[obm-l] par ou ímpar por telefone
Ok, esse é um problema aplicado. Digamos que um casal de matemáticos está combinando ir ao cinema. Infelizmente, ele quer ver pi (um filme com mais ação) e ela quer ver a prova (que relata um comovente drama familiar). Qual é a maneira mais prática de eles baterem um par ou ímpar pelo telefone, para decidirem o filme? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida - poblema das casas
Boa obsevação. Agora ficou moleza!
Obrigado Nicolau e Arthur,
Abraco
-Eduardo
- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, January 28, 2004 2:14 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida - poblema das casas
On Wed, Jan 28, 2004 at 01:32:13PM -0200, Eduardo Azevedo wrote:
Tava fazendo esse problema das casas a um tempo atras:
http://acm.uva.es/p/v1/138.html
Ele se resume a encontrar inteiros 0 k n. E a soma dos números
antes de
k tem que ser igual a soma dos números de k+1 até n. Por exemplo 1 e 1
ou 6 e
8, ou 71631910824649559 e 101302819786919521.
Reescreva isso como
n(n+1)/2 = 2*(k(k-1)/2) + k
ou, depois de um pouco de álgebra,
(2n + 1)^2 - 2 (2k)^2 = 1
Esta é uma modificação mínima da equação de Pell.
A equação de Pell usual é:
x^2 - a y^2 = 1
onde a é um inteiro, no nosso caso 2.
As soluções da equação de Pell estão em bijeção natural
com os elementos de norma 1 de
Z[sqrt(2)] = {x + y sqrt(2); x, y em Z}.
A norma de x + y sqrt(2) é x^2 - 2 y^2. Os elementos de norma 1
são exatamente +- as potências inteiras de 3 + 2 sqrt(2).
A partir daí não é muito difícil tirar a forma geral das soluções
do seu problema e demonstrar as suas observações experimentais.
Você pode ler sobre a equação de Pell em qq livro de teoria dos
números. Acho que já saiu um artigo na Eureka também.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] dúvida - poblema das casas
Tava fazendo esse problema das casasa um tempo atras: http://acm.uva.es/p/v1/138.html Ele se resume a encontrar inteiros 0 k n. E a soma dos números antes de ktem que serigual a soma dos números de k+1 atén. Por exemplo 1 e 1 ou 6 e 8, ou 71631910824649559 e 101302819786919521. Pelas soluçôes que eu calculei, parece ter infinitas respostas. E parece que elas se alternam: uma com n par, depois uma com n ímpar, ... (!???). Só não achei nenhuma explicação para isso. Alguem tem alguma idéia? Aí vão algumas soluções: 1a sol(n par)(1 digitos) 6 82a sol(n imp)(2 digitos) 35 493a sol(n par)(3 digitos) 204 2884a sol(n imp)(4 digitos) 1189 16815a sol(n par)(4 digitos) 6930 98006a sol(n imp)(5 digitos) 40391 571217a sol(n par)(6 digitos) 235416 3329288a sol(n imp)(7 digitos) 1372105 19404499a sol(n par)(8 digitos) 7997214 1130976810a sol(n imp)(8 digitos) 46611179 6591816111a sol(n par)(9 digitos) 271669860 38419920012a sol(n imp)(10 digitos) 1583407981 223927704113a sol(n par)(11 digitos) 9228778026 1305146304814a sol(n imp)(11 digitos) 53789260175 7606950124915a sol(n par)(12 digitos) 313506783024 4433655816a sol(n imp)(13 digitos) 1827251437969 258412376544117a sol(n par)(14 digitos) 10650001844790 1506137704820018a sol(n imp)(14 digitos) 62072759630771 8778413852376119a sol(n par)(15 digitos) 361786555939836 51164345409436820a sol(n imp)(16 digitos) 2108646576008245 298207658604244921a sol(n par)(17 digitos) 12290092900109634 1738081606216032822a sol(n imp)(18 digitos) 71631910824649559 101302819786919521 Por sinalparece ter umas C*log(n) soluções até n. C por volta de 1,2. Abraços, -Eduardo
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Foi mal galera. Como várias pessoas da lista já comentaram, a solução que eu mandei para esse problema está errada. Inclusive, eu acho que vai ser difícil de fazer essa sem o postulado de Bertrand. É só dar uma olhada nessas fatorações dos n!, que vou digitar agora. Tem vários casos onde só os últimos primos tem expoentes ímpares. E para garantir que existem esses últimos primos só com o postulado de Bertrand. Mesmo a observação do Will não salva, pois toda hora o 2 está com potência par 1, 1 2, (2) 3, (2) (3) 3 4, (2) (3) 3 5, (2) (3) (5) 42 6, (2) (3) (5) 42 7, (2) (3) (5) (7) 72 8, (2) (3) (5) (7) 74 9, (2) (3) (5) (7) 842 10, (2) (3) (5) (7) 842 11, (2) (3) (5) (7) (11) 1052 12, (2) (3) (5) (7) (11) 1052 13, (2) (3) (5) (7) (11) (13) 11522 14, (2) (3) (5) (7) (11) (13) 11632 15, (2) (3) (5) (7) (11) (13) 15632 16, (2) (3) (5) (7) (11) (13) 15632 17, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) 16832 18, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) 16832 19, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) 18842 20, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) 18943 21, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) 19943 2 22, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) 19943 2 23, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 221043 2 24, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 221063 2 25, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 231063 2 2 26, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 231363 2 2 27, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 251364 2 2 28, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) 251364 2 2 29, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) 261474 2 2 30, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) 261474 2 2 31, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 311474 2 2 32, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 311574 3 2 33, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 321574 3 2 2 34, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 321585 3 2 2 35, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 341785 3 2 2 36, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) 341785 3 2 2 37, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) (37) 351785 3 2 2 2 38, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) (37) 351885 3 3 2 2 39, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) (37) 381895 3 3 2 2 40, (2) (3) (5) (7) (11) (13) (17) (19) (23) (29) (31) (37) abraço -Eduardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? É só a gente ver que os quadrados são os números que tem uma quantidade ímpar de divisores. Afinal, os divisores de n vem em pares n e n/d. A única exceção é, se existir, raiz de n. Agora, se chamarmos de d(n) o número de divisores de n temos d(n!) = d(n)*d(n-1)*...d(2)*d(1), que é par pois d(2) é par. Então n! não pode ser quadrado. abrc -ed
Re: [obm-l] Problemas em aberto 1
