Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-29 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - f(z)| < 
1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e definindo-se 
g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por 1 no disco 
fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy, temos então que 
|g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que |f’(z)| <= 1/d. Como z é 
arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é limitada (por 1/d) em todo o 
plano complexo.

Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de 
Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um 
mapeamento afim.

Artur

Enviado do meu iPad

Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 escreveu:

> 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na origem e 
>> que
>> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui 
>> singularidades
>> exceto possivelmente no infinito).
>> 
>> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...
>> 
>> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser 
>> uniformemente
>> contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.
> 
> Hum, e porque, exatamente?  Acho que você gostaria de dizer que a
> derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente
> contínua.  Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a
> derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos
> poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos
> para te ajudar a compensar...
> 
> Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"...
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-29 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - f(z)| < 
1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e definindo-se 
g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por 1 no disco 
fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy, temos então que 
|g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que |f’(z)| <= 1/d. Como z é 
arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é limitada (por 1/d) em todo o 
plano complexo.

Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de 
Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um 
mapeamento afim.

Artur

Enviado do meu iPad

Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 escreveu:

> 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na origem e 
>> que
>> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui 
>> singularidades
>> exceto possivelmente no infinito).
>> 
>> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...
>> 
>> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser 
>> uniformemente
>> contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.
> 
> Hum, e porque, exatamente?  Acho que você gostaria de dizer que a
> derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente
> contínua.  Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a
> derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos
> poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos
> para te ajudar a compensar...
> 
> Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"...
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

2018-03-29 Por tôpico Pedro José 
Boa noite!
Não consegui provar que se mdc(a,b)=1 Fi(ab)=Fi(a).Fi(b), para completar a
demonstração.
Porém pesquisando, encontrei essa pérola:
A probabilidade de que um número inteiro d, 0< d <=m seja primo com m é
igual a FI(m)/m.
Se d é primo com m d <>0 mod p para todo p que divide m.
Então a probabilidade de ser primo com p é (p-1)/p já que existem p restos
possíveis da divisão euclidiana por p. Para atender todos p que dividem m
segue o produtório. Como a probabilidade é Fi(m)/m, segue a fórmula.
E dela dá para provar que Fi(ab)=Fi(a)Fi(b) se (a,b)=1.
Já provar primeiro, para chegar na fórmula, não consegui.

Saudações,
PJMS.


Em 29 de mar de 2018 22:30, "Pedro José"  escreveu:

> Desculpe- me, não são divisores. São os únicos números que não são
> co-primos de p^k.
>
> Em 29 de mar de 2018 22:25, "Pedro José"  escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Israel,
>> você é detalhista.
>> É fácil ver que se n = p^k, só haverá p^(k-1) divisores de p^k.
>> Ou seja, d = m.p, onde 0> -p^(k-1)=p^k.(1-1/p).
>> Depois dá um pouquinho mais de trabalho. Que é provar que se mdc(a,b) =1
>> então Fi(ab)=Fi(a).Fi(b).
>>
>> Saudações,
>> PJMS.u
>>
>> Em 29 de mar de 2018 21:48, "Pedro José"  escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> Não tenho editor de símbolos. Portanto.
>>> Fi(n)= n . Produtório de ( p-1)/ p, onde p é primo e p divide n.
>>>
>>> Em 28 de mar de 2018 22:19, "Anderson Torres" <
>>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Em 28 de março de 2018 21:24, Israel Meireles Chrisostomo
  escreveu:
 > Existe alguma função na matemática que conta a quantidade de divisores
 > primos de um dado número n qualquer?Sabe-se que phi(n) -totiente-
 conta a
 > quantidade de números  primos menores ou iguais  a n então (n-
 phi(n)) é a
 > quantidade de divisores, certo?mas e a quantidade de divisores primos?
 >

 Existir, existe. Mas você espera o quê? Uma fórmula fácil? Isso seria
 meio insano, afinal muitas funções em teoria dos números dependem
 explicitamente da fatoração. Por exemplo, a phi de Euler depende que
 se saiba da fatoração, a contagem de divisores e a soma dos divisores
 também.

 > --
 > Israel Meireles Chrisostomo
 >
 > --
 > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 > acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =

>>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

2018-03-29 Por tôpico Pedro José 
Desculpe- me, não são divisores. São os únicos números que não são
co-primos de p^k.

