[obm-l] Perguntas de trigonometria
Colegas da lista, me tire algumas duvidas. 1. A função y=sen(x^2) não é períodica.Como demonstrar? 2. A função y=sen(x^n) onde é um racional, posso ter período para n diferente de um.Se não como faço para demonstrar. 3. A função y=sen2 ( seno de 2 graus ou seno de 2 radiano).Que notação eu uso parar diferenciar ?
RE: [obm-l] Teorema do confronto
Gostaria de saber se alguém conhece um site ou pode me demonstrar o teorema do confronto de uma maneira detalhada. Bom, primeiramente, vamos enunciá-lo: -- Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche): Uma função comprimida entre duas funções que tendem ao mesmo limite L, deve tb tender a L. Ou seja: Se existir um n° positivo p com a propriedade de que: g(x) = f(x) = h(x) para todo x que satisfaça as desigualdades: 0 |x-a| p e se lim[x--a] g(x) = L e lim[x--a] h(x) = L então: lim[x--a] f(x) = L = Prova: Seja dado E0 (epslon0), escolha números positivos d1 e d2 (delta1 e delta 2) de modo que: 0|x-a|d1 implica em L - E g(x) L + E e 0|x-a|d2 implica em L - E h(x) L + E Defina d (delta) como o menor dos números p, d1 e d2. Então: 0|x-a|d implica em L - E g(x) = f(x) = h(x) L + E Logo |f(x) - L| E.C.Q.D. e c'est fini. Abs, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas
Acho que aqui o critério da integral eh de fato um dos mais indicados. A comparacao com a serie harmonica nao prove informacao, porque, para todo r0, para n suficientemente grande temos 1/(n*log(n)^r) 1/n. Como a serie harmonica diverge, nada concluimos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Arlane Manoel S Silva Enviada em: sábado, 7 de abril de 2007 14:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Olá Cláudio. Pode haver uma outra forma, mas eu usaria o critério da integral. seja bem-vindo. Citando Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Teorema do confronto
Talvez haja algum site, faca uma pesquisa em Mathworld ou no Google. Mas o
teorema diz o seguinte, supondo-se funcoes definidas em R^n e com valores em R.
Sejam f , g e h funcoes definidas en V - {a}, onde a eh um elemento de R^n e V
uma vizinhanca de a. Suponhamos que lim x - a f(x) = lim (x - a) h(x) = L e
que f(x) = g(x) = h(x) para todo x de V - {a}. Entao, lim (x -.a) g(x) = L.
Prova:
Da definicao de limite, segue-se que, para todo eps0, existem vizinhancas V_f
e V_h de a tais que
L - eps f(x) L + eps para x em V_f - {a} e L - eps h(x) L + eps para
x em V_g - {a}. Sendo V_g = V_f inter V_h inter V, temos que V_g eh uma
vizinhanca de a. Em V_g - {a} valem estas duas ultimas desigualdades, assim
como a do enunciado do teorema. Combinando estas 3 desigualdades, para todo x
de V_g - {a} temos que
L - eps = f(x) = g(x) = h(x) L + eps = |g(x) - L| eps. Como eps eh
arbitrario, a definicao de limite implica que lim (x -a) g(x) = 0.
Se vc quiser mais informacoes e nao achar em Portugues, procure squeeze theorem
em Ingles.
Abracos
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Diego Alex Silva
Enviada em: domingo, 8 de abril de 2007 01:14
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Teorema do confronto
Gostaria de saber se alguém conhece um site ou pode me demonstrar o teorema do
confronto de uma maneira detalhada.
RES: [obm-l] Teorema do confronto
Ah, corrigindo uns erros de digitacao, que vi depois que ja tinha enviado:
Eh L - eps h(x) L + eps para x em V_h - {a}. (Nap v_g - {a})
E a conclusao final eh lim (x -a) g(x) = L, nao 0..
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Artur Costa Steiner
Enviada em: segunda-feira, 9 de abril de 2007 10:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] Teorema do confronto
Talvez haja algum site, faca uma pesquisa em Mathworld ou no Google. Mas o
teorema diz o seguinte, supondo-se funcoes definidas em R^n e com valores em R.
Sejam f , g e h funcoes definidas en V - {a}, onde a eh um elemento de R^n e V
uma vizinhanca de a. Suponhamos que lim x - a f(x) = lim (x - a) h(x) = L e
que f(x) = g(x) = h(x) para todo x de V - {a}. Entao, lim (x -.a) g(x) = L.