Agora vou contar só as regiões limitadas. Para isso, vou começar contando as ilimitadas. Vamos imaginar que já desenhamos n retas. Agora vamos desenhar um círculo bem grande, de modo que todas as interseções de retas estejam dentro do círculo. Todas as regiões ilimitadas intersectam o círculo. E só as regiões ilimitadas intersectam o círculo. Então, para contá-las, basta contar quantas regiões intersectam o círculo. Vamos desenhar um ponto vermelho no círculo, sem ele estar sobre nenhuma reta. Agora vamos passarum filme do ponto andando pelo cículo, até dar uma volta. Ele começa em alguma região. Daí, quando bate em uma reta, pula para outra região. E assim continua, até que ele bate em uma reta pela última vez e volta para a primeira região. Então o número de regiões é o número de vezes que ele bate nas retas. Como ele bate duas vezes em cada reta, são 2n regiões ilimitadas. Como já tinhamos contado o número total de regiões R(n), o número máximo de regiões limitadas é R(n) menos as 2n regiões limitadas. Vamos chamar esse cara de L(n): L(n) = R(n) - 2n = n(n+1)/2 + 1 - 2n = n(n-3)/2 + 1 Agora vamos desenhar alguns casos para testar a fórmula: L(0)=0 L(1)=0 L(2)=0 L(3)=1 L(4)=3 Êpa!!! A fórmula deu errado pra n=0! Bem, isso era de se esperar, já que o argumento acima é totalmente furado quando não tem nenhuma reta. Mas ela deu certo para todos os outros valores, então parece que vale para n0. Agora aos números. L(58)=1596 e L(59)=1653. Mas esse é o número máximo de regiões que pode ser atingido. Se algumas retas forem paralelas, o número de regiões é menor. Mas será que dá pra consegui 1597 com 59 retas? Dá! Se duas forem paralelas, o número de regiões diminui por um. Se três forem paralelas, o número de regiões diminui por 3. Então basta desenhar 59 retas, sendo 54 paralelastrês atrês e 4 paralelas duas a duas. - Original Message - From: Eduardo Azevedo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, August 06, 2003 7:49 PM Subject: Re: [obm-l] Problemas em aberto 1 Esse é clássico. Estou surpreso que ninguém respondeu até agora. Só não entendi o que é :(A area externa aos vertices das extremidades nao entra na contagem). Imagino que seja pra contar só as regiões limitadas? Bom, vou fazer contando todas (que o 1597 indica ser a interpretação correta do problema), que, depois que você explicar melhor, deve dar pra ajustar as contas. Vou chamar de R(n) o número máximo de regiões em que o plano plano pode ser dividido por n retas. Isso contando as regiões "de fora", aquelas que são ilimitadas. Claramente R(0)=1 R(1)=2 R(2)=4 (faço um X com as retas) R(3)=7 (desenho a 3a não paralela as 2 primeiras) Agora vou tentar achar uma relação entre R(n) e R(n-1). Para isso vamos imaginar um filme da 3a reta sendo desenhada. Antes dela encostar nas outras duas só há R(2)=4 regiões. Quando ela bate na 1a reta surge mais uma. Quando bate na segunda surge outra. Quando ela chega no infinito (no final do filme) aparece mais outra. Hummm. Parece que R(n) é R(n), mais (n -1) regiões que aparecem quandoa reta novabate nas (n - 1) outras retas(é só desenha-la paralela as anteriores), mais 1 quando ela bate no infinito. Ou seja, R(n)= n+R(n-1) = n+ (n-1) +R(n-2) = = n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 + R(0) = n(n+1)/2 + 1 Felizmente isso bate com os valores que a gente calculou antes. Ufa! Agora, você pediu o menor n tal que R(n)= n(n+1)/2 + 1 é pelo menos 1597. Resolvendo a eq. do 2o grau, R(56)=1597, na mosca!
Re: [obm-l] Problemas em aberto 1
Esse é clássico. Estou surpreso que ninguém respondeu até agora. Só não entendi o que é :(A area externa aos vertices das extremidades nao entra na contagem). Imagino que seja pra contar só as regiões limitadas? Bom, vou fazer contando todas (que o 1597 indica ser a interpretação correta do problema), que, depois que você explicar melhor, deve dar pra ajustar as contas. Vou chamar de R(n) o número máximo de regiões em que o plano plano pode ser dividido por n retas. Isso contando as regiões "de fora", aquelas que são ilimitadas. Claramente R(0)=1 R(1)=2 R(2)=4 (faço um X com as retas) R(3)=7 (desenho a 3a não paralela as 2 primeiras) Agora vou tentar achar uma relação entre R(n) e R(n-1). Para isso vamos imaginar um filme da 3a reta sendo desenhada. Antes dela encostar nas outras duas só há R(2)=4 regiões. Quando ela bate na 1a reta surge mais uma. Quando bate na segunda surge outra. Quando ela chega no infinito (no final do filme) aparece mais outra. Hummm. Parece que R(n) é R(n), mais (n -1) regiões que aparecem quandoa reta novabate nas (n - 1) outras retas, mais 1 quando ela bate no infinito. Ou seja, R(n)= n+R(n-1) = n+ (n-1) +R(n-2) = = n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 + R(0) = n(n+1)/2 + 1 Felizmente isso bate com os valores que a gente calculou antes. Ufa! Agora, você pediu o menor n tal que R(n)= n(n+1)/2 + 1 é pelo menos 1597. Resolvendo a eq. do 2o grau, R(56)=1597, na mosca!
Re: [obm-l] off topic : pequena duvida com LaTeX
Não sou bom em TeX, mas eu faria um array.
\begin{array}{ccc}
f(x) = a + bx + cx + ... \\
g(x) = dx + ...
.
...
\end{array}
Deve ter um jeito melhor, mas esse funciona perfeitamente.
- Original Message -
From: niski [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, May 29, 2003 10:51 AM
Subject: [obm-l] off topic : pequena duvida com LaTeX
pessoal, desculpem por mais um offtopic! Mas creio que seja adequado
perguntar aqui, já que há muitos leitores experientes com LaTeX por aqui.
Estou querendo fazer o seguinte alinhamento:
f(x) = a + bx + cx + ...
g(x) = _ _ dx + ex + fx + ...
h(x) = _ _ __ _ gx + hx + ix + ...
i(x) = _ _ __ _ __ _ jx + kx + mx + ...
Onde os espacos em underline representam os espacos em branco.
Estou tentando usar o align/alignat environment, mas sem sucesso!
Obrigado
niski
--
[about him:]
It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a
sense of humour.
Gottfried Whilhem Leibniz
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Re: [obm-l] valor de uma serie
sen(pi)=0...
Substitui na de baixo
- Original Message -
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, February 21, 2003 6:29 PM
Subject: [obm-l] valor de uma serie
Sauda,c~oes,
Num livro encontro o seguinte exercício:
mostre que \sum_{r = 0} (-pi)^r / (2r+1)! = 0.
A única dica do livro é a série de \sin x:
\sin x = \sum_{r = 0} (-1)^r x^{2r+1} / (2r+1)!
[]'s
Luís
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Re: [obm-l] Bibliotecas..
