Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números

[Carlos Nehab]

Apenas uma pequena correção... .... 3A + 5B + 15(n -1)... (engoli o n - 1)... Nehab Carlos Nehab escreveu: Oi, Rhilbert Realmente este tipo de problema admite um monte de soluções, mas já que você pediu o Fermat (na verdade o pequeno Fermat, lá vai): 3n^5 + 5n^3 + 7n = 3(n^5 - n)  + 5 (n^3 - n) + 15 (n - 1) = 3A + 5B + 15, onde A é multiplo de 5, B é multiplo de 3 e então sua expressão é multipla de 15. Seu segundo exercício: Como 91 = 7 x 13, vamos tentar "fazer acontecer" o pequeno Fermat, mais uma vez.   Como a e b são primos com 91, nenhum dos dois é divisível por 13.  Logo, (a^12 - 1) e (b^12 -1) são divisíveis por 13; logo, sua diferença também é... Agora vejamos porque a tal diferença também é divisível por 7... Onde estará o 7 (do Fermat) em a^12 - b^12?  Certamente em a^6 - b^6 que é um de seus fatores, concorda? Logo, o mesmíssimo raciocício que para o 13.... (pois nem a nem b são divisíveis por 7) completa a solução. Nehab   Rhilbert Rivera escreveu: Obrigado por esta solução usando Teorema de Taylor, mas  eu gostaria de uma solução que usasse a teoria de divisibilidade ou  o pequeno teorema de Fermat, se possível. Mesmo assim, agradeço. (^_^) From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300 Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números 1) Seja   P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x => P(1) = 15 P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 => P'(1) = 37 P''(x) = = 60x^3  + 30x =>   P''('1) = 210 P'''(x) = 180x^2 + 30 => p'''(1) = 210 P''''(x) = 360x => p''''(1) = 360 P'''''(x) = 360 => P''''(1) = 360     Pelo Teoerema de Taylor,   P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).....+ x^5/5! P'''''(5)   Logo, P(x +1) = 15 + 37x +  45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x +  35x^3 + 3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5  + 30x + 30x^3 +  15(1 + 3x^2 + x^4)  = P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x   Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)   Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n.   Depois penso no 2   Artur              -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Rhilbert Rivera Enviada em: terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 2 de Teoria dos Números Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo:   1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.   2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91.   Obrigado (^_ ^) Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================