Re: [obm-l] Teorema de Dirichlet
a1 = 3 (primo) r = 3 (primo) No entanto, tal PA só possui um único termo que primo, que é o próprio 3... -Mensagem Original- De: Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 18 de Abril de 2002 20:06 Terezan Assunto: [obm-l] Teorema de Dirichlet Alguem pode me mostrar a demonstração do Teorema de Dirichlet, que, se nao me engano, diz que se numa PA, o primeiro termo e a razao sao primos, existem infinitos primos dentre os elementos desta PA? = []s -- Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] http://rm2.hpg.ig.com.br/ ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Re:[obm-l] como posso resolver ?
Abaixo utilizarei as incógnitas X, n, m, k, t, a, todos inteiros. Seja X = 5^n + n^5 Para X ser múltilplo de 13, 5^n + n^5 == 0 (mod 13), ou seja: 5^n == -n^5 (mod 13)(conclusao 1) 5^2 == 25 == (-1) (mod 13) 5^3 == (-5) (mod 13) 5^4 == 1 (mod 13) 5^(4m) == 1^m == 1 (mod 13)(conclusao 2) 5^(4m+1) == 5 (mod 13) (conclusao 3) 5^(4m+2) == 25 == (-1) (mod 13) (conclusao 4) 5^(4m+3) == (-5) (mod 13) (conclusao 5) 5^12 == 1^3 == 1 (mod 13) 5^13 == 5 (mod 13) 5^(13k) == 5^k (mod 13) 5^(13k+a) == 5^(k+a) (mod 13)(Conclusao 6) Dividindo em casos: 1) n = 13k ; n == 0 (mod 13) -- n^5 == 0 (mod 13) ; 5^(13k) == 5^k (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^k == 0 (mod 13) (IMPOSSÍVEL) 2) n = 13k + 1; n == 1 (mod 13) -- n^5 == 1^5 == 1 (mod 13) ; 5^(13k+1) == 5^(k+1) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+1) == (-1) (mod 13) Da conclusao 4, vem que (k+1) = (4m + 2), ou seja, k = 4m + 1 Mas n = 13k+1, logo n = 13(4m+1) + 1 = 52 m + 14 (1a SOLUCAO) 3) n = 13k + 2; n == 2 (mod 13) -- n^5 == 2^5 == 6 (mod 13) ; 5^(13k+2) == 5^(k+2) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+2) == (-6) (mod 13) (IMPOSSÍVEL) 4) n = 13k + 3; n == 3 (mod 13) -- n^5 == 3^5 == 9 (mod 13) ; 5^(13k+3) == 5^(k+3) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+3) == (-9) (mod 13) (IMPOSSÍVEL) 5) n = 13k + 4; n == 4 (mod 13) -- n^5 == 4^5 == 10 (mod 13) ; 5^(13k+4) == 5^(k+4) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+4) == (-10) == 3 (mod 13) (IMPOSSÍVEL) 6) n = 13k + 5; n == 5 (mod 13) -- n^5 == 5^5 == 5 (mod 13) ; 5^(13k+5) == 5^(k+5) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+5) == (-5) (mod 13) Da conclusao 5, vem que (k+5) = (4m + 3), ou seja, k = 4m - 2 Mas n = 13k+5, logo n = 13(4m-2) + 5 = 52 m - 21 (2a SOLUCAO) 7) n = 13k + 6; n == 6 (mod 13) -- n^5 == 6^5 == 2 (mod 13) ; 5^(13k+6) == 5^(k+6) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+6) == (-2) (mod 13) (IMPOSSÍVEL) 8) n = 13k + 7; n == 7 (mod 13) -- n^5 == 7^5 == 11 (mod 13) ; 5^(13k+7) == 5^(k+7) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+7) == (-11) == 2 (mod 13) (IMPOSSÍVEL) 9) n = 13k + 8; n == (-5) (mod 13) -- n^5 == (-5)^5 == (-5) (mod 13) ; 5^(13k+8) == 5^(k+8) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+8) == 5 (mod 13) Da conclusao 3, vem que (k+8) = (4m + 1), ou seja, k = 4m - 7 Mas n = 13k+8, logo n = 13(4m-7) + 8 = 52 m - 83 (3a SOLUCAO) 10) n = 13k + 9; n == (-4) (mod 13) -- n^5 == (-4)^5 == (-10) (mod 13) ; 5^(13k+9) == 5^(k+9) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+9) == 10 (mod 13) (IMPOSSÍVEL) 11) n = 13k + 10; n == (-3) (mod 13) -- n^5 == (-3)^5 == (-9) (mod 13) ; 5^(13k+10) == 5^(k+10) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+10) == 9 (mod 13) (IMPOSSÍVEL) 12) n = 13k + 11; n == (-2) (mod 13) -- n^5 == (-2)^5 == (-6) (mod 13) ; 5^(13k+11) == 5^(k+11) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+11) == 6 (mod 13) (IMPOSSÍVEL) 13) n = 13k + 12; n == (-1) (mod 13) -- n^5 == (-1)^5 == (-1) (mod 13) ; 5^(13k+12) == 5^(k+12) (mod 13) Da conclusao 1, vem: 5^(k+12) == 1 (mod 13) Da conclusao 2, vem que (k+12) = 4m , ou seja, k = 4m - 12 Mas n = 13k+12, logo n = 13(4m-12) + 12 = 52 m - 144 (4a SOLUCAO) Assim, vejamos a congruência das solucoes de n módulo 52... 1a SOLUCAO: n == 14 (mod 52) 2a SOLUCAO: n == (-21) == 31 (mod 52) 3a SOLUCAO: n == (-83) == 21 (mod 52) 4a SOLUCAO: n == (-144) == 12 (mod 52) Assim, para todo t inteiro, as solucoes sao: (n = 52t + 12; n = 52t + 14; n = 52t + 21; n = 52t + 31) Logo, as primeiras solucoes entre inteiros positivos sao: n = 12; 14; 21; 31; 64; 66; 73; 83; etc Espero ter ajudado... [ ]'s Alexandre Terezan PS: Houve algum erro com seu script... -Mensagem Original- De: Helder Suzuki [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 14 de Março de 2002 21:22 Terezan Assunto: Re:[obm-l] como posso resolver ? obrigado por responder o meu e-mail. eu fiz um pequeno script e encontrei vários n's. mas não sei como calcular esse ciclo.. lá vai alguns: n | 5^n + n^5 12 | 244389457 14 | 6104053449 21 | 476837162287226 25 | 298023223886718750 54 | 5,5511151231257827021181583405e+37 --- dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sugestao:use congruencias.Tente na porrada achar o primeiro n.Depois calcule o ciclo desta funçao(5^n+n^5) modulo 13(nao se assuste se voce demorar um pouco).E pronto!! ORIGINAL MESSAGE Eu ficaria muito feliz se alguem puder me dar uma luz: Dê todos os n possíveis para 5^n + n^5 ser multiplo de 13. Hélder _ __ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre- se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Re: [obm-l] Probabilidade da probabilidade
Se as amostras sao eventos independentes, porque a a probabilidade da segunda amostra ser branca nao é (1-p)??? -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 11 de Março de 2002 22:53 Terezan Assunto: [obm-l] Probabilidade da probabilidade Eu pensei num exercicio e achei uma resposta legal, descuti com o humberto naves e ainda ganhei um sanduiche apostando, porque ele nao acreditou na resposta, mas depois aceitou. Vou tentar formalizar: Um evento pode ser preto ou branco, sendo uma probabilidade p de ser preto e 1-p de ser branco, mas nao se sabe p. so se sabe que para todo 0=ab=1, a probabilidade de p estar no intervalo [a,b] é b-a.. Se a primeira amostra do evento foi branca, qual a probabilidade da segunda amostra ser branca tambem. tentem ai.. Desculpa qualquer erro no anuciado e se for um execicio ja batido... Carlos obs.Pode-se generalizar para n primeiro eventos, sendo k pretos e n-k brancos, qual a prob. do proximo ser branco. obs2.ha outra forma de ver o anuciado, mas seria como uma primeira etapa da resposta, ai facilitaria, entao depois falo se necessario.. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] funções piso(x) e teto(x)
O exercício i possui infinitos contra-exemplos. n = 7 -- lado esquerdo = 2; lado direito = 3 n = 16 -- lado esquerdo = 6; lado direito = 7 etc etc Na verdade, para todo n = 9k + 7 (k inteiro nao-negativo), a afirmacao é falsa. Isto é fácil de demonstrarmos... Para n = 9k + 7, piso(2n/3) = piso((18k+14)/3) = piso (6k + 4 + (2/3)) = 6k + 4 piso(2*piso(2*n/3)/3) = piso(2*(6k+4)/3) =piso((12k+8)/3) =piso(4k + 2 + (2/3))= 4k+2 Mas para n = 9k + 7, piso(4n/9) = piso((36k+28)/9) = piso(4k + 3 + (1/9)) = 4k + 3 Como (4k + 2) e (4k + 3) sao naturais diferentes, entao conclui-se que, para todo n=9k +7, piso(2*piso(2*n/3)/3) É DIFERENTE DE piso(4*n/9). OBS.: Utilizando raciocínio semelhante, demonstramos que a afirmacao acima VALE para todo n DIFERENTE DE 9k + 7... [ ]'s Alexandre Terezan. -Mensagem Original- De: Antonio Jose Gonzales Alves [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 1 de Março de 2002 09:52 Terezan Assunto: [obm-l] funções piso(x) e teto(x) Bom dia pessoal, estou com uma lista de exercícios aqui da faculdade e não estou conseguindo ter nenhuma idéia para provar ou dar contra-exemplos dos seguintes exercícios: i) piso(2*piso(2*n/3)/3) = piso(4*n/9) , n é inteiro positivo ii) piso(piso(n/a)/b) = piso(n/(a*b)) , n,a,b são inteiros positivos obs.: o que eu quero dizer com piso(x) é o único inteiro que satisfaz piso(x) = x piso(x) + 1 Se alguém puder me ajudar eu ficaria muito grato, Um grande abraço a todos, |=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-| |--- \\|// | |--- (o o) | |--- oOOo~(_)~oOOo | |--| |- Toninho :\ | |[EMAIL PROTECTED]| |--| = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Divisibilidade
== significa côngruo
2^6 == 64 == 3 (mod 61)
2^24 == 3^4 == 20 (mod 61)
2^48 == 20^2 == 34 (mod 61)
2^48 - 1 == 33 (mod 61)
Logo, 2^48 - 1 nao é divisível por 61.
2^6 == 64 == (-3) (mod 67)
2^24 == (-3)^4 == 14(mod 67)
2^48 == 14^2 == 62 (mod 67)
2^48 - 1 == 61 (mod 67)
Logo, 2^48 - 1 nao é divisível por 67.
2^6 == 64 == (-5) (mod 69)
2^18 == (-5)^3 == (-125) == 13 (mod 69)
2^24 == (-5) * 13 == (-65) == 4 (mod 69)
2^48 == 4^2 == 16 (mod 69)
2^48 - 1 == 15 (mod 69)
Logo, 2^48 - 1 nao é divisível por 69.
[ ]'s
Alexandre Terezan.
-Mensagem Original-
De: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quinta-feira, 28 de Fevereiro de 2002 19:51 Terezan
Assunto: Re: [obm-l] Divisibilidade
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
.
2^48 - 1 = 63 * 65 * (2^12 + 1)(2^24 + 1).
2^12 + 1=3^2*5*7*13
2^24 + 1=3^2*5*7*13*17*241
63=3^2*7
65=5*13
2^48 - 1=3^6*5^3*7^3*13^3*17*241 tem
7*4*4*4*2=896 divisores:
1 3 9 27 81 ...
5 15 45 135 ...
25 75 ...
125 ...
7 21 35 63 105 ...
49 147 ...
343 ...
13 39 65 91 ...
169 ...
...
17 51 85 ...
241 ...
(onde ... indica divisores estritamente maiores do que 70)
Logo, 63 e 65 sao os unicos números procurados.
Deve haver modo mais inteligente de mostrar qur 61, 67 e 69 nao
dividem 2^48 - 1.
=
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=
=
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=
Re: [obm-l] Divisibilidade
2^48 - 1 = (2^24 - 1)(2^24 + 1) = (2^12 - 1)(2^12 + 1)(2^24 + 1) = (2^6 - 1)(2^6 + 1)(2^12 + 1)(2^24 + 1) = 63 * 65 *(2^12 + 1)(2^24 + 1). Logo, 63 e 65 sao os números procurados. -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 27 de Fevereiro de 2002 19:56 Terezan Assunto: [obm-l] Divisibilidade Bom dia, gostaria da ajuda de vocês nesse: Há dois números entre 60 e 70 que dividem 2^48 - 1 (dois elevado a quarenta e oito, menos um). Quais são eles? Obrigado, Raul PS : Ainda gostaria muito que alguém tentasse mostrar pelo menos o caminho de demonstração do limite da minha mensagem "Quando existe o limite?".