Na da USP nunca fui. A do CTA é a maior bib. tecnica da america latina, tem coisa pra caceta, mas é mais engenharia. Matemática nem é to bom. Tem pequenas mas boas secoes de historia/literatura/filosofia/ficcao. Já o IMPA é mao bom, e mais voltado pra pesquisa. Tem zilhoes de artigos em tudo que é área da matemática. E tambem de computacao grafica, economia, computacao e fisica. Tambem tem muito livro, mas o ponto forte sao as revistas. - Original Message - From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 19, 2003 6:44 PM Subject: Re: [obm-l] Bibliotecas.. Domingos Jr. wrote: Acho que ele estava falando do IME militar e não da Usp... Aliás, o que vc faz lá? Eu faço ciência da computação... nao. me referi ao IME-USP mesmo - Original Message - *From:* Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet mailto:[EMAIL PROTECTED] *To:* [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] *Sent:* Wednesday, February 19, 2003 3:56 PM *Subject:* Re: [obm-l] Bibliotecas.. DependeEu moro em Sao Paulo e ja achei muita coisa legal no IME-USP,como as demonstraçoes do TNP e do Teorema da PA que tem o meu nome.E tem livros ate de IMO!Ja no IMPA eu ouvi falar que tem algumas ediçoes da CRUX Mathematicorum e exemplares do Proofs. Na USP,site www.ime.usp.br http://www.ime.usp.br voce encontra um acervo com os livros disponiveis. */niski [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED]/* wrote: Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma diferenca muito grande entre alguma delas? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é = *Busca Yahoo! http://br.busca.yahoo.com/* O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho - claudio malaaaandro...
Essa e boa, mas nem precisa roubar. E so fazer que o os conjuntos cuja "maior" carta é n mapeiem as proximas 24 (dando a volta pelo 1 se for o caso). O primeiro magico sempre pode escolher as 4 cartas de modo que a proxima esteja a menos de 10 de distancia da ultima. (para manter a unidade da lista) pense que as 5 cartas sorteadas sao pontos num circulo, e voce pode botar palitinhos (outras cartas) entre elas. Sao 49 palitinhos pra 5 buracos, entao algum buraco tem menos de10 palitinhos. Agora falta algum membro criativo da lista ( o Claudio e o 1o candidato) bolar um algoritimo facil para realizar esse truque muito maneiro! - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 11, 2003 5:42 PM Subject: Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Caro JP: Não sei se essa solução é válida ou não, mas acho que funciona. Chame as cartas do baralho de 1, 2, 3, ..., 52. Suponha que as 4 cartas sobre a mesa sejam A1, A2, A3 e A4 com A1 A2 A3 A4. O problema é encontrar 52 - 4 = 48 arranjos distintos destas 4 cartas sobre a mesa de modo a identificar a carta em poder do espectador. Então, faça a seguinte correspondência: 1 = (A1,A2,A3,A4) 2 = (A1,A2,A4,A3) 3 = (A1,A3,A2,A4) 4 = (A1,A3,A4,A2) . 23= (A4,A3,A1,A2) 24 = (A4,A3,A2,A1) Ou seja, para 1 = k = 24, a carta k corresponde à k-ésima permutação de 1, 2, 3 e 4, com as faces das cartas viradas para cima. De 25 a 48, repita as mesmas permutações, mas com as faces das cartas viradas para a mesa. Nesse ponto, estou supondo que o "adivinho" possa examinar (ou seja, virar) as 4 cartas na mesa. Caso o "adivinho" não possa tocar as cartas, pode-se dispor as cartas que representam os números de 1 a 24 horizontalmente (ou seja, uma do lado da outra) e de 25 a 48 verticalmente (uma de baixo da outra). Espero ter sido claro. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 10, 2003 3:44 PM Subject: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e alguem da lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao participava de lista nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num momento de spleen total,na larica. Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 cartas como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente cinco cartas.Oprimeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la para o cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao colocadas em cima de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz uma entrada triunfal e adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta esta no bolso do cara da plateia. Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo assim? Um espaço pra quem quiser pensar. RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa soluçao e do Andre Danila,de Sampa.Ele me contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine deu Ursinho Pooh de premio. Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma dessas cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual sera ela. Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de um relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao impede o truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na roda das cartas e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa distancia nao passa de seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na roda das cartas(em caso de equidistancia pegue a menor) e de pra plateia.Agora use uma funçao que a cada permutaçao dos numeros 1,2,3 associa uma distancia deum a seis.Assim sendo use esta permutaçao com a funçao para ordenar as cartas no sentido de que 1)A primeira carta detectara o naipe. 2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira carta ate a escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo. E pronto!Temos o pedido. Por favor confiram a conta que ela ficou doida TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho - para os magicos
Ai vai um jeito facil de fazer a magica. O baralho tem que ter uma ordem, digamos por naipe, desempatendo por numero. Ordene as4 cartas escolhidas 1234. Cada permutacao correspondera a um numero de 1 a 9, que sera o numero de passos que a carta desconhecida esta da 4. Um jeito bem facil: 1234 - 1 4123 - 2 3412 - 3 2341 - 4 4312 - 5 2143 - 6 . 2134 - 9 e a plateia oh! - Original Message - From: Eduardo Azevedo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 11, 2003 8:29 PM Subject: Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho - claudio malndro... Essa e boa, mas nem precisa roubar. E so fazer que o os conjuntos cuja "maior" carta é n mapeiem as proximas 24 (dando a volta pelo 1 se for o caso). O primeiro magico sempre pode escolher as 4 cartas de modo que a proxima esteja a menos de 10 de distancia da ultima. (para manter a unidade da lista) pense que as 5 cartas sorteadas sao pontos num circulo, e voce pode botar palitinhos (outras cartas) entre elas. Sao 49 palitinhos pra 5 buracos, entao algum buraco tem menos de10 palitinhos. Agora falta algum membro criativo da lista ( o Claudio e o 1o candidato) bolar um algoritimo facil para realizar esse truque muito maneiro! - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 11, 2003 5:42 PM Subject: Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Caro JP: Não sei se essa solução é válida ou não, mas acho que funciona. Chame as cartas do baralho de 1, 2, 3, ..., 52. Suponha que as 4 cartas sobre a mesa sejam A1, A2, A3 e A4 com A1 A2 A3 A4. O problema é encontrar 52 - 4 = 48 arranjos distintos destas 4 cartas sobre a mesa de modo a identificar a carta em poder do espectador. Então, faça a seguinte correspondência: 1 = (A1,A2,A3,A4) 2 = (A1,A2,A4,A3) 3 = (A1,A3,A2,A4) 4 = (A1,A3,A4,A2) . 23= (A4,A3,A1,A2) 24 = (A4,A3,A2,A1) Ou seja, para 1 = k = 24, a carta k corresponde à k-ésima permutação de 1, 2, 3 e 4, com as faces das cartas viradas para cima. De 25 a 48, repita as mesmas permutações, mas com as faces das cartas viradas para a mesa. Nesse ponto, estou supondo que o "adivinho" possa examinar (ou seja, virar) as 4 cartas na mesa. Caso o "adivinho" não possa tocar as cartas, pode-se dispor as cartas que representam os números de 1 a 24 horizontalmente (ou seja, uma do lado da outra) e de 25 a 48 verticalmente (uma de baixo da outra). Espero ter sido claro. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 10, 2003 3:44 PM Subject: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e alguem da lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao participava de lista nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num momento de spleen total,na larica. Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 cartas como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente cinco cartas.Oprimeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la para o cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao colocadas em cima de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz uma entrada triunfal e adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta esta no bolso do cara da plateia. Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo assim? Um espaço pra quem quiser pensar. RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa soluçao e do Andre Danila,de Sampa.Ele me contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine deu Ursinho Pooh de premio. Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma dessas cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual sera ela. Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de um relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao impede o truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na roda das cartas e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa distancia nao passa de seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na roda das cartas(em caso de equidistancia pegue a menor) e de pra plateia.Agora use uma funçao que a cada permutaçao
[obm-l] Re: [obm-l] (Re: [obm-l])^3 séries
Como x[k] é uma seq. num compacto, [0,1], possui uma subsequencia que
converge em [0,1].