Prova:
Da definicao de limite, segue-se que, para todo eps0, existem vizinhancas V_f
e V_h de a tais que
L - eps f(x) L + eps para x em V_f - {a} e L - eps h(x) L + eps para
x em V_g - {a}. Sendo V_g = V_f inter V_h inter V, temos que V_g eh uma
vizinhanca de a. Em V_g - {a} valem estas duas ultimas desigualdades, assim
como a do enunciado do teorema. Combinando estas 3 desigualdades, para todo x
de V_g - {a} temos que
L - eps = f(x) = g(x) = h(x) L + eps = |g(x) - L| eps. Como eps eh
arbitrario, a definicao de limite implica que lim (x -a) g(x) = 0.
Se vc quiser mais informacoes e nao achar em Portugues, procure squeeze theorem
em Ingles.
Abracos
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Diego Alex Silva
Enviada em: domingo, 8 de abril de 2007 01:14
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Teorema do confronto
Gostaria de saber se alguém conhece um site ou pode me demonstrar o teorema do
confronto de uma maneira detalhada.
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas
-Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Artur Costa Steiner Enviada em: segunda-feira, 9 de abril de 2007 10:02 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Temos, para todo r0, que a funcao f(x) = 1/(x*(Log(x)^r)) eh positiva e montonicamente decrescente em [e^(-r) , oo). (pode checar determinando a derivada). Assim, o teste da integral eh aplicavel. Se ha I = Int (2 a oo) 1/(x*(Log(x)^r))dx = Int (2 a oo) (1/x)* (Log(x))^(-r))dx Se r1, r0, entao I = [-1/(-r + 1) * (Log(x))^(-r + 1)] (2 a oo). Para nossos objetivos, soh interssa o limite desta funcao quando x - oo. Se 0 r 1, entao - r+ 1 0 e a integral vai para infinito. Logo, a serie tambem diverge, indo para oo. Se r 1, -r + 1 0 e como Log(x) - oo, (Log(x))^(-r + 1) - 0, der modo que a integral e a serie convergem. Se r= 1, entao nossa integral eh simplesmente I = Log(Log(x) [2 a oo) que diverge. Conclusao: se 0 r =1, a serie diverge se r 1, a serie converge. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Arlane Manoel S Silva Enviada em: sábado, 7 de abril de 2007 14:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Olá Cláudio. Pode haver uma outra forma, mas eu usaria o critério da integral. seja bem-vindo. Citando Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE-Dúvida Mestrado
Caro Ronaldo Alonso, Muito obrigado pelo seus importantes esclarecimentos. À propósito a minha pergunta foi motivada devido o fato de diversos cursos de mestrados (senão todos) oferecerem somente aulas durante o dia gerando incompatibiliade com o horário mais comum de trabalho, o diurno. Ademais serei mais atento a assuntos não pertinentes a lista. Abraços ! Marco Antonio
Re: [obm-l] compra de livros
As compras de livros importados independentes de serem realizadas no Brasil ou no exterior estão isentas de tarifas alfandegárias conforme o artigo 4º da lei 10.753, que pode ser encontrada na íntegra em www.receita.fazenda.gov.br/Legislacao/Leis/2003/lei10753.htm. Abraços ! Marco Antonio
Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Ola Claudio, não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2? Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. vlw. - Mensagem original De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II Suponha que a_n--a. Mostre que : 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a. Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0. Seja eps 0. b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k eps/2. Mas entao, tomando k n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k = |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a. Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n == a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k. Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
mente antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps 0 existir um
natural N tal que para todo n N teremos |a_n - L| eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em
L, com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
diremos que a_k tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de
maneira informal e em texto).
Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps 0 podemos
encontrar N natural tal que n N == |b_n - 0| eps == |b_n| eps, isso
pela própria definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo
à distância eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A
e b_n - B implica (a_n + b_n) - (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta
mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um
natural n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo
elemento, estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma,
tomamos n_2 para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento,
todo mundo estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o
maior dos dois naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a
partir de N, para qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no
máximo eps/2 do respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n,
a partir desse N estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B.
Assim vemos que para qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a
partir dele, a seq. c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de
A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Claudio,
não entendi *b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k|
eps/2*.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.
- Mensagem original
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
Suponha que a_n--a. Mostre que :
1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps 0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k
eps/2.