Re: [obm-l] Muito interressante
SIM, É POSSÍVEL... Ou seja, podemos escrever qualquer número de (1 - 3^n)/2 a (3^n - 1)/2 com no máximo n algarismos (-1, 0 ou 1) na base 3. Demonstracao: 1) Se vale de 0 a (3^n - 1)/2, vale de (1 - 3^n)/2 a 0: (conclusao I) Para verificar isto, basta trocarmos (-1) por (1) e (1) por (-1), mantendo o (0). 2) Vale para 0 a (3^n - 1)/2? -- Princípio da Inducao 2.1) Vale para n = 1 -- podemos escrever 0 como 0 (base 3) e 1 como 1 (base 3) 2.2) Se vale para n, vale para n+1: Ora, com n algarismos podemos escrever todos os números entre 0 e (3^n - 1)/2. Assim, adicionando um algarismo 1 na posicao n+1 (o que nos dá 3^n na base 10), e sabendo que podemos formar qualquer número de (1 - 3^n)/2 a 0 (vide conclusao I), fica claro que formamos assim qualquer número de: 3^n + (1-3^n)/2 a 3^n, ou seja, de (3^n + 1)/2 a 3^n. Da mesma maneira, podemos adicionar a 3^n os números formados de 0 a (3^n -1)/2, obtendo todos os números de: 3^n a 3^n + (3^n - 1)/2, ou seja, de 3^n a (3^(n+1) - 1)/2 Entao, podemos formar todos os números de 0 a (3^n - 1)/2 e de (3^n + 1)/2 a (3^(n+1) - 1)/2. Como (3^n - 1)/2 e (3^n + 1)/2 sao naturais consecutivos, podemos formar qualquer número de: 0 a (3^(n+1) - 1)/2 com (n+1) algarismos, o que conclui a prova por inducao. Espero ter ajudado... [ ]'s Alexandre Terezan -Mensagem Original- De: Jose Jayme Moraes Junior [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 25 de Fevereiro de 2002 10:34 Terezan Assunto: RE: [obm-l] Muito interressante Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81) utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo, sim. Exemplos: 41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1 42 = 81 - 27 - 9 - 3 45 = 81 - 27 - 9 50 = 81 - 27 - 3 - 1 58 = 81 - 27 + 3 + 1 60 = 81 - 27 + 9 - 3 75 = 81 - 9 + 3 É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Nicolau C. Saldanha Sent: domingo, 24 de fevereiro de 2002 09:49 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Muito interressante On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na base 3 com os algarismos -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4 algarismos. Por exemplo: -5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1 13 = 0+++ = 9 + 3 + 1 20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1 Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] russos
Faltam ainda diversos casos a considerar, mas é por aí mesmo... Eu consegui resolver o problema, se ninguem resolver eu mando a resposta... -Mensagem Original- De: Iolanda Brazão [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 24 de Janeiro de 2002 14:26 Terezan Assunto: Re: [obm-l] russos Oi gente. No problema 1, notar que quando se passa de um natural N para o natural N+1 a soma dos algarismos - de N - passa de A para A+1, desde que N nao tenha 9 para algarismo das unidades. Se 9 for o algarismo das unidades de N entao a soma dos algarismos de N+1 sera A-9K+1, para algum K inteiro. Neste ultimo caso, a soma dos algarismo de N+1 deve deixar resto 1 quando divisivel por 11 e como sao 39 numeros, isso devera acontecer, ao menos, 3 vezes ... Ajudou ? From: gabriel guedes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] russos Date: Wed, 23 Jan 2002 16:28:27 -0200 Ola amigos da lista, estava resolvendo alguns problemas russos ( aqueles que o Paulo traduziu), mas estou com dificuldades nesse dois: 1)Prove que em qualquer sequencia de 39 numeros naturais consecutivos existe ao menos um numero cuja a soma dos algarismos e divisivel por 11. 2)Dados quaisquer numeros naturais m ,n e k' . prove que nós sempre podemos encontrar dois numeros r e s, primos entre si , tal que r*m + s*n é um multiplo de k. Agradeo desde a QUALQUER colaborao, Gabriel. _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: Orientação para resolução
2^4 == 16 (mod 100) 2^12 == 96 == -4 (mod 100) 2^60 == (-4)^5 == 24 (mod 100) 2^72 == (-4)^6 == 96 == -4 (mod 100) 2^432 == (-4)^6 == 96 == -4 (mod 100) 2^864 == (-4)^2 == 16 (mod 100) 2^936 == 2^864 * 2^72 == 16 * (-4) == 64 == -36 (mod 100) 2^996 == 2^936 * 2^60 == (-36) * 24 == -64 == 36 (mod 100) 2^1000 == 2^996 * 2^4 == 36 * 16 == 76 (mod 100) -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 21 de Janeiro de 2002 12:55 Terezan Assunto: [obm-l] Re: Orientação para resolução Quais são os últimos dois algarismos de 2^1000 ?? Não sei resolver esse tipo de questão, mas como encontrei a resposta certa resolvi mandar a mensagem !! Será que alguém poderia postar uma maneira mais fácil de obter essa resposta ?? obs : as igualdades são todas mod 100 2^10 = 24 (2^10)^100 = 24^100 = (2^3*3)^100 = (2^10)^30*3^100 = 24^30*3^100 = (2^3*3)^30*3^100 = (2^10)^9*3^130 = 24^9*3^130 = (2^3*3)^9*3^130 = 2^27*3^139 = 2^30/8*3^139 = 24^3/8*3^139 = 12^3*3^139 = 4^3*3^142 = 64*3^142 analisando as potencias de 3 mod 100: 3^1=3 3^2=9 3^3=27 3^4=81 3^5=43 3^6=29 3^7=87 3^8=61 3^9=83 3^10=49 3^142*64=49^14*64*9 analisando as potencias de 49 mod 100: 49^1=49 49^2=01 49^3=49 49^4=01 .. 49^14=01 mod 100 assim, temos que : 49^14*64*9 = 64*9 = 76 mod 100 Portanto os últimos dois algarismos de 2^1000 é 76 conferindo : 2^1000 = 1071508607186267320948425049060001810561404811705533607443750388370351051124 9361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698 5748039345677748242309854210746050623711418779541821530464749835819412673987 67559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376 Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Somatório dos primeiros impares
O n-ésimo ímpar pode ser representado por 2n-1 Assim a soma dos termos desta PA de razao 2 é: (a1+an)*(n/2) = (1+2n-1)*(n/2) = n^2 -Mensagem Original- De: Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 10 de Janeiro de 2002 22:59 Terezan Assunto: Somatório dos primeiros impares Amigos, Li sobre uma regra de Pitágoras para se calcular a soma dos n primeiros números impares, por n^2. Ex: A soma dos 9 primeiros números impares é 9^2 = 81. Achei interessante a simplicidade da fórmula.. Tentei chegar a ela usando a formula da soma dos n numeros de uma PA, mas nao consegui, alguem pode me ajudar?
Re: Urgente Vestibular UFRGS-2002
a=b=4 nao é a única solucao para a equacao, entendeu? -Mensagem Original- De: Thomas de Rossi [EMAIL PROTECTED] Para: Obm-l [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 8 de Janeiro de 2002 16:38 Terezan Assunto: Urgente Vestibular UFRGS-2002 Pessoal, uma questão do vestibular da UFRGS de 2002 que não estou acreditando estar certa, mas conforme o gabarito divulgado está. Se realmente for correta a resposta dada, gostaria de saber onde estou cego para não enxergá-la. 04) Considere as proposições abaixo: ( I )125% de 1/5 é igual a 1/4. ( II )Se 1/a + 1/b = 1/2, então a=b=4. ( III )20 m/s correspondem a 72 km/h. Analisando as proposições conclui-se que: Resposta dada como correta: (C) apenas I e III são verdadeiras. NOTA: as proposições I e III estão ok, mas vejam a II? Pra mim está ok também!!! Em tempo: Gostaria de compreender melhor o assunto lugar geométrico, não faço idéia de como se reseolve isso. Alguém poderia sugerir algum livro? Valeu, Thomas.
Re: ajuda
No embalo do que o JP disse, de que só é "bom" usar o que demonstramos, e como eu useia desigualdade de Bernoulli na minha solucao, a demonstracao abaixo está correta? (1+x)^n = 1 + nx, para x real maior que -1, diferente de zero, e n natural maior que 1. Para n = 2 -- (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 1 + 2x (VERDADEIRO) Inducao: Se vale para n, entao (1+x)^n = 1 + nx. Mas (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 1 + (n+1)x Ou seja, se vale para n natural maior que 1, vale para (n+1) também Como vale para n = 2, entao vale para todo n natural maior que 1. c.q.d. -Mensagem Original- De: Augusto César Morgado Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 11 de Dezembro de 2001 11:32 Terezan Assunto: Re: ajuda Não há dúvida de que foi linda. Mas, supondo o "sabemos que", bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: 00c301c181e8$703c99a0$[EMAIL PROTECTED] type="cite"> Vou tentar uma sem usar cálculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
DÚVIDA
Alguém poderia me ajudar nessa? 1) Prove que: k ~=((k^(1/a) + (b-1)) / b)^(ab), onde: k 1, b 1 e a sendo um número suficientemente grande (tendendo ao infinito).
Re: Como simplificar?
2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) = 2*4 - 2 + 3*6 - 3+ 4*8 - 4+ 5*10 - 5+ 6*12 - 6+ ... + (n+1)*(2n+2) - (n+1)= 2*4+ 3*6 + 4*8+ 5*10 + 6*12+ ... + (n+1)*(2n+2)- (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) = 2*(2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) = 2*(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - 2 -(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) = (2*(n+1)(n+2)(2n+3))/6 - 2 -((n+3)n)/2 = (n+1)(n+2)(2n+3)/3 - 2 - ((n+3)n)/2 = (2*(n+1)(n+2)(2n+3) - 12 - 3*((n+3)n)) / 6 = (4n^3 + 18n^2 + 26n + 12 - 12 - 3n^2 - 9n) / 6 = (4n^3 + 15n^2 + 17n) / 6 = (n/6) * (4n^2 + 15n + 17) -Mensagem Original- De: Davidson Estanislau Para: obm Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro de 2001 10:44 Terezan Assunto: Como simplificar? Caros amigos, como faço para simplificar a expressão abaixo? 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) Davidson Estanislau
Re: potencias
Leia sobre a Representação Binária dos números naturais. I) Todo número pode ser escrito na base 2, utilizando algarismos 0 e 1 apenas. II) Como usar 1 em determinada posicao significa somar a potência de 2 correspondente e 0 significa omitir tal potência: III) "todo numero Natural pode ser escrito como soma de potencias de base 2" Ex: 5 (base 10) = 101 (base 2) = 2^2 + 2^0 9 (base 10) = 1001 (base 2) = 2^3 + 2^0 14 (base 10) = 1110 (base 2) = 2^3 + 2^2 + 2^1 43(base 10) =101011 (base 2) = 2^5 + 2^3 + 2^1 + 2^0 -Mensagem Original- De: gabriel guedes Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 4 de Dezembro de 2001 13:27 Terezan Assunto: potencias Ola amigos da lista , me fizeram a seguinte "todo numero Natural pode ser escrito como soma de potencias de base 2", eu não sei responder.Gostaria da ajuda de todos , se alguem ja viu algum trabalho relacionado a issoqualquer coisa mesmo
Re: ajuda (ERRATA)
Resposta do problema 3: (XYZ) representa o angulo entre os segmentos de reta XY e YZ. Seja AQB um triângulo com AQ = 6, BQ = 10, AB = k, com Q exterior a ABC. Ora, AQB é semelhante a APC (na verdade, sao até congruentes), donde: (BAQ) = (CAP) (I) Como o triângulo ABC é equilátero: (CAB) = 60 graus = (CAP) + (PAB)(II) De I e II vem: 60 graus = (CAP) + (PAB) = (BAQ) + (PAB) = (PAQ) (III) Do triângulo APQ vem; (AQP) + (QPA) + (PAQ) = 180 graus (IV) Mas AQ = AP, logo: (AQP) = (QPA) = x(V) De III, IV e V, vem: x + x + 60 = 180 -- 2x = 120 -- x = 60 graus, donde: O triângulo AQP é equilátero de lado 6 -- AQ = AP = PQ = 6 Como PQ = 6, BP = 8 e BQ = 10, aplicamos a lei dos cossenos em (BPQ): 10^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos((BPQ)) 2*6*8*cos((BPQ)) = 0 -- cos((BPQ)) = 0 (VI) Como (BPQ) está entre 0 e 180 graus (exclusos), de VI podemos concluir que: (BPQ) = 90 graus (BPA) = (BPQ) + (APQ) = 90 + 60 = 150 graus Aplicando a lei dos cossenos em (BPA), vem: k^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos(150) k^2 = 36 + 64 - 96 * (-sqrt3)/2 = 100 + 48sqrt3 k = sqrt(100 + 48sqrt3) ~= 13,53286514 Espero ter ajudado, [ ]'s Alexandre Terezan -Mensagem Original- De: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 4 de Dezembro de 2001 13:02 Terezan Assunto: Re: ajuda (ERRATA) On Mon, 3 Dec 2001, Vinicius José Fortuna wrote: Ops!, Cometi alguns equívocos: 2) Qual o 496o termo da sequencia 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...? Nessa sequência, o último número n aparece na posição n(n+1)/2, que é o somatório de 1 a n. Então para descobrirmos o 496o. termo, devemos resolver a inequação: x(x+1)/2 = 496, x0 Isso dá x = 31,5 Portanto o 496o. termo da sequência é 32 Errei as contas. É x=31. Então o 496o. termo é 31. 3) No interior do triângulo ABC, equilátero, existe um ponto P tal que AP = 6, BP = 8 e CP= 10. Determine o perímetro do triângulo ABC. Se eu não me engano, existe um teorema que diz que a soma das distâncias de qquer ponto interior de um triângulo equilátero é constante e igual a 2 x tamamnho do lado. Alguém pode confirmar isso pra mim? Na verdade o teorema que eu estava pensando diz que a soma distâncias de qquer ponto interior a todos os lados é constante e igual à altura. Mas aí não dá para resolver de forma tão direta. :-( Até mais Vinciius
Re: Traducao dos Problemas Russos
Olá Paulo e demais integrantes da lista. Eu nao sei se alguém já respondeu ao problema antes, mas lá vai uma tentativa. Gostaria que comentassem, minha solucao é tao elementar que acho q está errada, hehehe Imaginemos separadamente cada um dos 5 polígonos delimitados. 2 deles sao verdadeiros retangulos, cada um com 4 arestas. Mas há 3 deles que eu vou encarar como pentágonos pois possuem 5 arestas. Os pentágonos sao: - O polígono superior esquerdo - O polígono superior direito - O polígono inferior central Imaginemos um destes pentágonos. Chamemos de PS o ponto em que comecamos a desenhar a suposta curva e PF o ponto em que terminamos de desenhá-la. Cada vez que a curva cortar uma aresta do pentágono contaremos como 1 CORTE. Vamos imaginar um contra-exemplo para o enunciado, ou seja, ao menos uma curva que não passa por qualquer dos vértices e que cruza todas as arestas APENAS uma vez. Caso nao haja tal contra-exemplo estará demonstrado que: Qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das arestas mais de uma vez. Há 2 hipóteses: a) PS é interior ao pentágono -- neste caso, após 5 CORTES em arestas distintas (1 CORTE por aresta), PF tem de ser EXTERIOR ao pentágono; b) PS é exterior ao pentágono -- neste caso, após 5 CORTES em arestas distintas (1 CORTE por aresta), PF tem de ser INTERIOR ao pentágono; Ora, o mesmo raciocíno pode ser aplicado aos 2 outros pentágonos. Agora, verifique que há 2 casos que devemos considerar: I) PS é interior ao pentágono superior direito: Neste caso, é evidente que PS tem de ser exterior aos 2 outros pentágonos. PS ser exterior ao pentágono superior esquerdo (hipótese b) faz com que PF seja interior a ele. Mas PS ser exterior ao pentágono inferior central (hipótese b) faz com que PF seja também interior a ele. Como PF nao pode ser interior a 2 pentágonos distintos simultaneamente, chegamos a um ABSURDO. II) PS é exterior ao pentágono superior direito: Neste caso, pela hipótese b, PF deve ser interior a este pentágono. Assim, é evidente que PF tem de ser exterior aos 2 outros pentágonos. Mas PF ser exterior ao pentágono superior esquerdo implica que PS seja interior a ele (pois caso contrário, pela hipótese b, PF seria interior a este pentágono, o que é impossível). Pela mesma razao, PF ser exterior ao pentágono inferior central faz com que PS seja também interior a ele. Como PS nao pode ser interior a 2 pentágonos distintos simultaneamente, chegamos a um ABSURDO. Como nao há contra-exemplo para o enunciado que nao nos leve a um absurdo, CONLUSAO: Qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das arestas mais de uma vez. C.Q.D. [ ]'s Alexandre Terezan -Mensagem Original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 14 de Novembro de 2001 14:52 Terezan Assunto: Traducao dos Problemas Russos Ola Pessoal, Tudo Legal ? Talvez interesse a alguns estudantes que se preparam para Olimpiadas a traducao que fiz dos 100 primeiros problemas russos. Coloquei em formato Word para Windows. Como nao podemos remeter para esta lista mensagens com arquivos anexados, quem se interessar em ter estas traducoes basta me enviar um pedido por e-mail que responderei com as traducoes anexadas. Acrescento abaixo o primeiro problema : 1) Dados 12 vértices e 16 arestas dispostos como no diagrama abaixo : X-X-X | | | X--X--X--X--X | | | | X--X-X--X Prove que qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das aresta mais de uma vez. Um Grande abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1251,141101 _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Re: Traducao dos Problemas Russos
