[obm-l] PROBLEMAS REVOGADOS!
Turma! Quanto à reformulação do probleminha...Que número é menor que 60 na mesma proporção em que é maior que 50...Proporção já é uma iguldade de razões. Talvez o enunciado quisesse dizer na mesma razão, mas ainda assim seria preciso dizer quais as razões (ou quocientes) que ele gostaria que fossem iguais...94 entre 100 é matematicamente o mesmo que 94% mas em sua fórmula particular de expressão pode parecer significar algo mais. Se os pontos de um aluno são 47 de 50 possíveis então, proporcionalmente, é o mesmo que 94 de 100. Mas como é impossível atingir 100 é incorreto exprimir os resultados como sendo parte dessa cifra. Teria sugerido que o aluno errou seis pontos em vez de apenas três. O total possível aparente é um excesso do total possível real. Uma proporção deveria ser expressão como entre outra cifra apenas se essa cifra representa realmente a população total, a menos que se torne claro que a proporção, assim reduzida, seja uma média para a população. A propósito, quem não lembra da calculadora do feirante que segundo o colega Felipe Takiyama, para encontrarmos o resultado 0, devemos multiplicar 1/x*x e não x*1/x. Estranho, não! Talvez este seja o método cuca legal de mutiplicação citado pelo nobre colega Cláudio... Outro do tempo da carrocinha, que por motivo ignorado, ainda se encontra em aberto... Dos nove quartos disponíveis em um pavilhão quadrático, o rei dormia no quarto do centro e ordenou que os 24 soldados que formavam sua guarda fossem distribuídos de modo a ficarem nove de cada lado do pavilhão. Os soldados podiam ausentar-se ou receber visitas em seus quartos para pernoite, com a condição de que sempre estejam nove de cada lado. Qual o número máximo de: visitas para pernoite; soldados ausentes? Boas Lembranças! _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
Re: [obm-l] BOTES
A chave eh sacar que voce quer levar os botes Oito e Quatro juntos, porque sao os mais lentos, e voce jamais quer voltar com qualquer um deles, para nao perder tempo... Entao, quando voce for levar Quatro e Oito, tem que ter algum bote rapido do outro lado esperando para voce voltar com ele... Como conseguir isto? Abraco, Ralph On Fri, Sep 5, 2008 at 10:19 PM, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, qual o macete para essa questão? Existem quatro botes numa margem de um rio; seus nomes são Oito, Quatro, Dois e Um, porque essas são as quantidades de horas que cada um deles demora para cruzar o rio. Pode-se atar um bote a outro, porém não mais de um, e então o tempo que demoram em cruzar é igual ao do mais lento dos botes. Um só marinheiro deve levar todos os botes até à outra margem do rio. Qual é o menor tempo necessário para completar o translado? Gabarito: 15 h. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
O teorema de taylor não PRECISA ser usado... ele usou simplesmente pra
calcular P(x+1), mas vc pode muito bem calcula-lo algebricamente. A idéia
principal da solução é que foi feita por indução finita.
2008/9/6 Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]
Obrigado por esta solução usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma
solução que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de
Fermat, se possível.
Mesmo assim, agradeço.
(^_^)
--
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300
Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210
P(x) = 360x = p(1) = 360
P'(x) = 360 = P(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3
+ 3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2
+ x^4) = P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra
que P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1).
Por inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) =
3n^5 + 5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
-Mensagem original-
*De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de *Rhilbert Rivera
*Enviada em:* terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo:
1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.
2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91.
Obrigado (^_ ^)
--
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Rafael
Re: [obm-l] Dúvidas de Recorrencias
Para a segunda, olha só... T(2) = T(1)+2 = 1+2 = 3. A sua fórmula dá T(2) = (2²-1)/2 = 3/2, então não está certo não :( Podemos fazer assim: T(n) = n + T(n-1) = n + (n-1 + T(n-2)) = ... = n + (n-1) + (n-2) + ...+ 1. Logo T(n) = n*(n+1)/2, ou (n² + n) /2. Para a primeira T é uma função definida apenas nos valores impares? Com os dados apresentados T poderia ser qualquer coisa nos pares... On Fri, Sep 5, 2008 at 11:04 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]wrote: Estou com uma dúvida em como resolver essas duas recorrências, cheguei a um ponto que não consigo achar a forma fechada das mesmas. T(1)=1 T(n)=T(n-2) + 2n + 1 ??? outra T(1)=1 T(n)=T(n-1) + n, essa aqui cheguei na forma fechada de (n^2-1)/2, mas não sei se esta certo. Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] www.venildo.mat.br http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 -- Rafael
Re: [obm-l] Teoria dos Números 3
Oi, Arthur, Tambm gosto dele e costumo sugerir a soluo agrupando os "termos equidistantes", onde k = 1, 2, 3...: k^n + (n-k)^n = x^n + y^n, expresso que claramente divisvel por x + y = n (pois n impar); ou seja, a soma de cada par de parcelas divisvel por n ; logo, a soma o ... Abrao, Nehab Artur Costa Steiner escreveu: Acho este interessante: Mostre que, se n for impar, entao 1^n + 2^n..+(n -1)^n divisvel por n Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Apenas uma pequena correo... 3A + 5B + 15(n
-1)... (engoli o n - 1)...
