemática quando era
adolescente, mas
hoje me dedido à pesquisa matemática/computacional e dou aulas. O fato
é que nunca
obtive resultados significativos, apenas um terceiro lugar em 1992 na
olimpíada paulista de
escolas estaduais.
Atualmente pesquiso o problema do novelamento protéico
usando técnicas matemáticas (para quem não sabe o que é o problema, pode
acessar
meu site e dar uma olhada nas animações em flash:
www.ronaldoalonso.hpg.com.br ).
Basicamente consiste em descobrir como a sequência de aminoácidos
determina a forma
geométrica da proteína. Eu *realmente* acredito que este problema pode
ser resolvido
com dinâmica simbólica. Talvez o Nicolau deva se interessar pelo
problema.
A idéia da dinâmica simbólica é produzir um espaço topológico
de símbolos e trabalhar com
os símbolos desse espaço para deduzir propriedades de sistemas dinâmicos
como
órbitas periódicas, bifurcações etc. Como o DNA é um computador
químico, mas não sabemos as regras que ele usa para codificar proteínas eu
acredito muito que
a dinâmica simbólica poderia ajudar a esclarecer isso (e trazer o Nobel a
quem resolver o problema).
Quem já conhece dinâmica simbólica pode pular essa pequena introdução:
Sistemas dinâmicos como o mapa logístico (Devaney -- Introdução
aos Sistemas Dinâmicos) são discretizados no tempo e o
comportamento do
sistema é estudado apenas em ticks do relógio.
A idéia da dinâmica simbólica é discretizar o espaço também. Um
exemplo simples:
Seja T = [0,1) (Notar que este intervalo é chamado de T, pois T^2 é o
toro bidimensional = T x T). Consideramos então a partição topológica de
T em
abertos :P = {(0,1/10) ,(1/10,2/10) ,(2/10,3/10) ,..., (9/10,1)} (T foi
dividido
em 10 subintervalos).
Essa partição topológica não é uma partição no sentido comum, pois a
união dos subintervalos não cobre T.
Considere a parte inteira multiplicação de um número entre T = [0,1)
por 10 módulo 1.
Isto é x(n+1) = (x(n)*10) mod 1. Cada vez que multiplicamos x por 10
e tiramos módulo 1,
o resultado cai em um dos subintervalos acima da partição P. Se cair
no primeiro, associamos
o símbolo 1, no segundo, o símbolo 2 e assim por diante.
x(1)= x(0)*10 mod 1 == 0.32632632... == Símbolo 3 (está na
terceira partição)
x(2) = x(1)*10 mod 1 == 0.2632632... == Símbolo 2 (está na
segunda partição)
x(3) = x(2)*10 mod 1 == 0.632632... == Símbolo 6 (está na sexta
partição)
x(4) = x(3)*10 mod 1 == 0.32632... == Símbolo 3 (está na terceira
partição)
.
Neste caso, se x for um número
racional a sequência
de símbolos obtidos corresponde à expansão decimal de x. Exemplo: x =
0.632632632...
Notar, neste caso, que o alfabeto é S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. E a
sequência de símbolos
obtida no exemplo acima descreve uma órbita periódica do sistema
dinâmico dado pela equação
x(n+1) = (x(n)*10) mod 1.
É claro que nem todas as partições topológicas dão informações
qualitativas sobre as propriedades
do sistema dinâmico. Para obter informações relevantes, é necessário
produzir partições topológicas
com propriedades mágicas. As partições mais interessantes são as
partições de Markov. Roy Adler
provou que sempre quando um sistema dinâmico é expansível em uma direção e
contratível em outra,
ele admite uma partição de Markov.
Por que é interessante ter uma partição de Markov no espaço de um
sistema dinâmico?
Bem, basicamente porque neste caso, podemos produzir um novo espaço
topológico (desta vez discreto)
conjugado ao espaço original do sistema dinâmico que estamos
estudando e as sequências neste novo
espaço que não são admitidas, podem ser descritas por grafos!! Além
disso, a partir da matriz de
adjacência do grafo, podemos usar todas as ferramentas da álgebra
linear para deduzir propriedades
do sistema .
Este novo espaço, é chamado espaço de shift (shift space). E
os pontos neste espaço são sequências
bi-infinitas de símbolos. Este espaço é também um espaço métrico
(possui uma métrica), o que o torna
bastante interessante para estudo.