E nela lim{ | x[kj+1] - x[kj] | , kj-oo}=0.
Agora, pra que essa firula toda nao entendi.
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, February 07, 2003 5:52 PM
Subject: [obm-l] (Re: [obm-l])^3 séries
muito obrigado, Eduardo, Cláudio e Bruno pelas respostas..
essa dúvida me ocorreu tentando resolver este problema:
Seja f : [0,1] - R uma função contínua. Seja n[k] tal que
n[k]0 para todo k e soma(n[k],k=1,..,oo) = oo. Seja a sequencia x[k]
pertencente
a [0,1] e suponha que:
f(x[k+1]) = f(x[k]) - n[k].| x[k+1] - x[k] | , para todo k.
Provar que lim{ | x[kj+1] - x[kj] | , kj-oo}=0, para alguma subsequencia
x[kj].
se alguém puder ajudar ..
(só para constar.. também acontece comigo aquele problema já descrito na
lista de receber as mensagens fora de ordem .. )
Obrigado.
Gabriel Haeser
www.gabas.cjb.net
Mathematicus nascitur, non fit
Matemáticos não são feitos, eles nascem
---
Gabriel Haeser
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
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[obm-l] Re: [obm-l] Domínó
No domino os jogadores querem ganhar, e nao jogam aleatoriamente. Pra responder essa pergunta (que deve ser dificil) voce vai ter que definir qual vai ser o comportamento dos jogadores. - Original Message - From: Tertuliano Carneiro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 5:18 PM Subject: [obm-l] Domínó Há algum tempo, um colega meu me propôs um problema quando estávamos jogando uma partida de dominó em duplas. Ele me perguntou qualé a probabilidade deum dos quatro jogadores levar um "chico romero". Eu explico: aqui na Bahia, nós chamamos de "chico romero" ao inusitado fato de um dos jogadores nao conseguir "colar" nenhuma das peças, ou seja, quando ele termina o jogo com as sete peças na mão. No momento eu ate consegui rabiscar alguma coisa, mas não fui muito longe. Convido vcs a pensarem no problema,pois me pareceu bastante interessante, embora nao tenha conseguido concluir muita coisa. Fui! Tertuliano Carneiro. Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Combinatória IME
dois tem que tar na direita e um na esquerda. Dos outros 5 dois tem que ser escolhidos pra ficar na direita. Isso determina o lado dos outros 3, e pode ser feito de C(5,2)=10 maneiras. Escolhidos os lados de cada um, cada fila tem 4! =24 permutacoes. Isso da 10 * (24^2) jeitos! - Original Message - From: haroldo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 2:29 PM Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Combinatória IME RESPOSTA 4*4*3*5!/2=2880Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Wander JuniorEnviada em: terça-feira, 28 de janeiro de 2003 11:55Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Combinatória IME Alguém poderia me ajudar com esta questão do IME: (IME-97) - Uma embarcação deve ser tripulada por oito homens, dois dos quais só remam do lado direito e apenas um, do lado esquerdo. Determine de quantos modos esta tripulação pode ser formada, se de cada lado deve haver quatro homens. Obs.: a ordem dos homens de cada lado distingue a tripulação. Muito Obrigado Wander
Re: [obm-l] Paradoxo da soma
Essa série nem converge. Se você pegar a soma parcial dos n primeiros termos, ela vai ser 1 se n for impar e zero se n for par. Entao essa serie fica pulando entre zero e um, e não tem paradoxo nenhum. Por outro lado, tem series que convergem para um numero, mas que se voce mudar a ordem dos termos convergem para outro numero ou ate para infinito! Por exemplo 1-1/2+1/3-1/4+1/5-... Voce consegue fazer essa serie dar outro resultado mudando a ordem do termos? (Da pra fazer ela dar qualquer número, ou dar infinito) Esse "paradoxo" é bem mais interessante! - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 11, 2003 2:50 AM Subject: [obm-l] Paradoxo da soma Alguém sabe me dizer alguma coisa sobre este paradoxo ? Onde está a falácia? Qual é a soma da série 1-1+1-1+1-1+1-1+...? Escrita na forma (1-1)+(1-1)+(1-1).= 0 por outro lado, escrita 1-(1-1)-(1-1)-(1-1).= 1 logo 0 = 1! (???)
Re: [obm-l] Amigo secreto...