Olá Paulo e demais integrantes da lista. Eu nao sei se alguém já respondeu ao problema antes, mas lá vai uma tentativa. Gostaria que comentassem, minha solucao é tao elementar que acho q está errada, hehehe Imaginemos separadamente cada um dos 5 polígonos delimitados. 2 deles sao verdadeiros retangulos, cada um com 4 arestas. Mas há 3 deles que eu vou encarar como pentágonos pois possuem 5 arestas. Os pentágonos sao: - O polígono superior esquerdo - O polígono superior direito - O polígono inferior central Imaginemos um destes pentágonos. Chamemos de PS o ponto em que comecamos a desenhar a suposta curva e PF o ponto em que terminamos de desenhá-la. Cada vez que a curva cortar uma aresta do pentágono contaremos como 1 CORTE. Vamos imaginar um contra-exemplo para o enunciado, ou seja, ao menos uma curva que não passa por qualquer dos vértices e que cruza todas as arestas APENAS uma vez. Caso nao haja tal contra-exemplo estará demonstrado que: Qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das arestas mais de uma vez. Há 2 hipóteses: a) PS é interior ao pentágono -- neste caso, após 5 CORTES em arestas distintas (1 CORTE por aresta), PF tem de ser EXTERIOR ao pentágono; b) PS é exterior ao pentágono -- neste caso, após 5 CORTES em arestas distintas (1 CORTE por aresta), PF tem de ser INTERIOR ao pentágono; Ora, o mesmo raciocíno pode ser aplicado aos 2 outros pentágonos. Agora, verifique que há 2 casos que devemos considerar: I) PS é interior ao pentágono superior direito: Neste caso, é evidente que PS tem de ser exterior aos 2 outros pentágonos. PS ser exterior ao pentágono superior esquerdo (hipótese b) faz com que PF seja interior a ele. Mas PS ser exterior ao pentágono inferior central (hipótese b) faz com que PF seja também interior a ele. Como PF nao pode ser interior a 2 pentágonos distintos simultaneamente, chegamos a um ABSURDO. II) PS é exterior ao pentágono superior direito: Neste caso, pela hipótese b, PF deve ser interior a este pentágono. Assim, é evidente que PF tem de ser exterior aos 2 outros pentágonos. Mas PF ser exterior ao pentágono superior esquerdo implica que PS seja interior a ele (pois caso contrário, pela hipótese b, PF seria interior a este pentágono, o que é impossível). Pela mesma razao, PF ser exterior ao pentágono inferior central faz com que PS seja também interior a ele. Como PS nao pode ser interior a 2 pentágonos distintos simultaneamente, chegamos a um ABSURDO. Como nao há contra-exemplo para o enunciado que nao nos leve a um absurdo, CONLUSAO: Qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das arestas mais de uma vez. C.Q.D. [ ]'s Alexandre Terezan -Mensagem Original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 14 de Novembro de 2001 14:52 Terezan Assunto: Traducao dos Problemas Russos Ola Pessoal, Tudo Legal ? Talvez interesse a alguns estudantes que se preparam para Olimpiadas a traducao que fiz dos 100 primeiros problemas russos. Coloquei em formato Word para Windows. Como nao podemos remeter para esta lista mensagens com arquivos anexados, quem se interessar em ter estas traducoes basta me enviar um pedido por e-mail que responderei com as traducoes anexadas. Acrescento abaixo o primeiro problema : 1) Dados 12 vértices e 16 arestas dispostos como no diagrama abaixo : X-X-X | | | X--X--X--X--X | | | | X--X-X--X Prove que qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das aresta mais de uma vez. Um Grande abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1251,141101 _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Pergunta intrigante
Há pouco tempo um aluno me perguntou sobre uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 = 3r(xyz), x0, y0, z0 onde 3r está representando "raiz cúbica de" e = o sinal de "maior ou igual a" Nós já havíamos trabalhado por alto a desigualdade das médias, daí ele me fez a pergunta que eu nao soube responder: "Ora, sabemos que a média aritmética de n termos é maior ou igual à média geométrica destes termos. Como vale para n, vale para 3. Resolvido o problema?" Minha opiniao PARTICULAR é q nao... É óbvio que eu nao defendo a teoria de que pra usar "Pitágoras" em uma prova temos de antes demonstrá-lo... Mas também acho que deve haver bom senso na resolucao de uma prova. O que vocês da lista têm a dizer? Eu resolveria a questao da seguinte maneira: Seja nr(x) a raiz de índice n do número x. 1) Primeiro provemos que (x+y)/2 = 2r(xy) -- (x+y) = 2* 2r(xy) -- (x+y)^2 = 4xy -- (x-y)^2 = 0, que é sempre verdadeiro. Assim, analogamente (z+w)/2 = 2r(zw) e (c+d)/2 = 2r(cd) Seja (x+y+z+w)/4 = a. a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2 = [2r(xy) + 2r(zw)]/2 Se c = 2r(xy) e d = 2r(zw), vem: a = (c+d)/2 = 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 4r(xyzw) Fazendo w = (x+y+z)/3, vem: a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = w Como a = 4r(xyzw),entao: w = 4r(xyzw) -- w^4 =xyzw -- w^3 = xyz Ou: (x+y+z)/3 = 3r(xyz), c.q.d.
Re: Pergunta intrigante
Mas aí que está o grande problema...
Se o candidato pudesse assumir um "É fácil ver que" e^x
= 1 + x, tudo bem...
Mas a meu ver nao pode... teria de provar tal
desigualdade
-Mensagem Original-
De: Luis Lopes
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quinta-feira, 29 de Novembro
de 2001 21:00 Terezan
Assunto: Re: Pergunta intrigante
Sauda,c~oes,
Esta questão teria sido uma ótima ocasião para o candidato
ganhar os
pontos rapidamente.
A demonstração que segue já apareceu numa RPM.
Considere a desigualdade (pulo do gato para este nível) e^x
= 1 + x, (*)para
todo x em R. E e^x = 1 + x == x=0.
Substitua x por a_i/A - 1, com i = 1,2,...,n em (*)e
some os n resultados.
Você chegará a 1 = G^n / A^n
ou A = G.
[]'s
Luis
-Mensagem Original-
De:
Alexandre F. Terezan
Para: OBM
Enviada em: Quinta-feira, 29 de
Novembro de 2001 17:05
Assunto: Pergunta intrigante
Há pouco tempo um aluno me perguntou
sobre uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3
= 3r(xyz), x0, y0, z0 onde 3r está representando "raiz
cúbica de" e = o sinal de "maior ou igual a"
Nós já havíamos trabalhado por alto a
desigualdade das médias, daí ele me fez a pergunta que eu nao soube
responder:
"Ora, sabemos que a média aritmética de
n termos é maior ou igual à média geométrica destes termos. Como vale para
n, vale para 3. Resolvido o problema?"
Minha opiniao PARTICULAR é q
nao...
É óbvio que eu nao defendo a teoria de
que pra usar "Pitágoras" em uma prova temos de antes
demonstrá-lo...
Mas também acho que deve haver bom
senso na resolucao de uma prova. O que vocês da lista têm a
dizer?
Eu resolveria a questao da seguinte
maneira:
Seja nr(x) a raiz de índice n do número x.
1) Primeiro provemos que (x+y)/2 = 2r(xy)
-- (x+y) = 2* 2r(xy) -- (x+y)^2 = 4xy
--
(x-y)^2 = 0, que é sempre verdadeiro.
Assim, analogamente (z+w)/2 =
2r(zw) e (c+d)/2 =
2r(cd)
Seja (x+y+z+w)/4 = a.
a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2 = [2r(xy) +
2r(zw)]/2
Se c = 2r(xy) e d = 2r(zw), vem:
a = (c+d)/2 = 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] =
4r(xyzw)
Fazendo w = (x+y+z)/3, vem:
a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 =
w
Como a = 4r(xyzw),entao:
w = 4r(xyzw) -- w^4
=xyzw -- w^3 = xyz
Ou:
(x+y+z)/3 = 3r(xyz), c.q.d.
Re: 4 Questoes
Aí está o enunciado correto do problema 4: 4)Seja um paralelogramo ABCD. Traça-se uma reta que passa por D e corta o lado BC no ponto P e o prolongamento do lado AB no ponto Q. Se a área do triângulo DPC vale 8 e a área do quadrilátero ABPD vale 29, quanto vale a área do triângulo CPQ? -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2001 23:50 Terezan Assunto: Re: 4 Questoes 4) Seja um paralelogramo ABCD. Traça-se uma reta que passa por D e corta o lado BC no ponto P e o prolongamento do lado AB no ponto Q. Se a área do triângulo DAC vale 8 e a área do quadrilátero ABCD vale 29, quanto vale a área do triângulo CPQ? Se a área de DAC=8, então a de ABCD será 16, e não 29. Não será a área de ACPQ=29?? []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: Um tal de Newton...
Uma pequena distracao: (1 + 3x + 2x^2) = 2(x+1)(x+1/2) e nao (1 + 3x + 2x^2) = (x+1)(x+1/2) -Mensagem Original- De: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 21 de Novembro de 2001 02:41 Terezan Assunto: Re: Um tal de Newton... [EMAIL PROTECTED] wrote: Meus cumprimentos, Estava estudando um tal de Newton e encontrei uma questão interessante, embora eu esteja errando algo simples pra vocês... Questão (FFCLUSP) Mostrar que o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x^2)^10 é 3780. Meu erro: os coeficientes de x e de x^2 estão fazendo o coeficiente do termo x^8 ficar muito grande ... Vale lembrar q se vc estiver tentando usar a fórmula do Binômio de Newton, ela só vale para BInômios, ou seja, algo como (x+a)^n. Nós temos um TRInômio... Bem, mas vamos tentar... Sabemos q o trinômio pode ser reescrito como (x+1)(x+1/2). Assim, queremos saber o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de [(x+1)(x+1/2)]^10= [(x+1)^10][(x+1/2)^10] Seja a[i]x^i o termo de grau i do primeiro binômio e, p/não confunidir as letras, a[j]x^j o de grau j do segundo binômio. Assim, o nosso polinômio final terá termos da forma a[i]a[j]x^(i+j), com i e j variando (independentemente) de 0 a 10. Dessa forma, temos que achar i+j=8. As soluções (i;j) que estão no nosso intervalo são: (0;8), (1;7), (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2), (7;1) e (8;0). Agora sim podemos utilizar a fórmula do Binômio de Newton, calcular os coeficientes com i e j das soluções, fazer as devidas contas e pronto. Sei q deve dar algum trabalho, mas depois posso até fazer caso alguém queira. Como a essa hora meus neurônios já foram dormir, fico devendo uma solução mais concisa e prática. []'s Alexandre Tessarollo Caso alguém queira tentar... Muito grato, Héduin Ravell _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com
Re: IME (era: Re:dúvida)
Na verdade é possível resolver para o caso geral sqrt(a-sqrt(a-x))=x sabendo-se que x0. Essa foi a segunda maneira que eu, particularmente, enxerguei... a primeira foi a de aplicar infinitas vezes f(x) = sqrt(5-x), que pra mim foi a mais imediata... Voltando ao caso geral, a idéia é resolver a equacao de segundo grau em a... Essa nao foi a primeira e nem será a última vez que se resolve uma equacao em x por um artifício desses... eu já tinha utilizado este artifício para uma equacao MUITÍSSIMO parecida com este caso geral... Dentre as 4 respostas obtidas para x, apenas uma é a correta... Se alguém desejar, eu mostro em detalhes, mas nao creio q seja necessário... -Mensagem Original- De: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 14 de Novembro de 2001 19:17 Terezan Assunto: IME (era: Re:dúvida) luis felipe wrote: concordo com o alexandre a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas questões estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar também uma falha grave no enunciado da questão 8 valeu luis felipe Já que ninguém comenta, comento eu. Comecemos pela questão 9. Resolva a equação sqrt(5-sqrt(5-x))=x sabendo-se que x0. Eu já devo ter visto umas 4 soluções diferentes, mas em quase todas havia pelo menos um passo não justificado ou questionável... Uma delas era: Seja f(x) = sqrt(5-x). Temos f(f(x))=x. Logo, f(x)=f^(-1)(x). Aí vem a parte é fácil ver que os gráficos de f(x) e de f^(-1)(x) se cruzam sobre a reta y=x. A partir daí, temos f(x)=x, resolve-se uma equação do segundo grau e pronto. Mas falta demonstrar a parte é fácil ver... Outra diz: Aplicando f(x) nela mesma 2n vezes, com n tendendo ao infinito, teremos f(f(f(f((f(x))...=x. Logo, podemos trocar todos os f(f(f...(f(x))...))) de dentro do primeiro f por x. Assim teremos f(x)=x e novamente é só resolver a eq do segundo grau. A solução, olhando com carinho, está certa, mas foi utilizado o conceito de limite. Ainda há uma terceira, esta já sem erros mas um pouco mais longa. Trata-se da solução do Poliedro: Como x0 e real, temos que 0x5. Tome y=sqrt(5-x) (I). A equação original transforma-se em sqrt(5-y)=x (II) Elevando I e II ao quadrado, temos: y^2=5-xIII x^2=5-yIV Fazendo III-IV, temos y^2-x^2=y-x (y+x)(y-x)=y-x (y+x)(y-x)-(y-x)=0 (y-x)(y+x-1)=0 Segue que y-x=0V OU y+x-1=0VI De V segue a nossa equação do segundo grau. Considerando o intervalo 0x5, só teremos uma resposta - a certa. Falta examinar VI. Substituindo-a em III ou IV, teremos uma equação do segundo grau que resulta só uma resposta no intervalo 0x5. Contudo, como elevamos ao quadrado as eqs I e II p/chegarmos a III e IV, precisamos verificar via teste se essas duas soluções servem ou não. Fazendo isso só teremos a resposta correta... Há ainda uma resposta, esta feita pelo Prof. Raul Agostino: Elevando a equação ao quadrado e arrumando, temos: 5-x=sqrt(5-x) Elevando novamente, temos: 25-10x^2+x^2=5-x O que todo mundo tenta daqui em diante é somar tudo num lado só, chegar num polinômio do QUARTO grau e não conseguir resolvê-lo - ele não possui raízes óbvias, sequer inteiras... O pulo do gato segue abaixo, se vc não quiser ver, pare aqui.. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Bum!! Brincadeirinha... :0) Olhando com MUITO carinho e MUITA boa vontade, podemos arrumar a equação assim: 25-(2x^2+1)5+x^4+x=0 Um olho treinado verá uma equação do SEGUNDO grau em CINCO. Isso mesmo, algo da forma a(5^2)+b(5)+c=0. Resolvendo, teremos: 5=(2x^2+1 +-sqrt(4x^4+4x^2+1-4x^4-4x))/2 Dentro da raiz fica 4x^2+1-4x = (2x-1)^2. Tirando a raiz, deveríamos colocar o módulo mas, como já existe o +-, basta colocar direto mesmo. Fica: 5=(2x^2+1 +-(2x-1))/2 Resolvendo e respeitando os intervalos, teremos a solução... []'s Alexandre Tessarollo
Re: Definicoes Urgentes (para hoje)
Muito Obrigado, Alvaro e Haroldo, pela ajuda!!! - Original Message - From: Alvaro de Jesus Netto [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quinta-feira, 1 de Novembro de 2001 02:45 Terezan Subject: Re: Definicoes Urgentes (para hoje) Saudacoes a todos. 1) Matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Os cofatores sao construidos da seguinte forma: A(i,j) = ((-1) ^ (i + j)) * Det(B), onde B eh a matriz resultante da retirada da i-esima linha e j-esima coluna da matriz original. A matriz adjunta eh muito util para calculo da inversa. 2) Um cone sera equilatero se for reto e sua secao transversal for um triangulo equilatero. Abracos, Alvaro. Saudacoes... Por favor, alguém poderia me ajudar com estas duas definicoes simples? 1) O que é A*, a matriz adjunta de A, e como se calcula? 2) Qual a condicao para definirmos um CONE como equilátero? Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1; name=Anexo: 1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Content-Description: -- Nome: Alvaro de Jesus Netto. e-mail: [EMAIL PROTECTED] (atenção para o zero após o r).