Em 29 de mar de 2018 22:25, "Pedro José"  escreveu:

> Boa noite!
> Israel,
> você é detalhista.
> É fácil ver que se n = p^k, só haverá p^(k-1) divisores de p^k.
> Ou seja, d = m.p, onde 0 Depois dá um pouquinho mais de trabalho. Que é provar que se mdc(a,b) =1
> então Fi(ab)=Fi(a).Fi(b).
>
> Saudações,
> PJMS.u
>
> Em 29 de mar de 2018 21:48, "Pedro José"  escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Não tenho editor de símbolos. Portanto.
>> Fi(n)= n . Produtório de ( p-1)/ p, onde p é primo e p divide n.
>>
>> Em 28 de mar de 2018 22:19, "Anderson Torres" <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Em 28 de março de 2018 21:24, Israel Meireles Chrisostomo
>>>  escreveu:
>>> > Existe alguma função na matemática que conta a quantidade de divisores
>>> > primos de um dado número n qualquer?Sabe-se que phi(n) -totiente-
>>> conta a
>>> > quantidade de números  primos menores ou iguais  a n então (n- phi(n))
>>> é a
>>> > quantidade de divisores, certo?mas e a quantidade de divisores primos?
>>> >
>>>
>>> Existir, existe. Mas você espera o quê? Uma fórmula fácil? Isso seria
>>> meio insano, afinal muitas funções em teoria dos números dependem
>>> explicitamente da fatoração. Por exemplo, a phi de Euler depende que
>>> se saiba da fatoração, a contagem de divisores e a soma dos divisores
>>> também.
>>>
>>> > --
>>> > Israel Meireles Chrisostomo
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

2018-03-29 Por tôpico Pedro José 
Boa noite!
Israel,
você é detalhista.
É fácil ver que se n = p^k, só haverá p^(k-1) divisores de p^k.
Ou seja, d = m.p, onde 0 escreveu:

> Boa noite!
> Não tenho editor de símbolos. Portanto.
> Fi(n)= n . Produtório de ( p-1)/ p, onde p é primo e p divide n.
>
> Em 28 de mar de 2018 22:19, "Anderson Torres" <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em 28 de março de 2018 21:24, Israel Meireles Chrisostomo
>>  escreveu:
>> > Existe alguma função na matemática que conta a quantidade de divisores
>> > primos de um dado número n qualquer?Sabe-se que phi(n) -totiente- conta
>> a
>> > quantidade de números  primos menores ou iguais  a n então (n- phi(n))
>> é a
>> > quantidade de divisores, certo?mas e a quantidade de divisores primos?
>> >
>>
>> Existir, existe. Mas você espera o quê? Uma fórmula fácil? Isso seria
>> meio insano, afinal muitas funções em teoria dos números dependem
>> explicitamente da fatoração. Por exemplo, a phi de Euler depende que
>> se saiba da fatoração, a contagem de divisores e a soma dos divisores
>> também.
>>
>> > --
>> > Israel Meireles Chrisostomo
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-29 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na origem e que
> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui singularidades
> exceto possivelmente no infinito).
>
> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...
>
> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser uniformemente
> contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.

Hum, e porque, exatamente?  Acho que você gostaria de dizer que a
derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente
contínua.  Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a
derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos
poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos
para te ajudar a compensar...

Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"...

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

2018-03-29 Por tôpico Pedro José 
Boa noite!
Não tenho editor de símbolos. Portanto.
Fi(n)= n . Produtório de ( p-1)/ p, onde p é primo e p divide n.

Em 28 de mar de 2018 22:19, "Anderson Torres" 
escreveu:

> Em 28 de março de 2018 21:24, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
> > Existe alguma função na matemática que conta a quantidade de divisores
> > primos de um dado número n qualquer?Sabe-se que phi(n) -totiente- conta a
> > quantidade de números  primos menores ou iguais  a n então (n- phi(n)) é
> a
> > quantidade de divisores, certo?mas e a quantidade de divisores primos?
> >
>
> Existir, existe. Mas você espera o quê? Uma fórmula fácil? Isso seria
> meio insano, afinal muitas funções em teoria dos números dependem
> explicitamente da fatoração. Por exemplo, a phi de Euler depende que
> se saiba da fatoração, a contagem de divisores e a soma dos divisores
> também.
>
> > --
> > Israel Meireles Chrisostomo
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-29 Por tôpico Claudio Buffara 
A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na origem e
que converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui
singularidades exceto possivelmente no infinito).

Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ...

Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser uniformemente
contínua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z.

Tá certo isso?

[]s,
Claudio.


2018-03-29 20:49 GMT-03:00 Carlos P. :

> Esta problema foi citado numa lista sobre análise complexa. Alguém pode
> dar uma sugestão de como ptovar isso?. Parece que não é um fato muito
> conhecido..
>
> Obrigado.
>
> Carlos
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim

2018-03-29 Por tôpico Carlos P. 
Esta problema foi citado numa lista sobre análise complexa. Alguém pode dar uma 
sugestão de como ptovar isso?. Parece que não é um fato muito conhecido..

Obrigado.

Carlos

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] distância constante

2018-03-29 Por tôpico Pedro José 
Boa noite!

Corrigindo

MF =NG= x e EM=FN=y e não: MF=EG= x e EM = FE = y.

Saudações,
PJMS

Em 29 de março de 2018 19:06, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Faça o desenho conforme o problema.
>
> Projete o ponto E em AB e chame de M. Projete o ponto G em AB e chame de N.
>
> Os triângulos EMF e GFM (ALA) são congruentes.
>
> MF=EG= x e EM = FE = y.
>
> BM=k= x. tg30
> NC = l = y tg30
>
> k + x + y + l = a = (x+y). (1 + tg30) ==> x + y = a/(1 + tg30) ==> x+ y =
> cte.
>
> A partir do ponto G trace uma paralela a BC e projete o ponto D sobre essa
> paralela e chame-o de P. O triângulo DPG é congruente aos triângulos EMF e
> GMF (ALA).
> Então DP=x e como GE=y, a distância mencionada é x+y, que é constante como
> visto anteriormente.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
> Em 29 de março de 2018 15:11, Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>> Um quadrado DEFG eh colocado no interior de um triangulo equilátero ABC
>> de maneira que a vértice E fique sobre o lado c, o vértice F sobre o lado a
>> e o vértice G sobre o lado b do referido triangulo. Mostrar que a distância
>> do vértice D do quadrado ao lado a do triângulo é constante à medida que os
>> demais vértices do quadrado se movem sobre os lados do triângulo.
>>
>> Como que se prova?
>>
>> --
>> Abraços,
>> Mauricio de Araujo
>> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] distância constante

2018-03-29 Por tôpico Pedro José 
Boa noite!

Faça o desenho conforme o problema.

Projete o ponto E em AB e chame de M. Projete o ponto G em AB e chame de N.

Os triângulos EMF e GFM (ALA) são congruentes.

MF=EG= x e EM = FE = y.

BM=k= x. tg30
NC = l = y tg30

k + x + y + l = a = (x+y). (1 + tg30) ==> x + y = a/(1 + tg30) ==> x+ y =
cte.

A partir do ponto G trace uma paralela a BC e projete o ponto D sobre essa
paralela e chame-o de P. O triângulo DPG é congruente aos triângulos EMF e
GMF (ALA).
Então DP=x e como GE=y, a distância mencionada é x+y, que é constante como
visto anteriormente.

Saudações,
PJMS




Em 29 de março de 2018 15:11, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

> Um quadrado DEFG eh colocado no interior de um triangulo equilátero ABC de
> maneira que a vértice E fique sobre o lado c, o vértice F sobre o lado a e
> o vértice G sobre o lado b do referido triangulo. Mostrar que a distância
> do vértice D do quadrado ao lado a do triângulo é constante à medida que os
> demais vértices do quadrado se movem sobre os lados do triângulo.
>
> Como que se prova?
>
> --
> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Combinatória

2018-03-29 Por tôpico Claudio Buffara 
Outra sugestão: proponha o problema de contar de quantas maneiras é
possível arrumar N dominós 1x2 numa caixa 2xN.
Fibonacci também aparece neste aí.

A diferença é que, no dos bits, B(N) = F(N+2) enquanto que, no dos dominós,
D(N) = F(N+1)
(F é definida da forma usual, com F(1) = F(2) = 1)

Ou então: quantas sequências de 1's e 2's existem que têm soma N?
Aqui, X(N) = F(N+1) também.