É verdade que o jeito comum, só tem e^-1 de chance de nao dar certo, mas ai e so tirar outro papelzinho. A pior coisa desse método são os ciclos pequenos (que quase sempre acontecem). Por outro lado, se fizer a permutação, a principio, ninguem sabe pra quem vai dar presente. E isso é um problema bem maior, já que você não sabe se compra perfume de homem ou de mulher, CD de forró ou de rock. Pra contornar isso, o sorteio teria que ser um pouquinho mais complicado do que no método usual. - Original Message - From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 04, 2002 7:08 PM Subject: Re: [obm-l] Amigo secreto... Um processo extremamente eficiente de fazer um sorteio de amigo oculto eh fazer uma permutaçao (isto eh, colocar os nomes das pessoas em fila) das pessoas. Ai o primeiro da fila presenteia o segundo, o segundo presenteia o terceiro,..., o ultimo presenteia o primeiro. Tal processo nao gera ciclos pequenos (isto eh, nao ha um grupinho de pessoas que trocam presentes entre si), que costumam tumultuar a mecanica da distribuiçao de presentes e eh facilmente implementado computacionalmente (basta gerar numeros aleatorios ; quem recebe o menor eh o primeiro etc.) e evita falsas meladas de sorteio (em sorteios feitos com papeizinhos, eh comum quem sorteia o mala do grupo dizer que sorteou a si mesmo). Alem disso, sorteios com papeizinhos so tem cerca de 36% de probabilidade de darem certo (isto eh, de nao haver um cara que sorteou a si mesmo). A esse respeito leia um artigo do Gugu na RPM de cujo numero nao recordo agora, mas que alguem certamente indicarah. Gabriel Pérgola wrote: Boa tarde, Estavamos pensando em um amigo secreto aqui na minha república, mas o número de pessoas que moram aqui é ímpar, logo, pensamos em chamar mais uma pessoa para que desse certo. Mas depois pensei direito e vi que é possível a realização perfeita da confraternização com um número ímpar de pessoas. Por exemplo: três pessoas participando, A, B e C A tira B B tira C C tira A E vi que não importa o número de pessoas. Só não consegui achar uma explicação matemática para este fato. Alguém poderia me dar uma explicação do porquê disto? Abraços, Gabriel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Política NAO é assunto da lista. - SPAM - não vote nesse SPAMEIRO
Se não tem vergonha devia ter. Uma mula como você pode achar que política e matemática são a mesma coisa, mas não são. O Manoel pode trabalhar muito no interior do Estado(nem sei qual), mas pra minha vida ele só trouxe SPAM. Esse é um candidato em quem eu não voto, e se vir alguém votando, logo falo pra não votar. OBS: Ser ousado é outra coisa. Você ésó sem vergonha mesmo. [EMAIL PROTECTED] = SPAM SPAMMER = mail bomb Original Message - From: ReNNeR To: [OBM] Sent: Sunday, August 25, 2002 12:59 AM Subject: [obm-l] Política também é assunto da lista. Meus amigos da lista, Acreditando que a matemática, assim como diversas outras áreas do conhecimento,é diretamente relacionada à estrutura pública que o pais possui, seja nos cargos executivos, legislativos ou judiciários, indico o nome do Manoel Veras como deputado estadual. Conheço o seu trabalho e a sua vontade para melhorar a vida das pessoas, principalmente no interior do Estado que ainda sofre diversos problemas sociais e enfrenta uma eduação de qualidade não muito boa. Apesar de esse não ser o dever direto de um Deputado, o Manoel sempre se preocupou e procurou soluções para esses tipos de problemas. Não tenho vergonha de ser ousado e pedir, além do seu voto, o seu apoio a essa candidatura, pois se trata de um Deputado que faz por merecer! Obrigado e não esqueça: Manoel Veras - 45145
Re: [obm-l] numeros felizes - alguem faz a 2!
Ola ,amigos estou com duvida na seguinte questão: O numero feliz é aquele que se pegarmos apenas seus algarismos e eleva-los ao quadrado depois de n interações deste tipo irar da em zero. ex: 32= 3^2 + 2^2 = 13 13=1^2 + 3^2 = 10 10= 1^2 + 0^2 = 1 Assim 32 é um numero feliz. Onumero é dito infeliz se apos terminado seu ciclo ele ñ obteveo algarismo 1. 1)Prove que existe infinitos numeros felizes? 2)Prove que todo numero infeliz tem como ultimo elemento do seu ciclo o numero 4? 3)Ache a função geratriz dos numeros felizes? 4)Prove que os numeros felizes sempre recaem no mesmo ciclo? Gabriel, nao entendi muito bem sua pergunta, e acho que o pesssoal tambem nao, pois esta ai desde ontem e ninguem repondeu. Isso foi o que entendi: 1)Existem infinitos, pois 10, 100, 1000, 10.000, ... sao números felizes. 2)comecando com 4, obtemos a seq 4,16,37,58,89,145,42,20,4,... que se repete. Tentei comecar com 2,3, 5 e 6e sempre cai nessa seq: 2,4,... 3,9,81,65,61,37,58,... 5,25,29,83,73,58,... 6,36,45,41,17,50,25,... Ainda nao provei nada mas tenho motivos fortes para achar que isso sempre acontece, e acredito que e isso que a pergunta dois pede. 4)Chamemos a tansformacao de f. O quadrado de um numero menor que dez e no maximo 81. Logo se x tem n algarismos f(x) = 81*n Assim, por exemplo,a f de um numero de 10 algs e menor o u igual a 810. Assim, qualquer que seja o x inicial que coloquemos f eventualmente cai para um numero de 3 algarismos. f desse numero e menor ou igual a 3*81=243. f desse e = f(199) =163. E f desse e = f(99)=162. O unico numero tal que f(x)=x e 1. Assim, a seq. vai ficar pulando no intervalo [1,162], e como ele tem um numero finito de elementos, vai ou cair em um ciclo ou cair no 1. Pode-se, verificando todos os numeros ate 162, provar ou disprovar que o unico desses ciclos e 4,16,37,58,89,145,42,20,4,... , mas deve ter um jeito mais interessante. OBS: so por curiosidade, os numeros felizes ate 1000 sao (nao garanto as contas!) 1, 10,13,31,23,32,44,622,262,226,100,1000. Para saber se um numero e feliz, basta iterar f ate chegar a um numero de no maximo 3 algarismos. Se um numero cair em um desses, ele e feliz. Se cair em outro numero 1000 e infeliz.
Re: [obm-l] Re: your mail
- Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, July 13, 2002 10:25 AM Subject: [obm-l] Re: your mail On Fri, Jul 12, 2002 at 02:20:52PM +, Fernanda Medeiros wrote: olá, será que alguém pode me dar uma ajudinha nestas questões? aqui estão: 1.A média aritmética de uma quantidade de nºs primos distintos é igual a 27.Determine o maior nº primo que aparece entre eles. Existem v'arias solu,c~oes poss'iveis e o enunciado n~ao me parece deixar muito claro exatamente o que est'a sendo pedido. Estou interpretando assim: Dentre todas as fam'ilias de primos distintos p1, p2, ..., pk (escritos em ordem crescente) tais que p1 + p2 + ... + pk = 27*k, encontre aquela para a qual pk 'e m'aximo. Eu s'o sei fazer este problema, acho ali'as que s'o 'e poss'ivel resolver este problema, testando um monte de casos. Testei alguns e o melhor que eu consegui foi: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 139 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 139 = 297 = 11*27 Tenho a impress~ao de que este 'e o melhor exemplo mas n~ao garanto. []s, N. Colocando os ps na ordem crescente, queremos p1 + p2 +p3 ... +pn = 27n com pn maior possivel. Temos: pn = 27n - (p1 +p2 + p3 +... +pn-1) = 27 + (27 - p1) + (27 - p2) + ... +(27 - pn-1) Se do lado direito botamos um número menor que 27 pn cresce, se botamos um numero maior que 27, pn diminui. O maior pn possivel seria 27 - (2 + 3 +5 +... +23) = 143 Mas 143, 142 , 141, 140 não são primos, portanto a solução e mesmo 139 (Obrigado Nicolau!) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Algumas da Iberoamericana.SEGUNDO PROBLEMA PARA A LISTA
- Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: Carlos Shine [EMAIL PROTECTED]; Celso [EMAIL PROTECTED]; Edmilson [EMAIL PROTECTED]; JP [EMAIL PROTECTED]; Lista de Discussao [EMAIL PROTECTED]; Ralph [EMAIL PROTECTED]; Nicolau [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, April 30, 2002 5:07 PM Subject: [obm-l] Algumas da Iberoamericana.SEGUNDO PROBLEMA PARA A LISTA Ah.turma,to com a prova da Iberoamericana aquoi na mao,e tenho problemas serios neles.Ai vai!!! 1.Temos 98 pontos sobre uma circunferencia.Maria e Jose fazem um jogo assim:cada um deles traça uma corda ligando dois dos pontos dados que nao tenham sido ligados entre si antes.O jogo acaba quandoos 98 pontos forem usados como extremos de segmentos pelo menos 1 vez.Quem fizer o ultimo traço ganha.Defina uma estrategia vencedora se ela existir. O primeiro jogador, jogando certo, sempre vence. Isso vale para qualquer n = 2 (mod 4) Seja k o número de pontos não ligados a ninguém, j o número de jogadas ja feitas e n=98 o número de pontos. Em cada jogada pode-se ligar dois pontos livres, fazendo k diminuir 2, ligar um livre e um marcado, fazendo k baixar 1, ou ligar dois pontos marcados, mantendo o mesmo k. Chamemos isso de enrolada. Seja e o número de opções de enrolada num dado cenário É fácil ver que em qualquer momento do jogo e = (n-k)(n-k-1)/2 - j Numa dada jogada, o jogador com e ímpar está em vantagem, pois pode enrolar o quanto quiser, até o jogador com e par ficar sem opções de enrolação, e ser forcado a jogar. Agora, (n-k)(n-k-1)/2 é par se e somente se (n-k)(n-k-1) = 0 ou seja: (n-k)(n-k-1)/2 é par se e somente se k = n (mod 4) ou k = n+1 (mod 4) Ja j é par para o jogador A e ímpar para o jogador B. Logo, para o jogador B, temos: e par quando k= n ou n+1 (mod 4) Para A: e par quando k= n+2 ou n+3 (mod 4) Isso mostra que a paridade de e depende apenas de k, e é alternada para cada jogador. Ou seja, a abilidade de um jogador de forcar uma jogada depende apenas de k. Agora vejamos algumas situações de vitória: Se k = 1 ou k = 2, quem tiver a vez ganha. Se k=3, comer mais uma peca significa a derrota, pois leva o adversário ao cenário acima. Assim, quando k é igual a 3 é necessário enrolar. Mas como 3 = 99 = n+1 (mod 4), o jogador A tem e ímpar em 3, e B tem e par. Portanto, A sempre pode enrolar, enquanto B será eventualmente forçado a jogar. Logo se k=3, o jogador A sempre ganha. Portanto A precisa apenas garantir que o jogo caia em k =3 e ganhará sempre. Se fosse n=3 (mod 4), A continuaria podendo ganhar sempre. Se fosse n=+-1(mod4), B poderia ganhar sempre, exceto se n=5, onde A pode ganhar sempre. Esse jogo não parece muito justo . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Algumas da Iberoamericana.CORRECAO
Na verdade, para B poder ganhar sempre é n = 1 ou n= 0 (mod 4) , com n diferente de 5. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: ITA 2002 - Problema 12 outra solução - grafos
Seja Ralph - R DAvid - D Rub - r Podemos fazer um grafo com as ordenações, em que cada aresta representa uma troca. Será um hexágono: RDr / \ DRr RrD | | DrR rRD \/ rDR -Voltar a uma posição envolve um número par de trocas, seja dando a volta (6 trocas) ou indo e voltando n vértices (n para ir, n para voltar). -A posição inicial foi RDr, no topo do hexágono. -Houve um número ímpar de trocas. -Como Barrichelo terminou colado em David, ou terminou em RDr (no topo) ou em DrR (à esquerda em baixo). -Terminar voltando a RDr é impossível, pois implica em um número par de trocas. -Terminar em DrR também. Indo pela esquerda são duas trocas, e pela direita são 4. Qualquer movimento de ida e volta à uma posição tem um número par de trocas. Logo o total é par e essa opção é impossível. OBS: O ITA deu muitos dados. Bastava saber que o número TOTAL de trocas era ímpar.
Re: ajuda
A área total da esfera é 4(pi)*r^2 o volume (4/3)pi*r^3 (volume da interseção)/(volume total) = (área da interseção)/(área total) logo V=[(4/3)pi*r^3]*S/[4(pi)*r^2] V= 1/3 * SR - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 06, 2001 8:27 AM Subject: ajuda Um cone de vértice no centro de uma esfera de raio R intersecta a superfície esférica segundo uma região de área S. A interseção do cone com a esfera tem volume igual a: a) 1 / 2 . pi. SR b) 1 / 3 . pi . SR c) 1 / 2 . SR d) 1 / 3 . SR
Re: limites - so na geometria e teorema do confronto
Da pra fazer esse limite, (sen x)/x, com x tende a zero so com geometria e o teorema do confronto. Fazendo a figura, em um ângulo pequeno, você vê que: sen x = x = tg x logo, dividindo tudo por sen x: 1 = x/senx = sec x lim 1 = lim(x/sen x) = lim(sec x) 1 = lim(x/sen x) = 1 logo lim(x/sen x) =1 - Original Message - From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 11, 2001 1:01 AM Subject: Re: limites From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Não entendi direito sua pergunta 1, mas parece que vc quer um jeito de calcular o limite de sen(x)/x, qd x -0. Acho que basta usar a série para sen(x) : sen(x)/x = (x - x^3/3! + x^5/5! - )/x = 1 - x^2/3 + x^4/5! - que para x -0, vai pra 1. Eu sei que o uso de série de potência está camuflando derivadas tb, mas não deixa de não usar l`hôspital. Periga eu dizer besteiras. Eu acho que em grande parte dos livros, voce nao precisa de derivadas para definir series de potencias. Voce so precisa da definicao de limite e esclarecer o que significa a soma infinita. Um jeito eh: (a_1 + a_2 + a_3 + ... ) = lim(n-infinito) (a_1 + a_2 + ... + a_n) Para definir uma soma infinita de funcoes (como eh o caso do sen(x)) voce poe para cada x a soma infinita das funcoes naquele ponto x, e