Re: Outro probleminha sobre horas.
VOU CONSIDERAR COMO Ângulo formado entre os outros dois como o ÂNGULO AGUDO FORMADO ENTRE OS OUTROS DOIS. Caso eu tenha compreendido mal, a resposta estará incorreta, mas o raciocínio será o mesmo. Seja Ag a representacao de A graus No caso dos ponteiros das horas, 1h = 30g, 1 min = 0,5g e 1s = 1/120g No caso dos ponteiros dos minutos, 1 min = 6g e 1s = 0,1g No caso dos ponteiros dos segundos, 1s = 6g Verifique agora que de 12h00min00s às 12h01min00s o ponteiro dos segundos NUNCA se encontra entre os outros dois. No entanto, entre 12h01min00s e 12h02min00s obrigatoriamente o ponteiro dos segundos se torna bissetriz dos outros dois... Assim, o horário pedido é 12h01minXs Devemos encontrar tal X. Seja B(h) o ângulo formado entre o ponteiro das horas e a marca 12 do relógio, B(min) o ângulo formado entre o ponteiro dos minutos e a marca 12 do relógio e B(s) o ângulo formado entre o ponteiro dos segundos e a marca 12 do relógio. Queremos que B(min) - B(h) = 2 * [ B(s) - B(h) ] Mas B(h) = 1/2 + X/120 B(min) = 6 + X/10 B(s) = 6X Resolvendo, vem X ~= 0,5466 segundos O horário pedido é 12h01min e 0,5466 segundos. PS: Se for pedido a bissetriz de qualquer ângulo formado, entao a bisseteriz se dará logo no primeiro minuto, em torno de: 12h00min30,5segundos (PROVE ISTO) - Original Message - From: Alvaro de Jesus Netto [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 31 de Outubro de 2001 12:48 Terezan Subject: Outro probleminha sobre horas. Saudacoes aos colegas da lista. Ao meio dia os ponteiros de um relogio (hora, minuto e segundo) estao superpostos. Quando, apos essa superposicao, pela primeira vez, o ponteiro dos segundos sera bissetriz do angulo formado pelos outros dois? Abracos, Alvaro. -- Nome: Alvaro de Jesus Netto. e-mail: [EMAIL PROTECTED] (atenção para o zero após o r).
Definicoes Urgentes (para hoje)
Saudacoes... Por favor, alguém poderia me ajudar com estas duas definicoes simples? 1) O que é A*, a matriz adjunta de A, e como se calcula? 2) Qual a condicao para definirmos um CONE como equilátero?
Re: Minimo
Gostaria que vcs verificassem se minha resposta está CORRETA, uma vez q nao me propus a utilizar derivadas... Seja f(x) = x^x , para x real positivo... Se k é também um real positivo, entao f(x+k) = (x+k)^(x+k) Ora, para que f(x+k) f(x), entao: (x+k)^(x+k) x^x Entao: [(x+k)/x]^x 1/[(x+k)^k] Mas como sabemos que [(x+k)/x]^x = [1 + (k/x)]^x e^k para todo k e x real, entao: 1/[(x+k)^k] e^k , ou x+k 1/e -- x 1/e - k Como isto vale para TODO k real positivo, entao NECESSARIAMENTE: x 1/e ou x = 1/e. Ou, seja, para todo x = 1/e a funcao f(x) é crescente. Por outro lado, para que f(x-k) f(x), entao (x-k)^(x-k) x^x Logo, [(x-k)/x]^x (x-k)^k . Como [(x-k)/x]^x = [1 - (k/x)]^x, que é menor que [(1/e)^k] para todo k e x reais positivos, entao: (x-k)^k[(1/e)^k]--x-k 1/e-- x 1/e + k Como isto vale para TODO k real positivo, entao NECESSARIAMENTE: x 1/e ou x = 1/e . Ou, seja, para todo x = 1/e a funcao f(x) é decrescente. Mas se f(x) é decrescente até x = 1/e e é crescente a partir deste valor, entao o valor MÍNIMO de f(x) é obrigatoriamente f(1/e) = (1/e)^(1/e). Correto? - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 19 de Outubro de 2001 06:57 Terezan Subject: Re: Minimo On Thu, Oct 18, 2001 at 09:50:40PM -0200, Anselmo Alves de Sousa wrote: Olah! Mais uma vez venho aqui com uma duhvida. E quem diria? O professor ... Legal. Aplicando a primeira derivada resolvemos rapidamente. O problema é que a resposta foi dada na forma de raiz de indice e de 1/e. Gostaria de saber se existe significado para raizes de indice irracionais. Outro exemplo: raiz de indice pi. A explicação mais simples e elementar que eu conheço é a seguinte. LEMA: Dado um número real a 1 existe uma única função crescente f: R - R satisfazendo f(1) = a e f(x+y) = f(x) f(y). Dado um número real 0 a 1 existe uma única função crescente f: R - R satisfazendo f(1) = a e f(x+y) = f(x) f(y). Aceitando este lema definimos a^x = f(x). A raiz de índice x de a é f(1/x). Por alguma razão esta apresentação parece ser incomum. Parece que a maioria dos autores acha que é necessário falar de limites para definir a^x. Na pior das hipóteses é necessário usar conceitos de sofisticação comparável ao de limite para *provar* o lema, mas não para definir. []s, N.
Re: Problema bonito
Sério, como? - Original Message - From: harold To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quinta-feira, 11 de Outubro de 2001 04:13 Terezan Subject: Re: Problema bonito -Mensagem original-De: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED]Para: OBM [EMAIL PROTECTED]Data: Quarta-feira, 10 de Outubro de 2001 15:51Assunto: Problema bonito Seja 7@30' a representacao de 7 graus e 30 minutos. Seja sqrtx a raiz quadrada de x Demonstre que tg ( 7@30 )= sqrt6 - sqrt3 + sqrt2 - 2 sabemos que tg 2a= 2tga/1-tga .tga e sabemos que tg 15= 2 - sqrt3 desenvolvemos a fórmula acima e chegamos a uma equação de grau 2.encontrando o resultado acima.
Re: Problema sobre primos
Tem certeza de q vc escreveu corretamente a funcao??? - Original Message - From: Paulo Jose Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Segunda-feira, 8 de Outubro de 2001 16:15 Terezan Subject: Re: Problema sobre primos Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não existe!!! Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... Ruy Ruy, existem infinitas fórmulas que geram somente números primos. O que acontece é que a grande maioria dessas fórmulas são inúteis do ponto de vista prático. Por exemplo, não é difícil provar com a ajuda do Teorema de Wilson, que a função f(x, y)=(y-1)/2[|B^2-1|-(B^2-1)]+2, onde B=x(y+1)-(y!+1), x e y são números naturais, gera somente números primos, gera todos os primos e gera todos os primos ímpares exatamente uma vez.
equacao
Estou empacado numa equacao... Parece ser óbvio, mas nao consigo enxergar... a^2 + b^2 = 16 a^2 + (c - b)^2 = 25 b^2 + (c - a)^2 = 1 Quanto vale c^2 ???
Re: Encontrar os números inteiros
Dividindo (n^2 + 7) por (n+3) encontramos quociente (n-3) e resto 16. Ou seja, (n^2 + 7) = (n+3)(n-3) + 16 Logo, (n^2 + 7)/(n+3) = (n-3) + 16/(n+3), que é inteiro quando (n+3) divide 16. Divisores inteiros de 16: -16, -8, -4 , -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16 (n+3) = -16 -- n = -19 (n+3) = -8 -- n = -11 (n+3) = -4 -- n = -7 (n+3) = -2 -- n = -5 (n+3) = -1 -- n = -4 (n+3) = 1 -- n = -2 (n+3) = 2 -- n = -1 (n+3) = 4 -- n = 1 (n+3) = 8 -- n = 5 (n+3) = 16 -- n = 13 - Original Message - From: Davidson Estanislau To: obm Sent: Quinta-feira, 30 de Agosto de 2001 08:08 Terezan Subject: Encontrar os números inteiros Encontrar todos os números inteiros n tais que (n^2 + 7)/(n + 3) também é um número inteiro. Davidson
Re: Estatística e resta -um
A questao do resta-um nao é difícil, se vc já viu a resposta antes... :-)
A verdade é que a dificuldade desta questao (assim como de muitas outras)
reside na elaboracao de como atacá-la...
Bom, desenharei, na medida do possível, o tabuleiro de resta-um, com as
casas inicialmente OCUPADAS pelas cores A,B,C apropriadamente.
C A B
B C A
B C A B C A B
A B C B C A
C A B C A B C
A B C
C A B
Repare que, o primeiro movimento significa inevitavelmente apagarmos 1 cor
B e 1 cor C e pintarmos uma cor A no centro.
Analogamente, todos os movimentos se resumem em 3:
- apagar 1B e 1C, pintar 1A
- apagar 1A e 1C, pintar 1B
- apagar 1A e 1B, pintar 1C
Assim, em todos os casos, adicionamos ou reduzimos 1 unidade do total de
unidades de determinada cor.
Seja x{n} o número de casas pintadas da cor X após a jogada n.
Logo, a{0} = 10, b{0} = 11 , c{0} = 11.
Consideremos a soma a{n} + b{n}.
Ora, a{n+1} = a{n} +- 1
b{n+1} = b{n} +- 1
Logo, a{n+1} + b{n+1} = a{n} + b{n} + {-2,0,2}
Assim, conclui-se que (a{n+1} + b{n+1}) possui a mesma paridade de (a{n} +
b{n}), que possui a mesma paridade de (a{0} + b{0}), q é impar (10+11=21).
Analogamente, conclui-se que a{n} + c{n} é ímpar, já que a{0} + c{0} = 21,
e que b{n} + c{n} é par, visto que b{0} +c{0} = 22.
Seja k a última rodada do jogo.
- Se a última peça estiver numa casa B, a{k} + c{k} = 0, impossível, pois
a{k} + c{k} é ímpar.
- Se a última peça estiver numa casa C, a{k} + b{k} = 0, impossível, pois
a{k} + b{k} é ímpar.
- Se a última peça estiver numa casa A, a{k} + c{k} = 1, a{k} + b{k} = 1
e b{k} + c{k} = 0, o que é possível.
Logo, obrigatoriamente a última peça deve estar em uma casa A.
Se pintarmos o tabuleiro da maneira oposta:
C A B
A B C
C A B C A B C
A B C B C A
B C A B C A B
B C A
C A B
Concluímos novamente que a última peça só pode repousar em A.
Somando os dois casos, as únicas casas que sao de cor A em ambas as maneiras
de pintar sao 5:
- a casa central
- a casa da 1a fileira, 4a coluna
- a casa da 4a, fileira, 1a coluna
- a casa da 7a fileira, 4a coluna
- a casa da 4a fileira, 7a coluna
Logo, só estas casas podem abrigar o último pino.
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sábado, 18 de Agosto de 2001 13:03 Terezan
Subject: Estatística e resta -um
Caros amigos da lista,
Pode ser que a pergunta seja um pouco off topic , ne verdade, acho que é
completamente off topic, bom, mas já que esou escrevendo o e-mail vamos a
questao.
em fato, nunca entendi muito bem pq o desvio padrao amostral é considerado
mais apurado do que o desvio médio, pelo menos uma razao matematica,
demonstrável, para isso. Será que alguem poderia me ajudar com isso?