Nehab
Carlos Nehab escreveu:
Oi, Rhilbert
Realmente este tipo de problema admite um monte de solues, mas j que
voc pediu o Fermat (na verdade o pequeno Fermat, l vai):
3n^5 + 5n^3 + 7n = 3(n^5 - n) + 5 (n^3 - n) + 15 (n - 1) = 3A + 5B +
15, onde A multiplo de 5, B multiplo de 3 e ento sua expresso
multipla de 15.
Seu segundo exerccio:
Como 91 = 7 x 13, vamos tentar "fazer acontecer" o pequeno Fermat, mais
uma vez. Como a e b so primos com 91, nenhum dos dois divisvel
por 13.
Logo, (a^12 - 1) e (b^12
-1) so divisveis por 13; logo, sua diferena tambm ...
Agora vejamos porque a tal diferena tambm divisvel por 7...
Onde estar o 7 (do Fermat) em a^12 -
b^12?
Certamente em a^6 - b^6 que um de seus fatores, concorda?
Logo, o mesmssimo racioccio que para o 13 (pois nem a nem b so
divisveis por 7) completa a soluo.
Nehab
Rhilbert Rivera escreveu:
Obrigado por esta soluo usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de
uma soluo que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema
de Fermat, se possvel.
Mesmo assim, agradeo.
(^_^)
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300
Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros
1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210
P(x) = 360x = p(1) = 360
P'(x) = 360 = P(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5!
P'(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 =37x +35x^3 +3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x +
5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 +15(1 + 3x^2 + x^4)= P(x) + 30(x + x^3)
+ 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), ento
(1) nos mostra que P(n+1) dado pela soma de 3 multiplos de 15, de
modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro
positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
nome de Rhilbert Rivera
Enviada em: tera-feira, 2 de setembro de 2008 15:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros
Amigos, obrigado por qualquer ajuda as questes abaixo:
1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.
2) Mostrwe que a^12 - b^12 divisvel por 91, se a b so primos com 91.
Obrigado (^_ ^)
Conhea j o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos
do
Messenger! Crie j o
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e muitos outros vdeos no MSN Videos! Confira j!
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Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Oi, Rhilbert
Realmente este tipo de problema admite um monte de solues, mas j que
voc pediu o Fermat (na verdade o pequeno Fermat, l vai):
3n^5 + 5n^3 + 7n = 3(n^5 - n) + 5 (n^3 - n) + 15 (n - 1) = 3A + 5B +
15, onde A multiplo de 5, B multiplo de 3 e ento sua expresso
multipla de 15.
Seu segundo exerccio:
Como 91 = 7 x 13, vamos tentar "fazer acontecer" o pequeno Fermat, mais
uma vez. Como a e b so primos com 91, nenhum dos dois divisvel
por 13.
Logo, (a^12 - 1) e (b^12
-1) so divisveis por 13; logo, sua diferena tambm ...
Agora vejamos porque a tal diferena tambm divisvel por 7...
Onde estar o 7 (do Fermat) em a^12 - b^12?
Certamente em a^6 - b^6 que um de seus fatores, concorda?
Logo, o mesmssimo racioccio que para o 13 (pois nem a nem b so
divisveis por 7) completa a soluo.
Nehab
Rhilbert Rivera escreveu:
Obrigado por esta soluo usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de
uma soluo que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema
de Fermat, se possvel.
Mesmo assim, agradeo.
(^_^)
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300
Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros
1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210
P(x) = 360x = p(1) = 360
P'(x) = 360 = P(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5!
P'(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 =37x +35x^3 +3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x +
5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 +15(1 + 3x^2 + x^4)= P(x) + 30(x + x^3)
+ 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), ento
(1) nos mostra que P(n+1) dado pela soma de 3 multiplos de 15, de
modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro
positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
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Enviada em: tera-feira, 2 de setembro de 2008 15:22
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1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.
2) Mostrwe que a^12 - b^12 divisvel por 91, se a b so primos com 91.
Obrigado (^_ ^)
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