O teorema de taylor não PRECISA ser usado... ele usou simplesmente pra
calcular P(x+1), mas vc pode muito bem calcula-lo algebricamente. A idéia
principal da solução é que foi feita por indução finita.
2008/9/6 Rhilbert Rivera <[EMAIL PROTECTED]>
>
> Obrigado por esta solução usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma
> solução que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de
> Fermat, se possível.
> Mesmo assim, agradeço.
> (^_^)
> ------------------------------
>
> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300
> Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
>
>
>
> 1) Seja
>
> P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x => P(1) = 15
> P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 => P'(1) = 37
> P''(x) = = 60x^3 + 30x => P''('1) = 210
> P'''(x) = 180x^2 + 30 => p'''(1) = 210
> P''''(x) = 360x => p''''(1) = 360
> P'''''(x) = 360 => P''''(1) = 360
>
>
> Pelo Teoerema de Taylor,
>
> P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).....+ x^5/5! P'''''(5)
>
> Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3
> + 3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2
> + x^4) = P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
>
> Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
>
> Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra
> que P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1).
> Por inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) =
> 3n^5 + 5n^3 + 7n.
>
> Depois penso no 2
>
> Artur
>
>
>
>
>
>
> -----Mensagem original-----
> *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de *Rhilbert Rivera
> *Enviada em:* terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] 2 de Teoria dos Números
>
>
>
> Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo:
>
> 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.
>
> 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91.
>
> Obrigado (^_ ^)
>
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Rafael