Pra nao perder a viagem, aí vai um probleminha (alguém me disse que esta foi
do professor Nicolau)
No jogo resta-um , quando se deixa apenas um pino sobre o tabuleiro, esse
pino só pode ocupar determinadas posiçoes. Determine quantas sao essas
posiçoes.
um abraço a todos,
Thiago Brando
dúvidas banais
Estou com 2 dúvidas banais, mas que nao consigo solucioná-las por nao ter a possibilidade de consultar um livro do ensino médio. Sao elas: O que define uma hipérbole EQUILÁTERA? O que define um cilindro EQUILÁTERO?
mais uma banal
Mais uma coisinha... Quais sao os eixos da HIPÉRBOLE?
Re: problema de probabilidade...
Eu encontrei outra resposta para a questao, embora utilizando o mesmo raciocínio... p(31) = (2^30 + 2)/(3 * 2^30) , que tb é próximo de 1/3. Da mesma forma, p(7) = 11/32 = (2^6 + 2)/(3 * 2^6). Para todo n ímpar,p(n) = [2^(n-1)+2]/[3 * 2^(n-1)] Para todo n par, p(n) = [2^(n-2)-1]/[3 * 2^(n-2)] - Original Message - From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 23 de Maio de 2001 10:47 Terezan Subject: Re: problema de probabilidade... Este problema já caiu em uma OBM, exceto que lá as cores erammagenta, amarelo e ciano. Obviamente alguém preferiu trocarpor cores mais 'fáceis' sem alterar a primeira letra do nome de cada cor.Até o nome do personagem era o mesmo. E quem propôs o problema fui eu.No dia 1 a probabilidade dele usar o par de cor M é 1.No dia 2 é 0, no dia 3 é 1/2.Em geral, se no dia n a probabilidade é p(n), no dia n+1 seráp(n+1) = (1-p(n))/2. Resolvendo esta recorrência temosp(n) = (1 - (-1/2)^(n-2))/3 ep(31) = (1 - (-1/2)^29)/3 = (2^29 - 1)/(3*2^29)O que está, como era de se esperar, muito perto de 1/3.[]s, N.On Tue, 22 May 2001, Luis Lopes wrote: Sauda,c~oes, Repasso um problema de uma outra lista. [ ]'s Lu'is From: "Daniel Cid (sinistrow)" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [Olympium] problema de probabilidade... Date: Fri, 18 May 2001 13:31:27 -0300 Alguem pode me ajudar nesse problema ?? Jose tem tres pares de oculos, um marrom, um amarelo e um cinza. Todo dia ele escolhe um ao acaso, tendo apenas o cuidado de nunca usar o mesmo que usou no dia anterior. Se dia primeiro de agosto ele usou o marrom. Qual a probabilidade de que no dia 31 de agosto ele volte a usar o marrom ??? []`z -- Daniel B. Cid (sinistrow)
Re: Dois problemas de Teoria dos Números.
Resposta da Questao 1: Para K = 1, basta escolhermos um M composto qualquer (10, por exemplo). Para K 1, basta fazer M = [(K+1)! + 2] - Original Message - From: "Marcos Eike" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quinta-feira, 10 de Maio de 2001 22:56 Subject: Dois problemas de Teoria dos Números. Pessoal, vcs poderiam fornecer soluções interessantes para:1) Let K be a positive integer. Prove that the sequence of natural numberscontains an infinite set of sequence M, M+1, ..., M+K-1, not containingprimes.2)Prove that there an infinite numbers composite among the numbersrepresented by the polynomial a_0 * x^n + a_1 * x^(n-1) + ... + a_n, wherea_0, a_1, ... , a_n are integer and a_0 0.Por favor!!!Ats,Marcos Eike
Re: Sobre o Problema 3N+1
Seria interessante que vcs compartilhassem idéias e descobertas na lista, para que possamos todos contribuir... - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 12:45 Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Ola Rui e Colegas da Lista, Tudo Legal ? Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau o apresentou. Mas desde entao não me ocupei mais com ele. Se voce quiser, nos podemos trabalhar nele juntos. Consegui o seguinte : 1) Mapear todos os numeros que com certeza atendem a conjetura, associando a cada um uma sequencia finita de numeros naturais. 2) Para cada sequencia, conseguo determinar o expoente ^que faz com que S^p(N)=1 3) Associar a este mapeamente uma rede bastante complicada. Aqui eu parei. Minha intuicao : Se existe um numero tal que não existe p com S^p(N)=1, isto implica que as sucessivas aplçicaçoes de S conduzirao a uma sequencia infinita. A ideia e mostrar que isto e impossivel. Como fazer esta prova : Estudando as propriedades topologicas da rede ( voce chama de arvore ). Eu terminei me desinteressando pela questao, pois me envolvi com outras temas tambem emocionantes ( acredito que descobri as colunas ocultas do triangulo de Pascal, o que me permite falar em sequencias aritmeticas de ordem racional. Isto esta diretamente ligado a serie de euler : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (pi)^2/6 agora entendo que a formulacao correta - Tio Euler nao viu isso - e : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (1/3!)*(1 - 1/3 + 1/5 ...)*(1 - 1/3 + 1/5 ... ). É o teorema das colunas generalizado. posso portanto pensar em encontrar o valor de : 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... A partir daqui surge a funcao : F(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... Ora, esta funcao e um plano vertical cortando a funcao mais geral : F(z) = 1 + 1/2^z + 1/3^z + ... E isto esta ligado a Conjectura de Riemnam. ) Voce deve ser novo na Lista. Nao me lembro de nenhuma mensagem sua anteriormente. Se assim for, seja bem vindo. Eu sou abandonante ( realmente : abandonante = abandonando ) de Engenharia migrando para Matematica. Se voce quer discutir Matematica, sem frescura e estrelismos, vai ser legal a nossa correspondencia. Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 4,0944,09052001 From: Rui Viana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300 Oi Paulo, Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma formulacao bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma pensada nele. A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum as demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore que comeca no 1 e vai descendo assim : 1 2 4 8 16 325 6410 . Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando material relativo ao problema, ideias, solucoes.. []'s Rui Viana From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Sobre o Problema 3N+1 Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47 Ola Pessoal ! Pelo que me lembro, o problema 3N+1 foi apresentado a esta lista pelo Prof Nicolau. Este problema tambem e conhecido como problema de Siracura, dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue : Seja F:N - N uma funcao, tal que F(n) = 3n+1, se n e impar F(n) = n/2, se n e par. Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)..., isto e, F^p(n) e a composicao de F com ela mesma p vezes, entao : CONJECTURA : Para todo n natural, existe um p natural tal que F^p(n)=1. Este conjectura, pelo que sei, esta em aberto. Muitos Matematicos de Escol tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ... Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar alguns aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao ! O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum n impar aplicarmos F(n)=3n+1 e o resultado por uma potencia de 2, entao a ulterior aplicacao de F(n)=n/2 ira nos conduzir fatalmente a 1. Isto mostra que a sequencia 2,4,8,16,...,2^p,... funciona como um BLACK HOLE ou SORVEDOURO, de forma que podemos refornular a conjectura da seguinte maneira : CONJECTURA1 : Para todo n natural, existe um p
Re: ITA
Mais uma coisa... Eu fui um caso à parte,pois estava em dúvida entre Engenharia e Medicina, daí nao ter feito turma IME-ITA, mas sim uma Especial para Biomédicas... Bom, eu nao fiz vestibular pro ITA, mas fui aprovado no IME (nao saía classificacao na época)... Quanto à UFRJ, o que eu tenho a dizer é que com um pouco de astúcia boas colocacoes sao bastante plausíveis... Acredito que minhas notas (que expusno último e-mail) foram bem dentro da realidade... nem um pouco excepcionais... No entanto, eu fiquei em 1olugar no vestibular de Medicina, simplesmente porque soube distribuir meus esforços... Se eu tivesse tirado 8,0 em todas as provas (tática da dispersao de esforços) eu até passaria (40,0 pontos) mas minha colocacao seriabem inferior... O que eu quero dizer é que eu só tirei 4 notas acima de 8 no Vestibular e passei com bastante folga... Pra bom entendendor, meia palavra basta... :-) - Original Message - From: Fábio Arruda de Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 4 de Maio de 2001 08:22 Subject: ITA Caro Gustavo, Se realmente é isto que você quer, dar-te-ei algumas dicas. Inicialmente, entre numa turma preparatória IME/ITA. Esta não é a solução, porém vai te ajudar muito. Dedique-se as matérias do concurso, estudando todo o programa de matérias. Não deixe de estudar nada, pois uma questão fácil de um assunto não estudado, torna-se muito difícil. Se forem difíceis as questões do assunto que você estudou, teremos um grande problema. Nãoabandone matérias como português e línguas (deixei de ser 1º colocado no IME por causa de português - fui 2º). Tente estudar o maior número de horas possível. Resolva todas as provas anteriores, elas dão umaboa preparação. Faça um estudo sólido e consistente. Decorar física, química ou matemática não é um bom negócio. Tente entender os conceitos e deduzir por si mesmo as fórmulas. E tenha sempre uma coisa em mente, se o Fábio Arruda passou então eu passo (consegui muitas coisas pensando assim - se alguém passou, então eu posso passar). Nada na vida é impossível. Tudo é uma questão de escolha e sacrifícios. Se você sacrificar outros afazeres, certamente você terá tempo suficiente. Espero ter ajudado. Um abraço Fábio Arruda - Original Message - From: Gustavo Martins To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, May 04, 2001 1:13 PM Subject: Re: Aprendendo mat. sem perder o resto Eu quero é Eng. Aer. no ITAmesmo. Se for realmente impossível isso, eu faço física. []s Gustavo - Original Message - From: Fábio Arruda de Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 03, 2001 1:11 PM Subject: Re: Aprendendo mat. sem perder o resto Bom Gustavo, Tudo depende do seu objetivo. Quando eu terminei o 2º grau, meu desejo era fazer o IME, fui parar na Turma IME/ITA, abandonei as matérias tipo Biologia, História,... Entretanto, se este não for o seu objetivo, não deixe de estudá-las. Principalmente, línguas e português. Alguns colegas do meu tempo de IME estão na Microsoft (desenvolvendo coisasfor Windows), porém eles continuaram estudando inglês e espanhol. Pense bem, esta é uma decisão difícil. Um abraço Fábio Arruda - Original Message - From: Gustavo Martins To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 03, 2001 4:43 PM Subject: Aprendendo mat. sem perder o resto Colegas: Estou no 3º ano do Ens. Médio e percebi que se eu desejo aprender *bem* a Matemática e outras matérias exatas, tenho que ter dedicação quase exclusiva, ficando com pouquíssimo tempo para estudar os "outros" assuntos (biologia, geografia, etc). Porém, se eu tiver que fazer isso,posso me dar mal. Creio que alguns já passaram por esse problema e podem me dar algum tipo de sugestão para que eu possa aprender bem as matériasexatas e sobrar algum tempo para as outras. Qualquer ajuda serve. Atenciosamente, Gustavo
Re: raiz quadrada - novamente 2
Acredito que a afirmação sqrt(4) = + 2 deve ser lida como: sqrt(4) = 2 e sqrt(4) = -2, o que justificaria ser uma proposição FALSA, já que sqrt(4) = -2 é FALSO. Isso porque, da mesma forma, quando dizemos que as raízes da equacao x^2- 4 = 0 são 2 e -2 (o que é VERDADEIRO), representamos como x = + 2. Este "ou" de "mais ou menos" não representa o OU (v) da lógica matemática. - Original Message - From: Fábio Arruda de Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Segunda-feira, 23 de Abril de 2001 23:27 Subject: Re: raiz quadrada - novamente 2 Olá amigos, Então vou aproveitar a dúvida do Nicks, para tentar ajudar a outros. O Colégio São Bento no Rio, ensina lógica matemática na 5ª série do 1º grau, matéria que eu fui estudar apenas na Turma IME/ETA (Prof. Roquette - alguns desta lista devem lembrar dele) e, realmente, bem estudado no IME na Curso de Engenharia de Computação. Entretanto, acho que há um erro no Currículo Brasileiro de Matemática, por nãoser disciplina obrigatória para todos os Colégios. Bom, feita a introdução, passemos ao que interessa. Os primeiros conectivos lógicos importantes são o "E","OU" e o "~" (lê-se Não). Em seguida, há que se distinguir "Definições" e "Teoremas". Quando definimos algo,usamos o conectivo lógico "se e somente se" (lê-se =). Por outro lado, quando expressamos uma Teorema, normalmente, escrevemos a Hipótese "=" Tese.Muito cuidado, no uso deste último. Implicações só caminham para frente, nunca para trás. Há outros conectivos usados em computação como o "OU EXCLUSIVO". Como sugestão,seria interessanteler o livro do Prof. Edgar de Alencar Filho - Lógica Matemática. Se eu não me engano, o Gelson Iezzi tem alguns páginas no Livro I. Um abraço galera. Fábio Arruda - Original Message - From: Nicks To: [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, April 24, 2001 4:45 AM Subject: Re: raiz quadrada - novamente 2 Obrigado Fábio pelo alerta e, realmente atropelei a lógica matemática na forma que foi escrita; mas a minha dúvida é a veracidade ou não da proposição s , já que "p OU q" é verdadeiro quando pelo menos um deles é verdadeiro .[]'s NicksAt 11:33 23/4/2001 -0300, Fábio Arruda de Lima wrote: Olá.Veja bem amigo Nicks, na Lógica Matemática tem coisas que são distintas: "E", "OU", "ENTÃO" e "Se e Somente Se".Para "E" ser verdade é necessário que ambas as afirmativas sejam verdadeiras.Para "OU" ser verdade é necessário que uma delas seja verdade ou as duas sejam. E veja os outros casos...Na sua tese estes conectivos lógicos se misturaram. Você escreveu o seguinte:"s: sqrt(4)= +2 ou seja s: sqrt(4) =2 ou sqrt(2)=-2 . Como sqrt(4) =2 é verdadeira e sqrt(2)=-2 é falsa , concluímos que s é uma proposição verdadeira ; ou seja sqrt(4)= +2 é verdadeiro logicamente "Obeserve o "OU" e o "E"; Veja se seu uso foi realmente correto. Além disso, o termo "Ou seja" significa Tabela Verdade do "então" ou do "se somente se"?! A verdadeira lógica matemática é fundamentada na precisão do uso dos conectivos.Um abraço.Fábio - Original Message - From: Nicks To: [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, April 23, 2001 9:28 PMSubject: Re: raiz quadrada - novamente 2Olá pessoal ,Agradeço ao Professor Jose Paulo Carneiro pelo seu esclarecimento,pois um colega de turma havia dito que sqrt(4)=+ 2 no campo dos complexos e, agora pelo que entendi esta afirmativa é falsa , já que 4 é um número real .Agora ,o que está me intrigando é o seguinte fato :considere a seguinte afirmativa :p: 98 ou 8=9 ; pelo estudo da Lógica Matemática temos que o valor lógico de p é verdadeiro .Agora considere a seguinte afirmativa s: sqrt(4)= +2 ou seja s: sqrt(4) =2 ou sqrt(2)=-2 . Como sqrt(4) =2 é verdadeira e sqrt(2)=-2 é falsa , concluímos que s é uma proposição verdadeira ; ou seja sqrt(4)= +2 é verdadeiro logicamente , ???!! .Diante de tal problemaeu e um colega discutimos e este amigo afirmou :" à luz da Lógica Matemática é uma afirmativa verdadeira , mas quando perguntamos sqrt(4) estamos interessado na raiz positiva ". Indaguei o seguinte :se s fosse sqrt(4) =2 ou sqrt(4)=5 , isto não seria verdadeiro ? só devemos usar a Lógica Matemática quando alguém perguntar ? acredito que devemos usá-la sempre , ok ? . Foi exatamente aqui que este colega disse que no campo dos complexos sqrt(4) = +2 .O que vocês da lista acham desta discussão ? desculpem se este papo está se estendendo muito , mas isto não está me deixando sossegado.[]'s NicksAt 21:41 17/4/2001 -0300, Jose Paulo Carneiro wrote:Muito
Re: Algoritmo de equacao
Vindo do senhor, sinto-me muito grato pelo
elogio.