Um problema complementar interessante é achar bijeções "naturais" entre as
sequências definidas por estes três problemas.
Entre D e X é fácil.  Entre estes e as suas sequências de bits nem tanto.

[]s,
Claudio.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Combinatória

2018-03-29 Por tôpico Claudio Buffara 
Sugestão de natureza didática: eu mostraria uma solução mais braçal, tal
como a minha, e depois mostraria a solução recursiva.
Moral: em geral vale a pena pensar no problema antes de sair escrevendo...

2018-03-29 15:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :

> Sim. Acho essa uma solução bem mais elegante.
> Mas também é mais sofisticada, e você falou que o aluno é principiante.
>
> De todo jeito, acho que raciocinar recursivamente é uma habilidade que
> todo estudante de matemática deveria desenvolver.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-03-29 14:45 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz :
>
>> Olá Claudio
>> Pensei numa solução agora que acredito que eu possa explicar e a pessoa
>> irá entender:
>>
>> Para 1 bit, 2 possibilidades
>> Para 2 bits, 3
>> Para 3 bits, basta separar em casos: Se for 0 _ _, cai no caso anterior.
>> Se for 1 _ _ tem que ser  1 0 _ e, então, cai no caso anterior-1.
>> Para 4 bits, separe de novo: 0 _ _ _, que cai no problema anterior, ou, 1
>> 0 _ _, caindo no anterior -1.
>> Ou seja, Para N bits: F(N) = F(N-1) + F(N-2). É um Fibonacci começando de
>> F(1) = 2 e F(2) = 3
>>
>>
>> Estaria correto assim?
>>
>> Abraços
>>
>> 2018-03-29 14:26 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>
>>> Sugestão: separe em casos em função do número N de 1’s na sequência.
>>>
>>> N = 0: 1 sequência
>>> N = 1: 8 sequências
>>> N = 2: 8*7/2 - 7 = 21
>>> (No de sequências sem restrições menos o no de sequências com os dois
>>> 1’s adjacentes)
>>> N = 4: 2
>>> N > 4: 0
>>>
>>> O caso N = 3 é o mais chatinho pois tem mais subcasos, mas não chega a
>>> ser difícil.
>>>
>>> Depois eu mando.
>>>
>>> Abs
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Enviado do meu iPhone
>>>
>>> Em 29 de mar de 2018, à(s) 13:31, Igor Caetano Diniz <
>>> icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>> > Olá pessoal,
>>> >
>>> > Estou com uma questão de Combinatória e gostaria de uma solução
>>> didática para ela pq como eu fiz ficou complexo para um aluno que iniciou
>>> combinatória agora.
>>> > segue a questão:
>>> >
>>> > Quantas sequências de 8 bits(com 0's e 1's) não têm dois 1
>>> consecutivos?
>>> >
>>> > Como foi resolvida: usando variáveis para contar quantos 0 estão
>>> entre 1's consecutivos, separada em casos de dois, três e quatro 1's
>>> consecutivos. Mas assim fica difícil para quem começou a aprender agora.
>>> >
>>> > Abraços
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Combinatória

2018-03-29 Por tôpico Igor Caetano Diniz 
Vou mostrar a sua e a minha e aí se ele não aprender com as duas, tento
fazer devagar em casos menores. hehe

Abraços Cláudio e obrigado =)

2018-03-29 15:17 GMT-03:00 Claudio Buffara :