interessa a ordem das funcoes. Acho que o Jose Paulo quis dizer que para calcular lim(x-0) (sen(x)/x) utilizando a regra de L´Hopital, voce precisa saber calcular a derivada de sen(x) no ponto x=0. Por definicao: sen ' (0) = lim(h-0) (sen(0+h) - sen(h))/h) = lim(h-0) (sen(h)/h) Ou seja, voce ja precisa saber calcular o limite lim(x-0) (sen(x)/x) para calcula-lo pela regra de L'Hopital. Para saber que a derivada de sen(x) eh cos(x) voce precisa saber que a derivada de sen(x) no ponto x=0 é igual a cos(0)=1, o que, por definicao, quer dizer que lim(h-0) (sen(h)/h) = 1. Ou seja, se voce usa a definicao usual de derivada nao eh possivel saber que a derivada de sen(x) eh cos(x) sem saber que lim(x-0) (sen(x)/x). Entao a pergunta do Jose Paulo foi so retorica. Eu concordo em parte com isso de só usar o que sabemos provar. Mas também não podemos levar isto tanto a sério né... pois assim eu não poderia usar relógio :)) brincadeira ! Mas vale a pena saber como demonstrar esse teoremas sim... A regra de l`hôspital é que se f e g são funções tais que o limite f(x)/g(x) ( com x tendendo a a ) é indeterminado do tipo 0/0, então este limite é igual ao limite de f`(x)/g`(x), com x -a . So um detalhe. Se o lim f(x)/g(x) eh indeterminado (nao existir), voce nao pode usar a regra de L´Hopital. Se o lim f(x)/g(x) for determinado (existir) e lim f(x) = 0 e lim g(x) = 0, aí vale a igualdade lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) pelo motivo que voce deu. Eduardo. Bem, com as hipóteses, temos que f(a) = g(a) = 0. Logo, lim[f(x)/g(x)] = lim[f(x) - f(a)/g(x)-g(a)] = lim[(f(x) - f(a))/(x-a)] / lim [(g(x)-g(a))/(x-a)] = lim f`(x)/g`(x). É claro que f e g devem ser deriváveis e também é claro que podemos dividir por x-a no limite, pois o limite é tomado numa vizinhaça furada de a, logo x-a é diferente de zero. JP, você está certo nisso sim... tenho quase certeza de que mais de 90% das pessoas que cursam cálculo 1 não tentaram demonstrar ou viram a demonstração da regra acima... isso não deveria ser assim... mas... Abraços, Villard -Mensagem original- De: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 23:33 Assunto: Re: limites cotg ^(1/log) eh o inverso de tg^(1/log) = e^(ln tg x / ln x). Quando x-0 (pela direita, eh claro), ln tg x e ln x tendem ambos a -infinito. vale L'Hopital: o quociente das derivadas eh (sec^2 x / tg x) / (1/x) = x / sen x cos x - 1. Logo o limite eh: 1/e (se nao houver erro de conta) Quanto ao segundo, uma variante, para variar: a derivada de e^x para x=0 eh sabido = 1. Esta derivada, por definicao, eh e^h - 1 / h quando h- 0. Substituindo h por 2x (por que vale?): e^(2x)-1 / 2x tende a 1. Logo e^(2x)-1 / x tende a 2. [Sempre que posso, evito usar L'Hopital, por 2 motivos: 1) muitas vezes, o uso de l'Hopital esconde o uso da propria definicao de derivada. exemplo: sen x / x quando x tende a 0. Por l'Hopital, cos x / 1 tende a 1. mas como voce sabe que a derivada de sen x eh cos x, se nao souber que senx / x tende a 1? alguem conhece um jeito? 2) Alguem ahi ja demonstrou l'Hopital? Eu so gosto de usar aquilo que algum dia demonstrei. Ih, ja sei que vai dar polemica...] JP - Original Message - From: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 10, 2001 8:57 PM Subject: Re: limites confere com o que eu tinha achado sim... valeu vinicius e juliana e quanto à primeira vcs encontraram
Re: Podem analisar para mim?
Se o número for escrito abc, a sendo o algarismo do milhar, b da unidade e c da dezena ele é igual a: c + 10b + 10^2a = n já o número abcabc é igual a: c + 10b + 10^2a +10^3c + 10^4b +10^5a = c + 10b + 10^2a + 10^3(c + 10b + 10^2a ) =(10^3 + 1)(c + 10b + 10^2a )=1001(c + 10b + 10^2a )=1001n Ou seja, o número multiplicado por 1001. Como você bem observou, esta é a operação realizada. - Original Message - From: Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 05, 2001 6:35 PM Subject: Podem analisar para mim? Olá amigos da lista. Ontem, entrando em um desses sites com algumas taglines li uma que dizia que se escrevermos um numero de 3 algarismos do lado do mesmo, e dividimos por 13, depois por 11, e por 7 (ou seja, por 1001), obtemos o mesmo número, ou seja: 123123/1001=123. Realmente funcionou com todos que eu testei. Rabisquei umas folhas e cheguei na seguinte fórmula para generalizar a tagline acima: [ a*10^(2n+1) + b*10^(2n) + c*10^(2n-1) + ... + p*10^(n+1) + a*10^(n) + b*10^(n-1) + c*10^(n-2) + ... + p*10^0 ] / 10^(n+1) + 1 = a*10^n + b*10^(n-1) + c*10^(n-2) + ... + p*10^0 Nao sei bem se a formula seria esta, ou se existe uma outra generalização (mais simples), ou ainda se isto q demonstrei é uma grande besteira. Alguem poderia analisar pra mim? []'s Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED]
Re: Podem analisar para mim?
Quanto a generalização, para um número x de n algarismos o novo número gerado por esse processo será sempre igual a (10^n + 1)x ,o que é fácil de ver a partir da resolução dada na outra mensagem. - Original Message - From: Arnaldo [EMAIL PROTECTED] To: Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 06, 2001 9:26 AM Subject: Re: Podem analisar para mim? Olá amigos da lista. Ontem, entrando em um desses sites com algumas taglines li uma que dizia que se escrevermos um numero de 3 algarismos do lado do mesmo, e dividimos por 13, depois por 11, e por 7 (ou seja, por 1001), obtemos o mesmo número, ou seja: 123123/1001=123. Realmente funcionou com todos que eu testei. Rabisquei umas folhas e cheguei na seguinte fórmula para generalizar a tagline acima: [ a*10^(2n+1) + b*10^(2n) + c*10^(2n-1) + ... + p*10^(n+1) + a*10^(n) + b*10^(n-1) + c*10^(n-2) + ... + p*10^0 ] / 10^(n+1) + 1 = a*10^n + b*10^(n-1) + c*10^(n-2) + ... + p*10^0 Nao sei bem se a formula seria esta, ou se existe uma outra generalização (mais simples), ou ainda se isto q demonstrei é uma grande besteira. Alguem poderia analisar pra mim? []'s Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] Como vai Ricardo ? A maneira que encontrei de generalizar esse problema foi a seguinte: Escrevendo o número a1a2a3...ana1a2...an na sua representação de potências de 10 temos an + an-1*10 + ... + a1*10^(n-1) + an*10^n + ... + a1*10^(2n-1) = = a1*(10^(2n-1) + 10^(n-1)) + a2*(10^(2n-2) + 10^(n-2)) + ... + an*(10^n + 1) = = a1*10^(n-1)*(10^n + 1) + a2*10^(n-2)*(10^n + 1) + ... + an*(10^n + 1) = = a1a2...an*(10^n + 1). Isto é, o número generalizado é sempre divisível por (10^n + 1), no caso particular que vc colocou, temos n = 3 e portanto o número é divisível por 10^3 + 1 = 1001. http://www.ieg.com.br
Re: arc[sen(2)] = (a+bi) pq?