Aliás, a história da minha "descoberta" é muito
simples.
Vem do seguinte (e fácil) probleminha:
Sejam x1 e x2 as raízes da
equacao x^2 + bx + c = 0. Sejam (x1)^3 e (x2)^3 as raízes da equacao x^2 +
px + q = 0. Encontre p e q em funcao de b e c.
Como resposta temos: q = c^3; p = b^3 -
3bc
Rearrumando a segunda equacao, vem: b^3 - 3bc -
p = 0
Meu algoritmo nada mais é do que arrumar uma equacao de
terceiro grau de forma que ela possa ser resolvida pela equacao de terceiro
grau:
b^3 - 3bc - p = 0 , onde eu quero
encontrar b, que corresponde ao oposto da soma das raízes cúbicas da
equacao:
x^2 + px + q = 0 , onde q =c^3.
Espero ter sido claro...
[ ]'s
Alexandre Terezan
- Original Message -
From:
Jose Paulo
Carneiro
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sexta-feira, 13 de Abril de 2001
04:50
Subject: Re: Algoritmo de equacao
Quero acrescentar o seguinte:
1) De qualquer forma, se o Alexandre redescobriu
sozinho o metodo de Cardano, ele estah de parabens!
2) O Gugu, quando era aluno do ensino medio,
descobriu sozinho um metodo, diferente do de Cardano, para resolver "por meio
de radicais" as equacoes do terceiro e do quarto grau. Isto estah em algum
numero da Revista do Professor de Matematica.
3) Para o 4o grau, o meu livro menciona apenas
superficialmente um metodo muito chato. O mais comumente mencionado eh o de
Ferrari, contemporaneo de Cardano. Gosto mais do metodo do Gugu.
4) Fique claro que a resolucao por meio de
radicais tem um interesse mais teorico e historico. O mais pratico mesmo eh
usar metodos numericos que servem para qualquer grau (tambem estao no meu
livro, sem usar "Calculo").
JP
- Original Message -
From:
Luis
Lopes
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, April 12, 2001 4:35
PM
Subject: Re: Algoritmo de equacao
Sauda,c~oes,
Somente duas observações:
1) as equações do 3o. grau não precisam ser incompletas. O
algoritmo resolve equações do tipo
a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 . Só que o primeiro passo
é transformá-la na equação ax^3 + bx + c = 0
através de uma mudança de
variáveis.
2) há também um algoritmo para resolver equações do 4o.
grau. E um dos passos é resolver uma equação do 3o. grau.
O livro do JP deve falar disso.
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De:
Jose Paulo
Carneiro
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quinta-feira, 12 de Abril
de 2001 14:32
Assunto: Re: Algoritmo de
equacao
Isto eh o metodo conhecido como de Cardano
(embora a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro
impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro
Resolucao de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ. Santa Ursula.
So alguns detalhes:
a) No passo 2, eh q, e nao -q.
b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz
"encontramos raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou complexos?
Se for nos complexos, seria necessario esclarecer qual das 3 raizes
cubicas se escolherah. Isto pode dar problema no passo 6, e voce achar
"raizes estranhas". Se voce so aceitar trabalhar nos reais, nao
conseguirah resolver equacoes simples, que so tem raizes
reais.
O melhor ehsubstituir os passos 3 a 6
por:
3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da
equacao acima.
4) Encontre uma raiz cubicaz de y1
(isto eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)
5) Temos x1=z-p/(3z)
c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez
achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente.
Chamando u = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu.
(Observe que w^2=1/w = conjugado de w)
d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u;
x3= w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1)
foram responsaveis, historicamente, pela introducao do tema "permutacoes"
na resolucao de equacoes algebricas, e acabaram dando na Teoria de Galois
(1830), que explica quando uma equacao pode ser resolvida por uma
"formula", em termos das propriedades dos "grupos" de permutacoes das suas
raizes.
JP
- Original Message -
From:
Alexandre F. Terezan
To: OBM
Sent: Thursday, April 12, 2001
11:55 AM
Subject: Algoritmo de equacao
Por uma obra "do acaso", "descobri" (sem saber q já
existia) um algoritmo que calcula as raízes de uma equacao do
tipo:
ax^3 + bx + c = 0
Chamamos
Re: Racionalizar
seja k = raiz cúbica de 3 seja x^y = x elevado a y Ora, do produto notável temos:a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) Substituindo a por k e b por 1, vem: k^3 - 1 = (k - 1)(k^2 + k + 1) Mas k^3 - 1 = 2 - 1 = 1 Entao, para racionalizarmos a fracao 1/(k - 1), basta multiplicarmos tanto o numerador quanto o numerador por (k^2 + k + 1)... Assim,teremos 1/(k - 1) = k^2 + k + 1 Espero ter ajudado. - Original Message - From: Davidson Estanislau To: obm Sent: Quinta-feira, 29 de Março de 2001 13:43 Subject: Racionalizar Caros colegas, como faço para racionalizar a seguinte expressão: Obrigado. Davidson
Re: fracoes
Podemos generalizar todas as fracoes dadas para k
/ [k + (n+2)], onde k é natural 18 k 92.
Ora, a fracao k / [k + (n+2)] é irredutível se nao há
divisores comuns a {k} e {k + (n+2)}.
Isso acontece necessariamente quando (n+2) é um primo que NAO
divide k.
Logo, basta escolhermos um número (n+2) primo maior que
91, pois este necessariamente nao dividirá nenhum k (visto que um número nao
pode ser divisor de outro número menor do que ele).
(n + 2) = 97 -- n = 95 é uma solucao
possível.
Espero ter
ajudado...
- Original Message -
From:
josimat
To: OBM
Sent: Sexta-feira, 23 de Março de 2001
00:26
Subject: fracoes
Ola
pessoal!
Dois amigos meus querem
comprar o livro "Problemas Selecionados de Matematica" do Raul Agostinho e do
Antônio Luis, alguem sabe como?
Esses mesmos amigos,
passaram-me um problema que nao consegui resolver. Alguem pode
ajudar?
19/n+21 , 20/n+22 ,
21/n+23 , ... , 91/n+93 (com 73 fracoes)
qual o valor de n para
que todas essas fracoes sejam irredutiveis?
[]s,
Josimar
EQUILÁTERO
Provar (com noçoes de 2o grau de preferência) que, dada uma circunferencia de raio R, o triangulo nela inscrito de maior área é o triângulo equilátero de ladoigual a R x (sqrt 3) Obs: x = produto sqrt 3 = raiz quadrada de 3
Re: 260
Bn = B(n-1) x (n-1) + B(n-2) x (n-2)
Seja An todas as arrumacoes de n possíveis (pela regra), ou seja,
n {An} = Bn
* A primeira parcela [B(n-1) x (n-1)] se refere às (n-1) posicoes em q
podemos colocar o enésimo termo em cada uma das arrumaçoes de A(n-1), fazendo
valer a regra.
* A segunda parcela é um pouco mais complexa.
Ela se refere aos casos particulares em que com os primeiros (n-1) termos
temos APENAS UM par de algarismos desobedecendo a regra, ou seja, temos 2
algarismos consecutivos em ordem.
Assim, podemos colocar o último algarismo entre esses dois, fazendo a regra
voltar a valer.
Um dos pares de números consecutivos de 1 a (n-1) pode ser considerado como
um algarismo apenas, fazendo valer a regra para A(n-2), o q nos dará arrumacoes
onde haverá apenas UM par desobedecendo a regra (o par q escolhemos). Nesse
caso, há B(n-2) maneiras possíveis.
Ora, podemos fazer valer a regra, desta maneira, com qualquer par de
números consecutivos (em ordem) de 1 a (n-1). Como existem (n-2) pares neste
conjunto, e há B(n-2) maneiras para cada par, prova-se a segunda parcela.
Assim, Bn = B(n-1) x (n-1) + B(n-2) x (n-2)
Onde vc ficou surpreso, Nicolau?
- Original Message -
From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 00:35
Subject: 260
Não, não é o número de pontos de ninguém.É o número de
membros da nossa lista: 260.Eu verifico este número periodicamente e esta é
a 1a vezque observo um número 250.Mas mudando de
assunto...Arrumamos em fila n bolinhas numeradas de 1 a n.De quantas
formas podemos fazê-lo sem que:1 fique imediatamente antes de 2,2 fique
imediatamente antes de
3, ...(n-1) fique
imediatamente antes de n?Chamemos a resposta de BnEstas são as
únicas restrições. Não é proibido que 2 venha logo antes de
1.TemosB2 = 1 (21)B3 = 3 (132, 213, 321)B4 = 11 (1324,
1432, 2143, 2413, 2431, 3142, 3214, 3241, 4132, 4213, 4321)O problema
não é tão difícil, mas há algo que me surpreendeu na resposta.[]s,
N.
Re: Combinatória
A minha resposta está errada, Morgado. Desculpe pela desatencao... O erro está nessa passagem: Nessa situacao, há 7!/(3! x 2!) = 420 modos de dispormos os algarismos (anagramas de "44488XY"). Além disso, há 8 possibilidades para X (X diferente de 4 e 8) e 7 possibilidades para Y (Y diferente de X, 4 e 8). Logo, temos 420 x 7 x 8 = 23520 possibilidades. No momento que eu assumo "anagramas" de 44488XY, as possibilidades de escolha para X e Y se reduzem para (7 x 8)/2. A divisao por 2 que eu tinha omitido é necessária, visto que, do contrário, estaremos considerando duas vezes todos os "anagramas" mencionados. Exemplo: Seja o anagrama 444X88Y. Ora, para X = 1, Y = 2, temos o número 4441882. Seja agora o anagrama 444Y88X, para X = 2, Y = 1, dando o número 4441882. Ou seja, temos 2 anagramas "diferentes" que dao o mesmo número. De modo geral, há sempre23520 pares de anagramas onde as posicoes de X e Y se invertem. Esses anagramas "invertidos" irao sempre duplicar o número real de números possíveis, já q para cada anagrama invertido, temos um par de opcoes (X = a, Y = b) (X = b, Y = a) q irao dar o mesmo número. Dessa forma, há 11760 anagramas 44488XY nas condicoes mencionadas. Excetuando os 420 q começam com zero, temos 11340 modos de escolhermos algarismos segundo o enunciado quando X diferente de Y. Para X = Y valem os 1620 q encontrei na solucao original. Assim, há realmente 12960 maneiras. Obrigado pela válida observacao, professor. []'s, Alexandre Terezan - Original Message - From: "Augusto Morgado" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 25 de Novembro de 2000 09:19 Subject: Re: Combinatória Outro modo de fazer seria: Dos 7 lugares, devemos escolher tres paracolocar os quatros, o que pode ser feito de C7,3=35 modos. Dos quatrolugares que sobraram, devemos escolher dois para botar os oitos, o quepode ser feito de C4,2=6 modos. Agora temos duas casas a preencher, oque pode ser feito de 8x8=64 modos e a resposta seria 35x6x64=13440modos. Devemos descontar os começados em 0,que saoC6,3 x C3,2 x 8 = 20x3x8=480 e a resposta eh 12960.Como as respostas deram diferentes, uma estah certa e a autra nao. Qualdelas e onde estah o erro?"Alexandre F. Terezan" wrote: Imagine o número 44488XY de 7 dígitos, onde X é um algarismo diferente de 4 e 8. 1o caso: X diferente de Y Nessa situacao, há 7!/(3! x 2!) = 420 modos de dispormos os algarismos (anagramas de "44488XY"). Além disso, há 8 possibilidades para X (X diferente de 4 e 8) e 7 possibilidades para Y (Y diferente de X, 4 e 8). Logo, temos 420 x 7 x 8 = 23520 possibilidades. Deve-se desconsiderar os casos em q o primeiro algarismo é zero. Existem 6!/(3! x 2!) modos de arrumarmos "44488A", onde A diferente de 0, 4 e 8: 60 x 7 = 420 maneiras onde 0 é o primeiro algarismo. Assim, há 23100 maneiras de dispormos 44488XY. 2o caso: X = Y Aqui, temos 7!/(3! x 2! x 2!) = 210 maneiras de dispormos "44488XX". Como X diferente de 4 e 8, há 8 "X" possíveis, nos dando 1680 casos. Desses 1680, tiremos os casos onde o primeiro algarismo é zero. Neste caso há 6!/(3! x 2!) possibilidades de arrumarmos "444880" a partir do primeiro zero, o q nos dá 60 casos impossíveis. Logo, 1620 casos satisfazem, quando X = Y. TOTAL: 23100 + 1620 = 24720 possibilidades. - Original Message - From: "ricardopanama" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 24 de Novembro de 2000 17:58 Subject: Combinatória Agrdeço a quem responder este problema de combinatória: Quantos são os algarismos de 7 dígitos nos quais o algarismo 4 figura exatamente 3 vezes e o algarismo 8 exatamente 2 vezes? Abrços. __ Preocupado com vírus? Crie seu e-mail grátis do BOL com antivírus ! http://www.bol.com.br
Re: Combinatória
Imagine o número 44488XY de 7 dígitos, onde X é um algarismo diferente de 4 e 8. 1o caso: X diferente de Y Nessa situacao, há 7!/(3! x 2!) = 420 modos de dispormos os algarismos (anagramas de "44488XY"). Além disso, há 8 possibilidades para X (X diferente de 4 e 8) e 7 possibilidades para Y (Y diferente de X, 4 e 8). Logo, temos 420 x 7 x 8 = 23520 possibilidades. Deve-se desconsiderar os casos em q o primeiro algarismo é zero. Existem 6!/(3! x 2!) modos de arrumarmos "44488A", onde A diferente de 0, 4 e 8: 60 x 7 = 420 maneiras onde 0 é o primeiro algarismo. Assim, há 23100 maneiras de dispormos 44488XY. 2o caso: X = Y Aqui, temos 7!/(3! x 2! x 2!) = 210 maneiras de dispormos "44488XX". Como X diferente de 4 e 8, há 8 "X" possíveis, nos dando 1680 casos. Desses 1680, tiremos os casos onde o primeiro algarismo é zero. Neste caso há 6!/(3! x 2!) possibilidades de arrumarmos "444880" a partir do primeiro zero, o q nos dá 60 casos impossíveis. Logo, 1620 casos satisfazem, quando X = Y. TOTAL: 23100 + 1620 = 24720 possibilidades. - Original Message - From: "ricardopanama" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 24 de Novembro de 2000 17:58 Subject: Combinatória Agrdeço a quem responder este problema de combinatória: Quantos são os algarismos de 7 dígitos nos quais o algarismo 4 figura exatamente 3 vezes e o algarismo 8 exatamente 2 vezes? Abrços. __ Preocupado com vírus? Crie seu e-mail grátis do BOL com antivírus ! http://www.bol.com.br
probabilidade!!