> Sim. Acho essa uma solução bem mais elegante.
> Mas também é mais sofisticada, e você falou que o aluno é principiante.
>
> De todo jeito, acho que raciocinar recursivamente é uma habilidade que
> todo estudante de matemática deveria desenvolver.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-03-29 14:45 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz :
>
>> Olá Claudio
>> Pensei numa solução agora que acredito que eu possa explicar e a pessoa
>> irá entender:
>>
>> Para 1 bit, 2 possibilidades
>> Para 2 bits, 3
>> Para 3 bits, basta separar em casos: Se for 0 _ _, cai no caso anterior.
>> Se for 1 _ _ tem que ser  1 0 _ e, então, cai no caso anterior-1.
>> Para 4 bits, separe de novo: 0 _ _ _, que cai no problema anterior, ou, 1
>> 0 _ _, caindo no anterior -1.
>> Ou seja, Para N bits: F(N) = F(N-1) + F(N-2). É um Fibonacci começando de
>> F(1) = 2 e F(2) = 3
>>
>>
>> Estaria correto assim?
>>
>> Abraços
>>
>> 2018-03-29 14:26 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>
>>> Sugestão: separe em casos em função do número N de 1’s na sequência.
>>>
>>> N = 0: 1 sequência
>>> N = 1: 8 sequências
>>> N = 2: 8*7/2 - 7 = 21
>>> (No de sequências sem restrições menos o no de sequências com os dois
>>> 1’s adjacentes)
>>> N = 4: 2
>>> N > 4: 0
>>>
>>> O caso N = 3 é o mais chatinho pois tem mais subcasos, mas não chega a
>>> ser difícil.
>>>
>>> Depois eu mando.
>>>
>>> Abs
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Enviado do meu iPhone
>>>
>>> Em 29 de mar de 2018, à(s) 13:31, Igor Caetano Diniz <
>>> icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>> > Olá pessoal,
>>> >
>>> > Estou com uma questão de Combinatória e gostaria de uma solução
>>> didática para ela pq como eu fiz ficou complexo para um aluno que iniciou
>>> combinatória agora.
>>> > segue a questão:
>>> >
>>> > Quantas sequências de 8 bits(com 0's e 1's) não têm dois 1
>>> consecutivos?
>>> >
>>> > Como foi resolvida: usando variáveis para contar quantos 0 estão
>>> entre 1's consecutivos, separada em casos de dois, três e quatro 1's
>>> consecutivos. Mas assim fica difícil para quem começou a aprender agora.
>>> >
>>> > Abraços
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Combinatória

2018-03-29 Por tôpico Claudio Buffara 
Sim. Acho essa uma solução bem mais elegante.
Mas também é mais sofisticada, e você falou que o aluno é principiante.

De todo jeito, acho que raciocinar recursivamente é uma habilidade que todo
estudante de matemática deveria desenvolver.

[]s,
Claudio.


2018-03-29 14:45 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz :

> Olá Claudio
> Pensei numa solução agora que acredito que eu possa explicar e a pessoa
> irá entender:
>
> Para 1 bit, 2 possibilidades
> Para 2 bits, 3
> Para 3 bits, basta separar em casos: Se for 0 _ _, cai no caso anterior.
> Se for 1 _ _ tem que ser  1 0 _ e, então, cai no caso anterior-1.
> Para 4 bits, separe de novo: 0 _ _ _, que cai no problema anterior, ou, 1
> 0 _ _, caindo no anterior -1.
> Ou seja, Para N bits: F(N) = F(N-1) + F(N-2). É um Fibonacci começando de
> F(1) = 2 e F(2) = 3
>
>
> Estaria correto assim?
>
> Abraços
>
> 2018-03-29 14:26 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>
>> Sugestão: separe em casos em função do número N de 1’s na sequência.
>>
>> N = 0: 1 sequência
>> N = 1: 8 sequências
>> N = 2: 8*7/2 - 7 = 21
>> (No de sequências sem restrições menos o no de sequências com os dois 1’s
>> adjacentes)
>> N = 4: 2
>> N > 4: 0
>>
>> O caso N = 3 é o mais chatinho pois tem mais subcasos, mas não chega a
>> ser difícil.
>>
>> Depois eu mando.
>>
>> Abs
>>
>>
>>
>>
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> Em 29 de mar de 2018, à(s) 13:31, Igor Caetano Diniz <
>> icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
>>
>> > Olá pessoal,
>> >
>> > Estou com uma questão de Combinatória e gostaria de uma solução
>> didática para ela pq como eu fiz ficou complexo para um aluno que iniciou
>> combinatória agora.
>> > segue a questão:
>> >
>> > Quantas sequências de 8 bits(com 0's e 1's) não têm dois 1
>> consecutivos?
>> >
>> > Como foi resolvida: usando variáveis para contar quantos 0 estão
>> entre 1's consecutivos, separada em casos de dois, três e quatro 1's
>> consecutivos. Mas assim fica difícil para quem começou a aprender agora.
>> >
>> > Abraços
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] distância constante

2018-03-29 Por tôpico Mauricio de Araujo 
Um quadrado DEFG eh colocado no interior de um triangulo equilátero ABC de
maneira que a vértice E fique sobre o lado c, o vértice F sobre o lado a e
o vértice G sobre o lado b do referido triangulo. Mostrar que a distância
do vértice D do quadrado ao lado a do triângulo é constante à medida que os
demais vértices do quadrado se movem sobre os lados do triângulo.