Mas entao, tomando k n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.
Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule
lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias
dos a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o
limite procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+.
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.
[]s,
Claudio.
=
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--
[obm-l] diofantina
Para resolver a eq. diofantina:
a*x^2 + b*y^2 + c*z^2 = 0
Temos o teorema de legendre.
Gostaria de saber se existe algum resultado mais geral , para soma de vario
quadrados
Para
sum_{i=1}_{k} (a_i*X_i^2)
Se a resposta for sim gostaria tambem das referencias
Re:[obm-l] Contagem
Valeu mais uma vez claudio. abraços
claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: -- Cabeçalho original
---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 20:09:10 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] Contagem
Galera da lista, tenho mais uma questao de contagem. Espero que possam me
ajudar
1) Seja Im = {1,2,...,m} e In = {1,2,...,n}. Quantas sao as funçoes f: Im
--In nao decrescentes?
Espero que possam me ajudar nessa questao a na que enviei dias anteriores a
voces... Muito obrigado por enquanto galera...
[]s e até
Cada uma dessas funcoes eh uma m-upla ordenada (a_1,a_2,...,a_m) de elementos
de In tal que:
1 = k = m-1 == 1 = a_k = a_(k+1) = n
(ou seja, os elementos da m-upla estao em ordem nao-decrescente)
Suponhamos que uma dada m-upla tenha x_j elementos iguais a j (1 = j = n).
Entao, o numero de tais m-uplas eh igual ao numero de solucoes inteiras e
nao-negativas de:
x_1+x_2+...+x_n = m, ou seja, Binom(m+n-1,n-1) = Binom(m+n-1,m) = numero de
funcoes nao-decrescentes de Im em In.
[]s,
Claudio.
=
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Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma
valeu.
- Mensagem original
De: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua mente
antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps 0 existir um natural N
tal que para todo n N teremos |a_n - L| eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L,
com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos subsequêntes
da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso ocorrer para
qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então diremos que a_k
tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de maneira informal e em
texto).
Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps 0 podemos encontrar
N natural tal que n N == |b_n - 0| eps == |b_n| eps, isso pela própria
definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de visualizar),
tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à distância
eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um n_1?
Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de limites,
quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A e b_n - B
implica (a_n + b_n) - (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta mais ou menos
assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural n_1 tal que
todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento, estará à
distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2 para a seq.
{b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo estará à dist.
max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois naturais n_1 e
n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para qualquer uma das
seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do respectivo limite.
Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N estaremos à
distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que para
qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a seq. c_n
= a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Claudio,
não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.
- Mensagem original
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
Suponha que a_n--a. Mostre que :
1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps 0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k
eps/2.
Mas entao, tomando k n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.
Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule
lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos
a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite
procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+.
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.
[]s,
Claudio.
=
Instruções
Re: Re:[obm-l] Perguntas de trigonometria
Claúdio, obrigado.O expoente de x pode ser negativo. Outra coisa, posso fazer essa demontração sem usar derivada - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Monday, April 09, 2007 6:47 PM Subject: Re:[obm-l] Perguntas de trigonometria Suponha que n é um racional diferente de 0 ou 1. Se f:[0,+inf) - R dada por f(x) = sen(x^n) é periódica de período T 0, então, para todo x = 0: f(x+T) = f(x) == sen((x+T)^n) = sen(x^n) == (derivando à direita em relação a x e dividindo por n) (x+T)^(n-1)*cos((x+T)^n) = x^(n-1)*cos(x^n). Fazendo x = 0 (daí eu ter usado a derivada lateral acima) obtemos: sen(T^n) = sen(0) = 0 e T^(n-1)*cos(T^n) = 0 == cos(T^n) = 0 Mas, qualquer que seja y, não se pode ter sen(y) = cos(y) = 0 == contradição == f não é periódica. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sun, 25 Feb 2007 13:26:58 -0300 Assunto: [obm-l] Perguntas de trigonometria Colegas da lista, me tire algumas duvidas. 1. A função y=sen(x^2) não é períodica.Como demonstrar? 2. A função y=sen(x^n) onde é um racional, posso ter período para n diferente de um.Se não como faço para demonstrar. 3. A função y=sen2 ( seno de 2 graus ou seno de 2 radiano).Que notação eu uso parar diferenciar ? -- Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.8/455 - Release Date: 22/9/2006