Alonso's Cojecture :)
Uma das conjecturas que tive a uns anos atrás era que a sequência
de símbolos (aminoácidos)
de uma proteína determinava a posição destes símbolos (aminoácidos) na
partição do espaço tridimensional determinada
pelo sistema dinâmico gerado por esta sequência, isto é, a proteína é
um sistema dinâmico cujo comportamento
depende dos símbolos nele
Re: [obm-l] Provar desigualdades
1) a^2 b^2 se b a 0 a^2 - b^2 0 (a+b)*(a-b) 0 a-b = NEGATIVO (pois b a) a+b = POSITIVO (pois b 0) Entao: (a+b)*(a-b) 0 a^2 b^2 se b a 0 2) a + a^(-1) = 2 se a 0 a + 1/a = 2 Como a esta no denominador ele deverah ser # 0 Caso 1 (a0) (negativo) + 1/(negativo) = 2 (impossivel) Caso 2 (a0) (positivo) + 1/(positivo) = 2 (OK) Ps: Mesmo se tivermos um numero positivo bem pequeno a desigualdade sera verdadeira. Veja o caso 0,1: 0,1 + 1/(0,1) =2 10,1 = 2 3) (a + b)/2 = (ab)^(1/2) se a,b 0 (a + b)/2 = sqrt(ab) Considerando o conjunto dos reais, temos que ab 0 pois eh radicando.Logo vamos excluir a hipotese de que a e b possuem sinais opostos. Para ab 0: a0 e b0 (hipotese 1) OU a0 e b0 (hipotese 2) A hipotese 2 eh inconveniente, pois: (a + b)/2 = (ab)^(1/2) (negativo + negativo)/2 = (negativo)*(negativo)^(1/2) negativo = positivo (IMPOSSIVEL) Considerando por exclusao a correta eh a hipotese 1, ou faca o mesmo que fiz acima com a hipotese 1 e provar-se-a que: (a + b)/2 = (ab)^(1/2) se a,b 0 Em uma mensagem de 16/1/2004 14:31:22 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá. Estou em dúvida em como provar as desigualdades abaixo, eu cheguei em algumas conclusões mas não sei se é essa a prova que pede. Agradeceria também se pudessem me explicar mais detalhadamente o que seria "provar" pois de vez em quando me surgem algumas dúvidas. Obrigado. a^2 b^2 se b a 0 a + a^(-1) = 2 se a 0 (a + b)/2 = (ab)^(1/2) se a,b 0
Re: [obm-l] Provar desigualdades
É fácil ver que a igualdade só se verifica se a = 1, pois a equação a^2 - 2a + 1 só admite uma raiz (a == 1) e como temo um quadrado perfeito ele é sempre = 0. 2) a + a^(-1) = 2 se a 0 Caso 2 (a0) (positivo) + 1/(positivo) = 2 (OK) Ps: Mesmo se tivermos um numero positivo bem pequeno a desigualdade sera verdadeira. Veja o caso 0,1: 0,1 + 1/(0,1) =2 10,1 = 2
Re: [obm-l] Provar teoremas.
Agradeceria também se pudessem me explicar mais detalhadamente o que seria "provar" pois de vez em quando me surgem algumas dúvidas. Obrigado. Para provar, vctem que cobrir todas as possibilidades lógicas da tabela verdade que você está querendo provar . Se você chegou a um resultado, por outro lado, o teorema deve ser enunciado segundo aquilo que você obteve . É claro que não basta trabalhar mecanicamente. É preciso um "feeling", ou seja, uma heurística sobre o caminho que deve ser seguido, senão a prova pode demorar anos, mesmo para supercomputadores! Existe muita mal interpretação dos resultados matemáticos e erros cometidos em provas matemáticas por pessoas, pois elas não funcionam como computadores!!! Exemplo Jocoso: "Todo viado é míope". Se vc disser isso para um míope, provavelmente será "socado" por ele. O que não é necessariamente verdadeiro, pois nem todo míope é viado. Exemplo prático: Teorema: Se A, B e C são veradeiros então Z é verdadeiro. Isso nos dá a seguinte tabela verdade: A B C Z F F F ? F F V ? F V F ? F V V ? V F F ? V F V ? V V F? V V V V Note que só concluímos que Z é verdadeiro se A, B e C o forem. Não podemos concluir que Z é falso se, digamos, A é falso! Na realidade se A é falso não concluímos nada. Em matemática, temos a condição "se e somente se" (iff). Neste caso se um dos itens forem falsos podemos concluir que a proposição é falsa. Exemplo: Teorema: Z é verdadeiro se e somente se A, B e C são veradeiros. Isso nos dá a seguinte tabela verdade: A B C Z F F F F F F V F F V F F F V V F V F F F V F V F V V FF V V V V Raciocinar com tabelas verdades e álgebra booleana é um meio prático para provar teoremas difícies. E os computadores fazem isso bem!!! Inclusive quando o primeiro provador de teoremas foi construído, Bertrand Russel ficou maravilhado com uma nova demonstração que o computador tinha dado para um de seus teoremas Se o computador consegue então*certamente* a gente também consegue.E de uma maneira muito melhor, ora!! []s Ronaldo L. Alonso