Como que se prova?

--
Abraços,
Mauricio de Araujo
[oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Questão de Combinatória

2018-03-29 Por tôpico Igor Caetano Diniz 
Olá Claudio
Pensei numa solução agora que acredito que eu possa explicar e a pessoa irá
entender:

Para 1 bit, 2 possibilidades
Para 2 bits, 3
Para 3 bits, basta separar em casos: Se for 0 _ _, cai no caso anterior. Se
for 1 _ _ tem que ser  1 0 _ e, então, cai no caso anterior-1.
Para 4 bits, separe de novo: 0 _ _ _, que cai no problema anterior, ou, 1 0
_ _, caindo no anterior -1.
Ou seja, Para N bits: F(N) = F(N-1) + F(N-2). É um Fibonacci começando de
F(1) = 2 e F(2) = 3


Estaria correto assim?

Abraços

2018-03-29 14:26 GMT-03:00 Claudio Buffara :

> Sugestão: separe em casos em função do número N de 1’s na sequência.
>
> N = 0: 1 sequência
> N = 1: 8 sequências
> N = 2: 8*7/2 - 7 = 21
> (No de sequências sem restrições menos o no de sequências com os dois 1’s
> adjacentes)
> N = 4: 2
> N > 4: 0
>
> O caso N = 3 é o mais chatinho pois tem mais subcasos, mas não chega a ser
> difícil.
>
> Depois eu mando.
>
> Abs
>
>
>
>
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 29 de mar de 2018, à(s) 13:31, Igor Caetano Diniz <
> icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
>
> > Olá pessoal,
> >
> > Estou com uma questão de Combinatória e gostaria de uma solução
> didática para ela pq como eu fiz ficou complexo para um aluno que iniciou
> combinatória agora.
> > segue a questão:
> >
> > Quantas sequências de 8 bits(com 0's e 1's) não têm dois 1
> consecutivos?
> >
> > Como foi resolvida: usando variáveis para contar quantos 0 estão entre
> 1's consecutivos, separada em casos de dois, três e quatro 1's
> consecutivos. Mas assim fica difícil para quem começou a aprender agora.
> >
> > Abraços
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Questão de Combinatória

2018-03-29 Por tôpico Claudio Buffara 
Sugestão: separe em casos em função do número N de 1’s na sequência.

N = 0: 1 sequência 
N = 1: 8 sequências
N = 2: 8*7/2 - 7 = 21 
(No de sequências sem restrições menos o no de sequências com os dois 1’s 
adjacentes)
N = 4: 2
N > 4: 0

O caso N = 3 é o mais chatinho pois tem mais subcasos, mas não chega a ser 
difícil.

Depois eu mando.

Abs 





Enviado do meu iPhone

Em 29 de mar de 2018, à(s) 13:31, Igor Caetano Diniz  
escreveu:

> Olá pessoal,
> 
> Estou com uma questão de Combinatória e gostaria de uma solução didática 
> para ela pq como eu fiz ficou complexo para um aluno que iniciou 
> combinatória agora.
> segue a questão:
> 
> Quantas sequências de 8 bits(com 0's e 1's) não têm dois 1 consecutivos?
> 
> Como foi resolvida: usando variáveis para contar quantos 0 estão entre 1's 
> consecutivos, separada em casos de dois, três e quatro 1's consecutivos. Mas 
> assim fica difícil para quem começou a aprender agora.
> 
> Abraços
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Questão de Combinatória

2018-03-29 Por tôpico Igor Caetano Diniz 
Olá pessoal,

Estou com uma questão de Combinatória e gostaria de uma solução didática
para ela pq como eu fiz ficou complexo para um aluno que iniciou
combinatória agora.
segue a questão:

Quantas sequências de 8 bits(com 0's e 1's) não têm dois 1 consecutivos?

Como foi resolvida: usando variáveis para contar quantos 0 estão entre 1's
consecutivos, separada em casos de dois, três e quatro 1's consecutivos.
Mas assim fica difícil para quem começou a aprender agora.

Abraços

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.