Um fazendeiro convida para a sua casa um amigo seu, através de um telefonema. As duas únicas informações sobre o caminho são: i. Ao longo do percurso, existem 10 "trifurcações" da estrada (3 subdivisões a partir de 1 pré-existente), sendo que para chegar-se à casa deve-se escolher a subdivisão apropriada a cada trifurcação; ii . Em 2 trifurcações deve-se virar à esquerda, em 3 deve-se virar à direita e em 5 deve-se seguir em frente (subdivisão central). Obviamente, é pouco provável que o amigo do fazendeiro consiga chegar à casa dele com estas informações apenas. Chame a probabilidade de sucesso do amigo nestas condições de P. Por outro lado, seria ainda mais difícil se a segunda informação (ii) fosse omitida. Chame a probabilidade de sucesso do amigo nestas condições de P. Encontre a razão P/P.
probabilidade
Um fazendeiro convida para a sua casa um amigo seu, através de um telefonema. As duas únicas informações sobre o caminho são: i. Ao longo do percurso, existem 10 "trifurcações" da estrada (3 subdivisões a partir de 1 pré-existente), sendo que para chegar-se à casa deve-se escolher a subdivisão apropriada a cada trifurcação; ii . Em 2 trifurcações deve-se virar à esquerda, em 3 deve-se virar à direita e em 5 deve-se seguir em frente (subdivisão central). Obviamente, é pouco provável que o amigo do fazendeiro consiga chegar à casa dele com estas informações apenas. Chame a probabilidade de sucesso do amigo nestas condições de P. Por outro lado, seria ainda mais difícil se a segunda informação (ii) fosse omitida. Chame a probabilidade de sucesso do amigo nestas condições de P. Encontre a razão P/P.
Re: Duas questõezinhas!!!
Resolvendo as questoes 1 e 2 ,ou tentando :-) ... 1) Sejam: a = percentagem de entrevistados que consomem A, mas nao consomem nem B nem C b = percentagem de entrevistados que consomem B, mas nao consomem nemA nem C c= percentagem de entrevistados que consomem C, mas nao consomem nemA nem B m = percentagem de entrevistados que consomem A e B, mas nao consomem C n= percentagem de entrevistados que consomemB e C, mas nao consomem A p = percentagem de entrevistados que consomemA e C, mas nao consomem B x = percentagem de entrevistados que consomemA, B e C A percentagem de entrevistados que consomem algo é 85%, logo: a + b + c + m + n + p + x = 85 (I) Por outro lado, se tomarmos que 32% não consomem A, 44% não consomem B e 34% não consomem C, temos: b + c + n + 15 = 32 (32% não consomem A) a + b + m + 15 = 34 (34% não consomem C) a + c + p + 15 = 44 (44% não consomem B) Somando as três equacoes, temos: 2a + 2b + 2c + m + n + p = 65 (II) Fazendo (I - II), vem: x - (a + b + c) = 20, ou: x = 20 + (a+b+c) x será mínimo quando (a+b+c) = 0, ou seja, em tal caso, x = 20% Basta verificar se é possível que haja a = b = c = (a+b+c) = 0 Isso é possível, resultando em m = 29%, n = 27% e p = 39% Logo, a porcentagem mínima de entrevistados que consomem A, B e C é de 20%. 2) Resposta: d. a) Pelo princípio de Dirichlet, vemos qessa afirmaçao é verdadeira(15 1 x 12) . b)Pelo princípio de Dirichlet, vemos qessa afirmaçao também é verdadeira ( 15 2 x 7). e) Sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O) Imagine que a idade da pessoaA seja igual a 14a + a',a idade da pessoa B seja igual a 14b + b' e assim sucessivamente, até que a idade da pessoa O seja igual a 14o + o'.Todo Y' deve obedecer0 = y' = 13 Ora, há 14 y' possíveis e 15 pessoas. Logo, há pelo menos duas pessoas q possuam o mesmo y'. Sem perda de generalidade, seja a' = b'. A diferenca de idade de A e B será: 14a + a' - 14b - b' =14a - 14b + a' - a' = 14 (a - b) , q é um múltiplo de 14. Logo, esta afirmativa também é verdadeira. c) Sejay o número de pessoas q a pessoaY conhece, e sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O). Sem perda de generalidade, seja a= 14, pelo enunciado. Ora, nenhuma das outras pessoas pode conhecer ZERO pessoas, visto q A conhece todas (reciprocidade mencionada). Caso i) Alguma das outras pessoas (q nao A) conhece 14 pessoas. Isto tornaa afirmativa c verdadeira. Caso ii) Nenhuma das outras pessoas (q nao A) conhece 14 pessoas. Assim, há 13 "y" possíveis (1 = y = 13) para 14 pessoas, o q faz com q pelo menos 2 pessoas conhecam o mesmo número de pessoas. Logo, a afirmativa c é verdadeira. d) Sejay o número de pessoas q a pessoaY conhece, e sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O). Sem perda de generalidade, sejaa = 0 (pelo enunciado) Neste caso, visto q A nao conhecenenhuma pessoa, nenhuma das outras pessoas pode conhecer 14 pessoas (reciprocidade mencionada). Caso i) Alguma das outras pessoas (q nao A) conheceZERO pessoas. Isto tornaa afirmativad falsa. Caso ii)Cada uma das outras pessoas (q nao A) conhece mais de uma pessoa. Assim, há 13 "y"s possíveis (1= y = 13) para 14 pessoas, o q faz com q pelo menos 2 pessoas conhecam o mesmo número de pessoas. Isto torna a afirmativa dFALSA. UFA, espero ter ajudado. []'s , Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Augusto Morgado" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 15 de Novembro de 2000 09:12 Subject: Re: Duas questõezinhas!!! Bonitas questoes. A primeira (com outros numeros) caiu num vestibular daUERJ e nao houve 50 candidatos que conseguissem resolve-la.Via Lux wrote: Olá pessoal, Aí vão duas questões que deixam muitos alunos confusos... E vcs que dizem? 1) Numa pesquisa sobre o consumo dos produtos A, B e C, obteve-se o seguinte resultado: 68% dos entrevistados consomem A, 56% consomem B, 66% consomem C e 15% não consomem nenhum dos produtos. Qual a porcentagem mínima de entrevistados que consomem A,B e C? 2) Considerando que em uma festa há 15 pessoas, não podemos afirmar que: a)pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano. b)pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana c)se uma das pessoas conhece as demais então existem pelo menos duas com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco) d)se uma pessoa não conhece ninguém então pode não existirem duas pessoas com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco) e) a diferença de idade "em anos" de duas delasé um múltiplo de 14 Lembranças a todos, Fui! Luciano M. Filho
Re: combinatória
A diferença entre Z* e Z*+ reside no fato de q o primeiro conjunto contém os inteiros menores do que ZERO enquanto o segundo nao... O meu problema nao é exatamente esse... O fato é q a definicao mais comum (nao necessariamente a correta, isso é o q eu quero saber) para número positivo q eu conheço seria todo número MAIOR do q zero (o q, obviamente, exclui o próprio zero) - Original Message - From: "Eduardo Favarão Botelho" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Domingo, 29 de Outubro de 2000 21:53 Subject: combinatória O ZERO tb faz parte dos inteiros não negativos, é verdade. Ele é elemento de ambos os conjuntos: o dos positivos e o dos negativos. Caso contrário, não existiria diferença entre os conjuntos Z* (inteiros não nulos) e Z*+ (inteiros positivos não nulos), por exemplo. Abraços, Eduardo -Mensagem original- De: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 29 de Outubro de 2000 12:46 Assunto: Re: combinatória Essa sempre foi uma dúvida que eu tive... Pra mim, o ZERO participaria do conjunto dos inteiros "Não-negativos" mas nao do conjunto dos inteiros "positivos"... O q está certo e o q está errado?
Re: probabilidade
As possibilidades de sexo para qualquer casal, no caso de 2 filhos, sao: HH, HM, MH e MM, onde a primeira letra representa o filho mais velho... H = homem M = mulher No caso do casal A, como pelo menos um filho é homem, restam as seguintes possibilidades: HH, HM e MH Como apenas 1 interessa das tres possiveis, a = 1/3 No caso do casal B, onde o filho mais velho é homem, restam as seguintes possibilidades: HH e HM Como apenas 1 interessa das duas possiveis,b = 1/2 Logo, 1/3 = a b = 1/2 - Original Message - From: Filho To: discussão de problemas Sent: Segunda-feira, 23 de Outubro de 2000 15:37 Subject: probabilidade Os casais A e B têm dois filhos cada um. Sabe-se que o casal A tem um filho homem e que o filho mais velho do casal B também é homem. Se a e b indicam, respectivamente, as probabilidades de que os dois filhos do casal A sejam homens e que os dois filhos do casal B também sejam homens, então: a) a b b) a = b c) a b d) a + b = 1 e) n.r.a
Re: saída
Só gostaria de fazer uma observaçao: A probabilidade Z é na verdade 27,1 % Isso pq vc se esqueceu do caso em q ele ganha em 2 sorteios e perde em um deles... [ ]'s, Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Douglas C. Andrade" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 22 de Junho de 1996 22:21 Subject: Re: saída Deixe-me ver se entendi bem: A probabilidade X vale 3/10 (tres chances em dez) por razoes obvias, ou X=30% Na segunda opcao, a chance do apostador ganhar os dois sorteios e 1/10*2/10=2/100 (a*b=a vezes b) A chance de ele perder o sorteio para o qual comprou somente um bilhete e ganhar o outro vale 9/10*2/10=18/100. A chance de ele perder o sorteio para o qual comprou dois bilhetes e ganhar o outro vale 8/10*1/10=8/100. Entao a chance de ele ganhar alguma coisa no segundo caso vale 28/100, ou Y=28%. No terceiro caso, a chance de o apostador ganhar todos os tres sorteios vale 1/10*1/10*1/10=1/1000 A chance de ele ganhar um dos sorteios (tres opcoes) e perder os outros dois vale 3*1/10*9/10*9/10=243/1000. Entao sua chance de ganhar algo no terceiro caso vale 244/100, ou Z=24,4% Espero ter ajudado Douglas -Mensagem original- De: Filho [EMAIL PROTECTED] Para: discussão de problemas [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 8 de Outubro de 2000 17:05 Assunto: saída Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez. -primeira opção: comprar três números para um único sorteio. -segunda opção: comprar dois números para um sorteio e um número para um segundo sorteio. -terceira opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios. Se X,Y,Z representam as probabilidades de o apostador ganhar algum prêmio, escolhendo, respectivamente, a primeira, a segunda ou a terceira opções, qual a relação entre X,Y e Z.
Re: comentários
Olá, De acordo com a nova situacao proposta pelo Nicolau: Chamando de V1 a face vermelha do cartao bicolor e de V2 e V3 as faces vermelhas do cartao todo vermelho. Se a face vista pelo juiz é vermelha, assume-se q há igual probabilidade de que a face vista por ele seja V1, V2 ou V3 (1/3 de probabilidade para cada). Dessa forma, se a face vista pelo juiz for V1 (1/3 de chances), entao o jogador verá uma face amarela. Se a face vista pelo juiz for V2 ou V3 (2/3 de probabilidade), entao o jogador verá uma face vermelha. Assim sendo, a probabilidade de que o jogador veja uma face amarela é de 1/3 apenas, contra 2/3 de probabilidade de que a face vista por ele seja vermelha. [ ]'s, Alexandre Terezan - Original Message - From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 30 de Setembro de 2000 08:04 Subject: Re: comentários On Sat, 30 Sep 2000, Alexandre F. Terezan wrote: Olá, Aparentemente a resposta é simples. Para q o enunciado ocorra, primeiramente o juiz deverá escolher o cartao bicolor (probabilidade de 1/3) e, além disso, este cartao deverá ter a sua cor vermelha voltada para o juiz (1/2 de probabilidade) Assim, a probabilidade geral é de 1/2 * 1/3 = 1/6. Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. Determine a probabilidade da face que o juiz vê ser vermelha e da outra face mostrada ao jogador ser amarela. O Alexandre tem razão, claro. Uma variante mais interessante seria igual, exceto pela última frase, que fica assim: Determine a probabilidade de que a face mostrada ao jogador seja amarela dado que a face que o juiz vê é vermelha.
Re: comentários
Olá, Aparentemente a resposta é simples. Para q o enunciado ocorra, primeiramente o juiz deverá escolher o cartao bicolor (probabilidade de 1/3) e, além disso, este cartao deverá ter a sua cor vermelha voltada para o juiz (1/2 de probabilidade) Assim, a probabilidade geral é de 1/2 * 1/3 = 1/6. [ ]'s, Alexandre Terezan. - Original Message - From: Filho To: discussão de problemas Sent: Sexta-feira, 29 de Setembro de 2000 22:59 Subject: comentários Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. Determine a probabilidade da face que o juiz vê ser vermelha e da outra face mostrada ao jogador ser amarela.