Fabio, Voce vai aprender na faculdade que existem polinomios com infinitos coeficientes que aproximam infinitamente a função seno(x). Sin(x) = x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + Ângulos reais sempre fornecem resultados entre -1 e 1, mas no polinômio podemos usar ângulos complexos, que retornam valores maiores do que 1, e até números complexos. Calculando esses primeiros termos dessa soma você pode obter valores bem aproximados, para x não muito grande. - Original Message - From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 04, 2001 11:43 PM Subject: arc[sen(2)] = (a+bi) pq? Olá caros participantes, sou um mero vestibulando, porem me interesso muito pela matematica que um dia ainda vou aprender por isso participo desse newsbem vamos ao assunto Vi na minha HP, que quando coloco arc[sen(x)] , sendo x 1, ele retorna um complexo! alguem poderia me dar pelo menos uma pincelada pq isso acontece? uma coisa mais estranha ainda... por exemplo..normalmente arc[sen(0,5)] = 30 sen(30) = 0,5 nada mais natural não? mas , sendo x 1 tenho na minha HP: arc[sen(x)] = a+bi e sen(a+bi) = c+di , e nem o c é igual a x Que bizarrice Alguem que manje disso, por favor, dê uma pequena explicacao a respeito! Outra duvida (a)Com a calculadora no modo radiano, aperte RS SYMBOLIC DA m-OK para entrar na tela de differentiation. Coloque 'SIN(X)' no EXPR: box, X no VAR: box e veja se Symbolic esta escolhido no RESULT: box, então aperte m-OK. (b)Deixe o resultado de (a) no stack mas mude o modo p/ graus e repita a parte (a) Pq as partes a e b mostram resultados diferentes? Muito obrigado pessoal, e se possivel se adentrem o minimo possivel p/ responder minhas perguntas...mal sei integrar e derivar... -- Now I will have less distraction. [upon losing the use of his right eye] Leonhard Euler
Re: somatorio
Esse somatório resulta em um polinômio do terceiro grau. Basta fazer p(x) = ax^3 + bx^2 +cx +d e resolver p(x) - p(x-1) = (n+x)^2 - Original Message - From: Gustavo Nunes Martins [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 04, 2001 7:57 PM Subject: somatorio Ha uma formula que diz que o a soma dos numero de uma PA que comeca com o numero n1 e acaba com o numero nx e (n1+nx)x/2. Um jeito muito simples de se descobrir esta formula pode ser econtrado em http://galileu.globo.com/edic/112/eureca.htm. Como acho a expressao que me da a soma dos numeros da sequencia n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + ... ? Ha uma maneira de se obter essa expressao tao simples quanto a que esta na revista Galileu? Qual e a mais simples que voces conhecem? Obrigado, Gustavo
Re: A equação é única?
Desenhe o lado AB deitado, A na origem, b = (3,0) Seja BAC = k ; ABC = 2k Dado um ponto C=(x,y), Traçe uma altura relativa a C, com pé H h = y AH=x HB=3-x tgk=y/x (i) tg(2k)=y/(3-x) (ii) tg(2k) = (2 senk . cosk)/(cos^2(k) - sen^2(k)) desenvolvendo, tg(2k) = 2 tgk/(1- tg^2(k)) Substituindo (i) e (ii): y/(3-x) = 2(y/x)/(1 - (y/x)^2) de onde sai que (x-1)^2 - (y^2)/3 = 1 Mas para chegar aí precisamos considerar x diferente de 0, 3, y , -y e y diferente de 0. Analisando caso a caso essas restrições temos que (0,0) e (2,0) não são soluções. (x-1)^2 - (y^2)/3 = 1 ; (x,y) =/ (0,0), (2,0) - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 04, 2001 8:38 AM Subject: A equação é única? O lado AB de um triângulo ABC mede 3 unidades de comprimento. Determine uma equação do lugar geométrico descrito pelo vértice C quando este se desloca de tal forma que o ângulo CBA tenha como medida o dobro da medida do ângulo CAB.
sistema
Calcule a em função de x e y no sistema: x.senq+y.cosq=2a.sen2q x.cosq-y.senq=a.cos2q
mais combinatoria IME
Seja o conjunto:
D = { (k1, k2) | 1 £ k1 £ 13; 1 £ k2 £ 4; k1,
k2Î IN }.
Determine quantos subconjuntos L = {
(x1,x2), (y1,y2),
(z1,z2), (t1,t2),
(r1,r2) }, L Ì D, existem com 5
(cinco) elementos distintos, que satisfazem simultaneamente as seguintes
condições:
Re: Unicamp: Ensino Medio?!
Em Alexandria, Euclides foi, uma vez, questionado por um aluno sobre qual era a utilidade do que ele estava ensinando. Ele expulsou o aluno da universidade imediatamente. Conclui o ensino médio ano passado, e deixei a engenharia aeronáutica para cursar matemática na PUC-rio, seguindo minha vocação. O que me levou a me apaixonar pelo assunto, com certeza, não foram suas aplicações. A matemática me despertou interesse através da beleza das equações e das formas, dos algebrismos habilidosos, dos resultados inesperados. De sua simetria e coerência. Das histórias de gênio e de paixão pela matemática dos grandes geometras. Em minha opinião, e na de Euclides, é isso que falta ao ensino médio. Mostrar a beleza da matemática aos alunos. Claro que esse racioncínio não é restrito ao segundo grau (já que a demonstração não particularizou isso em nenhm ponto), inclusive, o episódio a cima se deu na universidade de Alexandria. - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 25, 2001 6:05 PM Subject: Re: Unicamp: Ensino Medio?! On Thu, Oct 25, 2001 at 05:25:36PM +, Rogerio Fajardo wrote: Aproveitando que o assunto é Ensino Médio, concordo com o Nicolau e o Bruno de que falta motivação no ensino de Matemática, e todo mundo sai do ensino médio achando que matemática é chata, uma porção de formulinhas e que, principalmente, não serve pra nada. Acho que os professores podiam falar mais de aplicações da matemática e que muita coisa que é ensinada no ensino médio poderia ser substituída por outras mais interessantes e mais úteis. Por que não se ensina mais limites, derivada e integral no Ensino Médio? A minha opinião talvez seja um pouco exagerada, mas eu acho que ou você ensina álgebra linear direito ou é melhor nem tocar no assunto de matrizes e determinantes. Eu me lembro de quando estudei isso no ensino médio: a definição de produto de matrizes parecia gratuita, estranha, artificial, sem motivação nem utilidade. O melhor que o professor tinha a oferecer era o método de resolver sistemas lineares por eliminação gaussiana que na verdade não usava nada do pouco que tinhamos aprendido sobre matrizes. Só quando fui aprender que uma matriz podia representar uma transformação linear, ou uma rotação ou reflexão, ou uma função de Möbius, ou um grafo, só, enfim, a medida que fui vendo as inúmeras aplicações de matrizes é que o assunto foi ficando realmente interessante. Desculpe, mas acho que talvez não tenha sido muito claro: eu estava falando especificamente do ensino de matrizes e determinantes no ensino médio e não do ensino de matemática em geral. []s, N.
perguntinha
Seja p(x) um polinômio de grau 16 e coeficientes inteiros. a)Sabendo-se que p assume valores ímpares para x=0 e x=1, mostre que p não possui raízes inteiras. b)Se p(x)=7 para 4 valores de x inteiros e diferentes, para quantos valores inteiros de x p assume o valor 14?