Re: Problema
Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. A resposta genérica é de fácil deduçao. Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará multiplicacoes. a#n = 6^n + 8^n a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = = [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = =2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) Seja a#93/a#49 = a#49 *k + R, ondek é natural e R é o resto procurado. Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) Seja 3^49 + 4^49 =a e 3^93 + 4^93 = b. Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 *a * k Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] -- R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] Ora,a é um natural ímpar. Portanto,a nao divide 2^44. Portnato, para que R seja natural, o naturala necessariamente divide (b - 32k * a^2). Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o quociente também será ímpar. Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: 2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. 2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = = 2^44 * (b/a) Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. Resposta: ZERO. Espero ter ajudado, apesar da demora. Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Eduardo Quintas da Silva" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 Subject: Problema Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49.Entende-se por a*n : a índice n.
Re: Problema
Desculpem-me pela asneira... Alguém conseguiu resolver tal problema? - Original Message - From: "Ecass Dodebel" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 19 de Agosto de 2000 18:21 Subject: Re: Problema From: "Alexandre F. Terezan" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema Date: Sat, 19 Aug 2000 15:16:27 -0300 Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. A resposta genérica é de fácil deduçao. Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará multiplicacoes. a#n = 6^n + 8^n a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = = [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = = 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado. Olá Alexandre, perceba que a#49 é inteiro, e portanto a#49*k somado a R é inteiro, ou seja, você está supondo que a#93/a#49 é inteiro. Um jeito de fazer a divisão euclidiana é a#93 = a#49*k + R, com Ra#49 Obrigado! Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) Seja 3^49 + 4^49 = a e 3^93 + 4^93 = b. Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] -- R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44. Portnato, para que R seja natural, o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2). Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o quociente também será ímpar. Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: 2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. 2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = = 2^44 * (b/a) Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. Resposta: ZERO. Espero ter ajudado, apesar da demora. Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Eduardo Quintas da Silva" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 Subject: Problema Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49. Entende-se por a*n : a índice n. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Problema
DE FATO a#93/a#49 NÃO é inteiro, como se vê abaixo. (3^93 + 4^93) $ 3 (mod 7) (3^49 + 4^49) $ 4 (mod 7) $ representa congruência Novamente desculpem-me pela asneira anterior. - Original Message - From: "Ecass Dodebel" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 19 de Agosto de 2000 18:21 Subject: Re: Problema From: "Alexandre F. Terezan" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema Date: Sat, 19 Aug 2000 15:16:27 -0300 Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. A resposta genérica é de fácil deduçao. Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará multiplicacoes. a#n = 6^n + 8^n a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = = [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = = 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado. Olá Alexandre, perceba que a#49 é inteiro, e portanto a#49*k somado a R é inteiro, ou seja, você está supondo que a#93/a#49 é inteiro. Um jeito de fazer a divisão euclidiana é a#93 = a#49*k + R, com Ra#49 Obrigado! Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) Seja 3^49 + 4^49 = a e 3^93 + 4^93 = b. Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] -- R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44. Portnato, para que R seja natural, o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2). Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o quociente também será ímpar. Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: 2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. 2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = = 2^44 * (b/a) Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. Resposta: ZERO. Espero ter ajudado, apesar da demora. Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Eduardo Quintas da Silva" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 Subject: Problema Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49. Entende-se por a*n : a índice n. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
problema proposto
Gostaria de propor um problema, diretamente ligado ao problema da dízima... 1) Seja a dízima periódica 1/97 cujo período é composto por 96 algarismos. Pede-se: a) Sem utilizar o método por tentativas, encontre todos os m possíveis para os quais 1/97 = 0,abcd..mm..vxyzabcd... , dizendo tambem, para cada m, quantos desses pares existem no período de 1/97. b) Prove que não existem 3 algarismos iguaisem sequencia neste período, ou seja, não há k para o qual 1/97 = 0,abcd..kkk..vxyzabcd... OBS: Calculando-se o período de 1/97 (o que deve levar uns 10 minutos), a solução é óbvia. O objetivo é estimular o raciocínio, portanto, tais solucoes bracais sao dispensadas. Alexandre Terezan
Re: dizima
Ora, para que 97H termine em 99, portanto, (7i + 7) deve terminar em 9, ou seja, 7i termina em 6. Isto ocorre se e somente se i for um número da forma 10j + 6. O textoacima deve ser lido como: Ora, para que 97H termine em 99, portanto, (7i + 7) deve terminar em 9, ou seja, 7i termina em 2. Isto ocorre se e somente se i for um número da forma 10j + 6. DESCULPEM O ERRO DE DIGITAÇÃO...
Re: dizima
Caro Carlos, Sabe-se que quandoo periodo da representacao decimal de 1/n possui n-1 casas decimais (como é o caso de n = 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, etc), toda fracao r/n (com r variando de 2 a n-1) possuirá um período composto pelos mesmos algarismos do periodo de 1/n, na mesma ordem circular, mas variando a posição dos algarismos (A demonstracao se encontra na Eureka 1) Trocando em miúdos, se 1/n = 0,abcdefabcdefabcdef... há um r para o qual r/n = 0,bcdefabcdefabcdefa... , onde o negrito representa o periodo de representacao decimal das fracoes. Assim, sendo 1/97 = 0,abcdefvxyzabcdefvxyzabcdefvxyz... , deve haver um k (1 k 97) tal que: k/97 = 0,xyzabcdefvxyzabcdefvxyzabcdefv... Ou seja, 1000k/97 = 100x + 10y + z + 0,abcdef...vxyzabcdef...vxyzabcdef...vxyz... Ou: 1000k/97 = 100x + 10y + z +1/97 E entao: (1000k - 1)/97 = 100x + 10y + z. Seja 100x + 10y + z = H. Assim, 1000k - 1 = 97H -- 97H = 1000(k-1) + 999, logo os 3últimos algarismos de 97H sao 9s. Considere H, i, j, m como inteiros nao-negativos. Para que um 97H termine em 9, H deve ser um número da forma 10i + 7. Assim, 97H = 970i + 679 = 900i + 600 + 70i + 70 + 9 =100(9i + 6) + 10(7i + 7) + 9 Ora, para que 97H termine em 99, portanto, (7i + 7) deve terminar em 9, ou seja, 7i termina em 6. Isto ocorre se e somente se i for um número da forma 10j + 6. 97H = 970i + 679 = 9700j + 5820 + 679 = 1000(9j + 6) + 100(7j + 4) + 99 Para que 97H termine em 999, portanto, (7j + 4) deve terminar em 9, ou seja, 7j termina em 5. Isto ocorre se e somente sej for um número da forma 10m + 5. Assim, H = 10i + 7 = 10(10j + 6) + 7 = 100j + 67= 100(10m + 5) + 67 = 1000m + 567. Para todo m inteiro nao-negativo, portanto, 97H terminará em 999, o que nos dá um k inteiro. Para m 0, no entanto, H 1566 e, portanto, 97H 151902. Assim, 1000k 151903 -- k 151 , o que nao é possivel, pois0 k 98 Logo, m = 0 -- H = 567 -- 1000k= 55000 -- k = 55 Como H =100x + 10y + z , com x,y,z inteiros nao-negativos menores que 10: 100x + 10y + z = 567 -- x = 5 y = 6 z = 7 Portanto, o último algarismo do período de 1/97 é 7 o penúltimo algarismo do período de 1/97 é6 o antepenúltimo algarismo do período de 1/97 é5 Abraços,Terezan Espero ter ajudado. - Original Message - From: Carlos Roberto de Moraes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 1 de Agosto de 2000 18:29 Subject: dizima Alguem pode me ajudar? Ao escrevermos 1/97 na forma decimal, obtemos uma dízima periódica com 96 algarismos no período. Como determinar os três últimos algarismos desse período?
Re: dizima
Só para deixar bem claro, k 1, pois k = 1 seria a própria fração 1/97 e para k = 0, k/97 = 0. k 97, pois para k = 97, k/97 = 1 e para k 97, k/97 1, nao sendo da forma 0,abcdef... - Original Message - From: Carlos Roberto de Moraes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 1 de Agosto de 2000 18:29 Subject: dizima Alguem pode me ajudar? Ao escrevermos 1/97 na forma decimal, obtemos uma dízima periódica com 96 algarismos no período. Como determinar os três últimos algarismos desse período?
Re: Questão das Olimpíadas
Caro mtu, Sua resolução me parece perfeitamente correta, mas deve-se lembrar que a questão poderia ser discursiva e o valor mínimo de q poderia ser alto o suficiente para que tal resolução por "tentativa" nãofosse eficiente e muito menos prática. Uma maneira simples de resolver a questão seria: Seja p =q - k (k natural maior q zero), já que p q(pois p/q 11/15 1) Então 7/10 (q - k)/q 11/15 Daí, 7q 10q - 10k -- 3q 10k -- q 10k/3 15q - 15k 11q -- 4q 15k -- q 15k/4 Assim sendo, 10k/3 q 15k/4 Ou, 3k + k/3 q 3k + 3k/4 (CONDIÇÃO 1) Como 3k e q são ambos naturais, conclui-se que:a + [k/3] = [3k/4], sendo a natural maior do que zero. Ora, como se procura o menor q (logo, o menor k natural satisfazendo a condição 1), entao a = 1 e assim: [3k/4]= 1 -- 3k/4 1 -- k 4/3 [k/3] = 0 --k/3 1 -- k 3 4/3 k 3 -- k = 2. Assim, da condição 1, vem: 6 + 2/3 q 6 + 6/4 -- 6 + 2/3 q 7 + 1/2 --q = 7 Para todo k q satisfaça a condição 1, encontramos p/q tal que 7/10 p/q 11/15 k =3 -- q = 11 -- p = 8 -- 7/10 8/11 11/15 k = 4 -- q = 14-- p =10 -- 7/10 10/14 11/15 k = 5 -- q = 17 -- p = 12 -- 7/10 12/17 11/15 k = 5 -- q = 18 -- p =13 -- 7/10 13/18 11/15 etc etc etc Abraços, Alexandre Terezan - Original Message - From: "mtu" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 28 de Julho de 2000 03:51 Subject: Re: Questão das Olimpíadas José Alvino wrote: Olá pessoal!Sou novato aqui na lista e gostaria que alguém me ajudasse numa questão ou me informasse onde posso encontrar sua resolução. É a questão 10 da 1a fase junior de 97: Se p e q são inteiros positivos tais que 7/10 p/q 11/15 , o menor valor que q pode ter é: A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60 Agradeço antecipadamente.Acho q a resposta seria B, p/q deve ser um numero entre 0,7 e 0,733...,entao pensei da seguinte forma se usar q = 6, joguei como possibilidadepara p os numeros 5 e 4, 5/6 eh entao um numero maior que 0,733.. e 4/6eh um numero menor q 0,7, ou seja, q != 6, repeti o processo com 7 edescobri q se p=5 e q=7(5/7) sera um numero q se encaixa nadesigualdade, ou seja, dos numeros apresentados o menor que 'q' podeassumir eh 7.Nao sei se esse eh o meio mais pratico de resolver o problema, mas meparece correto... []'s
dúvida
Qual a demonstração das desigualdades das médias aritmética, geométrica e harmônica?
Re: teoria dos inteiros
ERRATA: Uma pequena correção, que pouco influi e talvez tenha passado despercebida.Onde está: Então 100c + 10b + a - 100a - 10b - a = (k-1) * ABC Ou, 99 (c - a) = (k-1) * ABC Obviamente, o correto é: Então 100c + 10b + a - 100a - 10b -c = (k-1) * ABC Ou, 99 (c - a) = (k-1) * ABC - Original Message - From: Alexandre F. Terezan To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 25 de Julho de 2000 21:58 Subject: Re: teoria dos inteiros Essa é a primeira vez q escrevo para a lista, portanto, saudações a todos. SejaXYZ a representação de 100x + 10y + z. E seja = a notação para menor ou igual a Assim, se CBA é múltiplo de ABC, então existe um inteiro positivo k tal que: CBA = ABC * k , para0 k 10 , ou CBA - ABC = (k-1) * ABC Então 100c + 10b + a - 100a - 10b - a = (k-1) * ABC Ou, 99 (c - a) = (k-1) * ABC Assim, temos 2 casos a estudar: i) c = a -- k = 1 ii) c a -- k 1 (obviamente se c fosse menor do q a, então ABC CBA, impossível. Caso i: Neste caso, para todo c = a, k = 1 satisfaz o enunciado, ou seja, CBA = ABC * 1 = ABC. Como 0 c = 9 e 0 = b = 9, são90 as situações possíveis. Casoii: Neste caso, (k-1) * ABC = 3^2 * 11 * (c - a). Note que (k - 1) 9, pois k 10. Assim, ABC é obrigatoriamente múltiplo de 33 (um fator 3 e um fator 11). Note também que a 5 , uma vez que do contrário CBA = k * ABC possuiria mais de 3 algarismos, para k 1, impossível. Além disso, se CBA for ímpar (a ímpar), ABC é necessariamente ímpar (c ímpar). Por outro lado, se ABC é par (c par), então CBA também é par (a par). Dos critérios de divisibilidade por 3 e por 11, tira-se que: 1) a + b + c = 3r (r inteiro positivo menor do que 8) 2) - a + b - c = 11s (s= -1 ou s = 0 -- esta restrição se deve ao fato de serem a,b,c inteiros tais que 0 a 5, 0 = b 10e 0 c 10) Somando-se as equações 1 e 2, obtemos: 2b = 3r + 11s Para s = -1, vem: 2b = 3r - 11 e a + c = b + 11. Lembrando que c a, apenasum terno (a,b,c)seria uma possívelsolução, o terno(4,2,9). Como 924 não é múltiplo de 429, essa solução é falsa. Para s = 0, vem: 2b = 3r e a + c = 3r/2. 4 ternos (a,b,c) seriam possíveis soluções: (2,6,4) , (1,6,5) , (4,9,5) e(2,9,7). No entanto, nenhuma dessas possíveis soluções é verdadeira, ou seja, CBA não é múltiplo de ABC para nenhum desses ternos. Ora, então todas as soluções se resumem ao caso i, totalizando 90 soluções , para todo 0 c = a 10 (9 casos) e 0 = b 10 (10 casos) -- 9 * 10 = 90 soluções. Abraços, Alexandre Terezan - Original Message -- From: Filho To: discussão de problemas Sent: Segunda-feira, 24 de Julho de 2000 08:38 Subject: teoria dos inteiros Quantos são os inteiros positivos de três algarismos abc, com a e c ambos diferentes de zero, tais que cba é múltiplo de abc ?
